标准数独.doc

标 准 数 独目 录第一篇一、 什么是数独二、元素构成三、数独规则四、解题方法五、解题手法1、摒除法2、余数法六、谜题的难易度第二篇一、数字的强链接和弱链接二、候选数的排除三、候选数的确定第三篇一、Single（唯一数）1、唯一显式候选数数（Naked Single）2、唯一隐式候选数数（Hidden Single）二、完全约束候选数（Locked Candidates）三、显式子集（Naked SubSets）1、显式数对（Naked Pair）2、显式三链数（Naked Triple）3、显式四链数（Naked Quadruple）四、隐式子集（Hidden SubSets）1、隐式数对（Hidden Pair）2、欠一数对（Almost Locked Pair）3、隐式三链数（Hidden Triple）4、隐式四链数（Hidden Quadruple）五、 基础鱼形（Basic Fish）1、矩形对角线法（X-Wing）2、剑鱼（Swordfish）3、水母（Jellyfish）六、 单一数字图形（Single Digit Patterns）1、摩天楼（Skyscraper）2、双线风筝（2-String Kite）3、多宝鱼（Turbot Fish）4、空矩形（Empty Rectangle）第四篇一、 链和环（Chains and Loops）1、单数链（X-Chain）2、XY链（XY-Chain）3、遥控数对（Remote Pair）二、翼（Wings）1、W-Wing（Y-Wing）2、M-Wing3、XY-Wing4、XYZ-Wing5、WXYZ-Wing6、XY Chain7、唯一矩形（Uniqueness Rectangle） UR1 UR2 UR3 UR4 UR5 UR6 隐式矩形（Hidden Rectangle） 全双值坟墓（Bivalue Universal Grave + 1） 可避免的矩形（Avoidable Rectangle）三、带鳍的/刺身（Finned/Sashimi）1、带鳍的X-Wing（Finned X-Wing）2、刺身X-Wing（Sashimi X-Wing）3、带鳍的剑鱼（Finned Swordfish）4、刺身剑鱼（Sashimi Swordfish）5、带鳍的水母（Finned Jellyfish）6、 刺身水母（Sashimi Jellyfish）第五篇一、Sue de Coq二、Almost Locked Set（简称ALS）1、Almost Locked Set XZ-Rule2、Almost Locked XY-Wing3、Almost Locked Set Chain三、Nice Loop/AIC1、Continuous Nice Loop2、Discontinuous Nice Loop3、Grouped Discontinuous Nice Loop4、AIC5、Grouped AIC四、强制链（Forcing Chain）1、Forcing Chain Verity2、Forcing Chain Contradiction3、Forcing Net五、暴力解题（Brute Force）第六篇直观法解题一、宫摒除数对二、列摒除数对三、宫摒除对隐藏行列摒余解四、行列摒除对隐藏宫摒余解五、数对的聚焦六、一些例子另一、多重数对解题第一篇一、什么是数独？数独（Sudoku）又叫做九宫格数独，是一种源自于18世纪末的瑞士，后在美国发展，并在日本得以发扬光大的数字谜题。数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格中填入1-9的数字，且使数字1-9在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。这种游戏全面考验做题者的观察能力和推理能力，虽然玩法简单，但是数字的排列方式却千变万化，所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。二、元素构成宫格（Cell）：又称单元格、格位，是数独中最小的单元，标准数独中共有81格；行（Row）：横向9个单元格的集合，标准数独共有9行，可用R1、R2、R3.R8、R9来表示，也可用A、B、C.H、I来表示；列（Column）：纵向9个单元格的集合，标准数独共有9列，可用C1、C2、C3.C8、C9来表示，也可用1、2、3.8、9来表示； 宫（Box）：三行与三列相交之处共有九单元，每个单元称为宫，可用第一宫、第二宫、第三宫.第八宫、第九宫来表示。单元（Unit）：行、列、宫都称为单元。三、数独规则标准数独的规则为：数独每行、每列及每宫填入的数字必须为1-9，且不能重复。数独谜题按规则填写数字，最终必须只能有一个结果，也就是唯一解（Unique Solution），如果存在无解或两个及以上的解，则不被承认是数独谜题。先举个例子看看：上图中给定了一些已知数字（黑色），你能把空格中的数字填写完整么？答案：蓝色数字为自己填写的数字。是不是很简单呢！四、解题方法数独解题方法分为两种：直观法和候选数法。直观法又称纸笔模式，就是不做任何记号，直接从数独的盘势观察线索，推论答案的方法。直观法一般只能解一些相对容易的谜题，一般在报刊杂志或是手机等出现的数独谜题用直观法就能解出谜题。上面例题用直观法就能解出答案了。候选数法就是删减等位群格位已出现的数字，将剩余可填入数字填入空格，作为解题线索的参考。可填数字成为候选数（Candidates）。一般直观法不能解出的谜题，用候选数法就能解出。但候选数法往往要用计算机软件作为辅助工具，因为人工填写候选数一是工作量大，二是容易填错或是漏填候选数，导致谜题不能被正确解出。候选数法举例：黑色大些的数字是题目给定的数字，宫格中小些的数字群就是候选数。如果把候选数去掉，谜题形状为：你能用直观法把它解出来么？估计很困难，除非你有十分出众的记忆力和推理能力。谜题答案：五、解题手法解题手法本质上有两种：1、摒除法：用数字去找单元内唯一可填空格，称为摒除法。数字可填唯一空格称为摒余解（Hidden Single）。数字可填唯一空格在“宫”单元称为宫摒余解（Hidden Single in Box），这种解法称为宫摒除法；数字可填唯一空格在“行”单元称为行摒余解（Hidden Single in Row），这种解法称为行摒除法；数字可填唯一空格在“列”单元称为列摒余解（Hidden Single in Column），这种解法称为列摒除法。行摒余解和列摒余解合称为行列摒余解（Hidden Single in Line）.得到行列摒余解的方法称为行列摒除法。2、余数法：用格位去找唯一可填数字，称为余数法。格位唯一可填数字称为唯余解（Naked Single）。余数法是删减等位群格位已出现的数字的方法，每一格位的等位群格位有20个，如图所示：上述两种方法（摒除法、余数法）称为基础解法（Basic Techniques），其他所有的解法称为进阶解法（Advanced Techniques）。解数独谜题必须以逻辑依归，猜测的方法被称为暴力型解法（Brute Force），尽管有人认为暴力解法也算是一种逻辑解法，但这不是数独的本意，一般只用在比赛中，平时练习尽量不用或少用。六、谜题的难易度谜题当然有难有易，目前已知的有唯一解的最少给定数字是17个。一般往往是给定的数字越多越容易，但不绝对，还要看给定数字的排列情况。有些情况下给定28个数很可能会比给定25个数字更难。不同的软件会用不同的方法衡量谜题的难易度，有的是用分值的方法，有的是用难度等级方法等等，在此不做进一步讨论。对个人解题而言也就是难者不会，会者不难。下面出几题难易不同的谜题供大家练习（直观法）。1、Easy（初级）2、Medium（中级）3、Hard（高级）第二篇上篇的一些题目你都能通过直观法做出来了么？如果完成了，那么你肯定对数独已经有了一个初步的概念。为什么是初步呢？因为那些题目还是相对简单的。本章开始我们重点讨论一下相对比较难解的谜题，主要采用的解题方法是候选数法，并介绍一些概念和使用技巧。一、数字的强链接和弱链接链接是数独中最重要也是最根本的概念。链接有两种形式存在：强链接和弱链接。先看以下图形：观察数字3的情况，我们得到了数字3的所有强链接（蓝线表示）；可以看到，每条蓝线的两个顶点数字3只在一行、一列或一宫中出现。我们用以下方法表示强链接：强链接的基本属性：若A为真，则B为假；反之若A为假，则B为真。简单地说，就是在一个单元（行、列、宫）中某候选数字只出现两次，那么这两数就形成强链接。另一种情况就是当某个宫格（也称单元格）中只有两个候选数时，这两个候选数之间也是强链接。如宫格A4中的候选数3和9，宫格C3中的2和7，均组成它们之间的强链接。同一单元中还存在着未划线的多于两个候选数3的情况，它们形成了弱链接。如A行中宫格A4、A7、A9中的候选数3组成了3的弱链接。弱链接的基本属性：若A为真，则B为假；若A为假，则B不确定（可能为真也可能为假）。简单地说，在一个单元中某候选数字出现大于两次，那么该数字间存在着弱链接；在某个宫格中存在三个及以上候选数时，它们也形成了弱链接。如A9中的候选数2、3、9，G3中的3、6、8均组成了它们之间的弱链接。一个重要的说明：在解题时有时候我们可以把强链接当做弱链接看待，因为强链接的属性包含于弱链接的属性。但是弱链接是不能当做强链接看待的。候选数法解题的原则就是去找出数字之间强弱链接的关系，从而排除或确定某个候选数为假（删除）或为真（填入）。二、候选数的排除为了书写方便，我们用一些符号来表示：等于（=）；不等于（<>）；强链接（=>）；弱链接（->），推导过程（->）上图中红色圈中的候选数3可以排除。蓝色粗线为强链接，绿色细线为弱链接。其中也要理解有时强链接也能看做是弱链接的情况（第8宫为强链接，这里可以看成是弱链接）。R1C9(3) -> R1C4(3) => R8C4(3) -> R9C6(3) => R9C9(3) -> R1C9(3)从上面表达式可以看出这些候选数3形成了一个封闭的环（Loop），且在该封闭环中除了一个节点（R1C9）的相邻链接为弱链接外，其他均为强弱交替链接，则相邻链接为弱链接的候选数必须被删除。可以验证一下：若R1C4=3 -> R1C9<>3;若R1C4<>3 -> R8C4=3 -> R9C6<>3 -> R9C9=3 -> R1C9<>3也就是说不管R1C4是否等于3，都能推导出R1C9不等于3，所以R1C9宫格中候选数3在逻辑上是不存在的，应该被删除。逐个删除逻辑不存在的候选数是候选数法解题的最主要技术方法 。三、候选数的确定看下图：若R6C7<>7 => R4C7=7 -> R4C6<>7 => R4C6=4 -> R4C3<>4 => R6C3=4 -> R6C3<>2 => R6C1=2 -> R6C1<>7 => R6C7=7上面的表达式假定R6C7<>7，但是通过推导得出结论R6C7=7，从而证明假设R6C7<>7是错误的，结果应该是R6C7=7从这条链接（环）中我们可以看出也是一条强弱交替出现的链接，其中只有一个节点（F7）的相邻链接为强链接，那么这个节点的数值就是该宫格值。第三篇本篇着重介绍一些解题时的常用技巧一、Single（唯一数）唯一数分为唯一显式候选数（Naked Single）和唯一隐式候选数（Hidden Single）1、唯一显式候选数（Naked Single）当某个宫格中候选数只存在唯一一个候选数时，该宫格值就是该候选数。如下图黄色标记所示的D1（R4C1）中候选数9、E3（R5C3）中候选数6、H2（R8C2）中候选数1书写时可用D1=9（或R4C1=9）、E3=6（或R5C3=6）、H2=1（或R8C2=1）来表示。2、唯一隐式候选数数（Hidden Single）当某单元（行、列、宫）中某候选数只出现一次时，该候选数所在宫格值就是该候选数。I7的候选数9是第I行唯一出现的候选数，I7=9；E9的候选数2是第9列唯一出现的候选数，E9=2；G5的候选数5是第8宫（也称下中宫）唯一出现的候选数，G5=5。二、完全约束候选数（Locked Candidates）1、当某宫中某候选数只存在于某行（列）时，可删除在其他宫中此行（列）的候选数。第8宫中候选数1（绿色）只存在于G行，可删除G行其他宫（第7宫、第9宫）中候选数1（黄色）。第2宫中候选数7（绿色）只存在于第3列，可删除第3列其他宫（第7宫）中候选数7（黄色）。2、当某行（列）中某候选数只存在于某宫中，可删除此宫中其他行（列）的该候选数第B行中候选数7（绿色）只在第1宫中，删除C2候选数7（黄色）。第6列候选数4（绿色）只存在于第2宫，删除A4、A5、B4、B5、C4、C5候选数4（黄色）。三、显式子集（Naked SubSets）1、显式数对（Naked Pair）在一个单元中，如果有两个宫格都包含且只包含相同的两个候选数，则这两个候选数不能再出现在该单元其他的宫格中。显示数对的形式为XY，XY。看上图I行中I1和I8的候选数只有4和5（绿色），它们就组成了显式数对4 5，意味着在I行中4和5只能存在于I1和I8中，故能删除第I行中其他宫格的候选数4和5，如I2、I5、I6、I7中黄色候选数4和5。上图第9宫中G9和I8组成了显式数对2 5，可删除第9宫其他宫格中的候选数2和5。2、显式三链数（Naked Triple）在一个单元中，如果有三个宫格都包含且只包含相同的三个候选数，则这三个候选数不能再出现在该单元其他的宫格中。显式三链数的形式有很多种，如XYZ，XYZ，XYZ、XY，XYZ，XYZ、XY，YZ，XYZ、XY，YZ，XZ等等。上图中绿色数字宫格组成了显式三链数，可删除相应单元中的其他候选数（红色）。3、显式四链数（Naked Quadruple）在一个单元中，如果有四个宫格都包含且只包含相同的四个候选数，则这四个候选数不能再出现在该单元其他的宫格中。上图中绿色数字宫格组成了显式四链数，可删除相应单元中的其他候选数（红色）。四、隐式子集（Hidden SubSets）1、隐式数对（Hidden Pair）在一个单元中，如果有两个宫格的候选数中包含有相同的两个候选数，且在该单元的其他宫格中不再含有这两个候选数，则这两个候选数所在宫格的除该两个候选数之外的其他候选数将被删除。第2宫（或第5行）中绿色候选数4和6只出现在A5和C5宫格中，红色候选数将被删除。2、欠一数对（Almost Locked Pair）数对、三链数、四链数被统称为完全约束候选数（Locked Candidates），如果还差一点，就成为了非完全约束候选数（Almost Locked Candidates）。我们取其中的数对部分（Almost Locked Pair）来讲解。下面的讲解图中“/”表示不含有X和Y，“XY”表示可删除XY。R1C4和R2C1为双值格X Y，绿色方框中表示宫格中含有X和Y候选数。这样的盘面简单地说就是：如果宫中不含有X Y，则删除行（列）中其他X Y；如果行（列）中不含有X Y，则删除宫中其他X Y。举例：第4宫中除了双值格6,8，其余的6和8均在第5行，那么就可以把第5行的6和8与第5行的双值格6,8结合起来看成是数对6,8可以删除棕色候选数6。欠一数对还能倒推应用：还是上图的例子绿色候选数要组成欠一数对的形式，必须把棕色候选数6删除。欠一数对这种技巧在直观法中应用的也比较多，如：通过摒除法得知画“X”的宫格中已不包含有7和8，而在第9宫的蓝色宫格中含有7和8的候选数，那么根据欠一数对技巧可以倒推出R8C6为双值格7,8。再用1对第8宫摒除得R8C5=1。欠一数对还可以稍微变换一下结构：同样可删除第1宫中其他宫格候选数X和Y。再加以演化一下：第一行可以看成是数对W,X而删除第1行其他宫格的W和X ；第一宫可以看成是数对Y,Z而删除第1宫其他宫格候选数Y和Z。这种技巧也称之为Sue de Coq，在后面将会详细介绍。3、隐式三链数（Hidden Triple）在一个单元中，如果有三个宫格的候选数中包含有相同的三个候选数，且在该单元的其他宫格中不再含有这三个候选数，则这三个候选数所在宫格的除该三个候选数之外的其他候选数将被删除。红色候选数将被删除。4、隐式四链数（Hidden Quadruple）在一个单元中，如果有四个宫格的候选数中包含有相同的四个候选数，且在该单元的其他宫格中不再含有这四个候选数，则这四个候选数所在宫格的除该四个候选数之外的其他候选数将被删除。红色候选数将被删除。五、基础鱼形（Basic Fish）“鱼”形只是种类集合归类，无法象形释义。1、 矩形对角线法（X-Wing，日本称之为四角之对角线原理）如果一个候选数出现且只出现某两行的相同两列上（某两列的相同两行上），则可以删除这两列（行）上其他宫格中的该候选数。X-Wing不可能出现在一个宫中。 红色“X”为可删减的所有格位。绿色候选数1在第1列和第8列只出现2次（强链接），且组成了矩形，则删除D行和G行其他宫格中的候选数1（红色）。再举一例：2、 剑鱼（Swordfish）如果一个候选数出现且只出现某三行的相同三列上（某三列的相同三行上），则可以删除这三列（行）上其他宫格中的该候选数。再举一例：3、 水母（Jellyfish）如果一个候选数出现且只出现某四行的相同四列上（某四列的相同四行上），则可以删除这四列（行）上其他宫格中的该候选数。再举一例：六、单一数字图形（Single Digit Patterns）1、摩天楼（Skyscraper）红色“X”为可删除格位。上图中F行中F6、F8中的6构成楼底（F行强链接），对应的第6列A6和第8列C8中的6构成楼顶（第6列和第8列中的6均也为强链接），楼底在同一水平宫中，楼顶也在同一水平宫中但不在同一单元，且楼底所在水平宫和楼顶所在水平宫不是同一水平宫，即构成摩天楼形状。可删除楼顶两个6所能同时看到的其他宫格的6（红色）。再举一例：B3和D3中的4构成楼底，B6和D5中的4构成楼顶，它们能同时看到C5和E6中的4，故能删除C5、E6中的4。但是C6、F5和G5中的4不能同时被楼顶的4看到，所以不能删除。拓展一下，双强链XY也是同样能使用该技巧的。红色XY是可被删除的候选数。2、双线风筝（2-String Kite）红色“X”为可删除格位。H行的2为强链接，第3列的2为强链接，第8宫的2为弱链接（强链接也可看做弱链接），删除顶点交叉宫格的2（E9<>2）。再看一例：3、多宝鱼（Turbot Fish）红色“X”为可删除格位。再看一例：4、 空矩形（Empty Rectangle）验证：若G7=2 -> G6 <> 2;若G7 <> 2 => E7 = 2 -> E4 <> 2 & E6 <> 2 => D6 = 2 -> G6 <> 2,故G6 <> 2。再举一例： 空矩形是经常碰到的一种解题技巧，实战中主要是观察某宫的十字交叉情况，一般常见的有：第四篇本篇着重介绍一些解题时的高级技巧一、 链和环（Chains and Loops）链（Chain）和环（Loop）基本上可以理解为同一概念。但是有时候“链”是指不封闭的环，而如果说到“环”那就是指封闭的链接。1、 单数链（X-Chain）单数链也称单数环，或者X链。X-Chain也是理解强弱链接关系的典型方式。强链接用红色实线表示，弱链接用红色虚线表示，可以看到是一个强弱交替出现的链接。被删除的3（I1）和B1宫格的3、I2宫格的3均是弱连接，应该被删除。2、 XY链（XY-Chain）也有人称之为异数链或双数链。XY链是一条双值宫格组成的链，与X链相同之处在于，XY链也证明了链的两端必有一个要填入该数字，所以这个数字就可以从所有能同时看到链两端的宫格中删除。3、 遥控数对（Remote Pair）遥控数对可看作是XY链的一个特例。稍微复杂的一个例子：二、 翼（Wings）1、W-Wing，也有人称为Y-Wing含有相同候选数的两个双值宫格，通过其中一个候选数进行强连接，就能删除另一个候选数所能同时看到的其他宫格中的数值。I7和I8中的2必需是强链接。2、M-Wing两个双值格a,b有共同的交叉数a，其中一个双值格（蓝色）候选数a和b 分别在行和列中为强链接，则删除另一双值格b（橙色）和强链接数b（紫色）所能同时看到的候选数b。举例：数对3,9，黄色宫格中3和9分别在行和列中是强链接，且两个数对共有交叉数3，则红色的9将被删除。再举个例子：R8C2的2为强链接（列），9为强链接（行），可以删除R2C3的候选数9（黄色）。拓展一下也可以：3、XY-WingXY-Wing可以看做是XY-Chain的特例。4、XYZ-Wing看上图，D1、F3、H3是不在同一单元中但有关联的三链数，且三值格在链的中间。a、 若D1 = 5，则D3 <> 5；若D1 = 3 -> F3 <> 3，则F3和H3组成数对4 5，D3 <> 5。b、 若H3 = 4，则D1和F3组成数对3 5，D3 <> 5；若H3 = 5，则D3 <> 5。c、 若F3 = 5，则D3 <> 5； 若F3 = 3，则D1 = 5，D3 <> 5； 若F3 = 4，则H3 = 5，D3 <> 5。从上推断可以看出，不管D1、F3、H3是什么值，都能得出D3 <> 5的结论。实际解题时是观察能被三个蓝色的5同时看到的其他宫格中的5都被删除。5、WXYZ-WingWXYZ-Wing其实是ALS的一个特例（ALS详见后面的介绍）。典型的WXYZ形态如下： 其中WXYZ表示拥有4个候选数的宫格，它与WZ在同一宫但不同列中，与XZ和YZ在同一列但不同宫中。“*”表示可删除宫格中的Z。证明：如果WXYZ=W，则WZ必为Z，星号所示宫格中必然不能填入Z；如果WXYZ=X，则XZ必为Z，星号所示宫格中必然不能填入Z；如果WXYZ=Y，则YZ必为Z，星号所示宫格中必然不能填入Z；如果WXYZ=Z，星号所示宫格中必然不能填入Z；实例：紫色和绿色数字组成WXYZ形态，W=2，Z=5，可以删除他们同时能看到的B8的候选数5（黄色）。6、XY Chain三个双值格可组成XY-Wing，若有多于三个双值格组成的链，称之为XY Chain红色候选数2将被删除。7、唯一矩形（Uniqueness Rectangle，简称UR）UR解题是利用了标准数独的定义来解题的-标准数独有且只能有唯一解（唯一性）。一道标准的数独题目如果删除某些候选数后会产生无解或多解，那么这种情况是必须要避免的。一道标准数独至少需要17个已知数才可能有唯一解。但是见过77个已知数却不是唯一解的题目么？先来看看以下盘面：剩下的红色宫格有以下2种填法：有一些唯一解的题目，如果做错了也可能出现这样的结构：所有宫格均为双值格，且无摒除解。我们将类似于上面的形式称之为致命模式（Deadly Pattern）在解题时经常会出现一些接近于致命模式的盘面，我们称之为Almost Deadly Pattern，也由此产生了一些解题技巧，如下面要介绍的唯一矩形（Unique Rectangle），全双值坟墓（BUG + 1），可避免的矩形（Avoidable Rectangle）等。下面我先将小于10格的致命模式列出：再来看看实例：绿色和红色候选数所在的宫格中均含有候选数5,6，红色候选数宫格中还多了候选数2。假设候选数2不存在，那么就会形成4个宫格候选数都是5,6的情况。这样的情况就会形成多解。如：R6C1=5，则R6C3=6，R9C1=6，R9C3=5 R6C1=6，则R6C3=5，R9C1=5，R9C3=6上面两种解都会成立，题目形成多解。这种结构必须要被破坏掉，才能使题目有唯一解。而要破坏这种结构只能把R9C1的候选数5和6（红色）删除掉才行。所以R9C1=2。UR有6种基本式样和一些变种情况，现介绍如下：值得注意的是：4个宫格组成的UR只能在2个宫中才是UR盘面，如果是分别在4个宫中，那就不是UR，初学者相当容易搞错。如果了解一下出题方法，会更好地理解。有一些图形因为一定会出现致命结构而导致无论任何终盘套用这个图形，都无法得到唯一解的谜题。下面这个图形就是个例子：因为第4列与第6列的数字是可以互换的2组（1-9），所以至少有两个解。可以结合下面的实例来加深印象。 UR1矩形的4个顶点有3个是相同的双值格，删除剩余顶点的相同候选数。看看6个宫格的UR（一般也叫Unique Loop）:注意：6个宫格的UR只能在不大于3个宫中。G7必须为6，否则形成多解。再举个通过UR用直观法解题的例子：盘面已经做了些处理：R7行和R9行的数字1、2对第9宫摒除后得R8C7、R8C8为数对1，2，C9列的2只能在第6宫中。图中R4C7和R4C8不能同时为1、5，否则就是致命模式。通过列摒除法得知橙色宫格中不含1、5，所以1、5只能在R4C2和R4C7、R4C8中各一个，即R4C2的候选数只能是1、5。再通过列摒除法可以得知R4C4=2。这个例子可以仔细思考一下，对直观法解题有些帮助的。 UR2矩形的一条边的顶点为2个相同的双值格，另一条边的顶点除了也有相同的值外，还有另一个同样的候选数，那么，这个候选数所在单元的其他宫格中同类候选数将被删除。R4C5和R6C5中必有一个宫的值为8，否则形成双解。所以能删除红色候选数8。 UR3矩形的一条边的顶点为2个相同的双值格，另一条边的顶点除了也有相同的值外，还各自有另一个不同的候选数。如果在单元中还存在着一个宫格，其只包含着这2个候选数，那么，这2个候选数所在单元的其他宫格中同类候选数将被删除。做题时可以把蓝色的4，6看成类似数对来删除候选数，也是N个种类候选数在N+1个宫格中。（蓝色的4和6在3个宫格中）下图为复杂些的UR3：更加复杂的UR3： UR4矩形的一条边的顶点为2个相同的二值格a和b。另一条边的两个顶点中，若a为强链接，删除两个顶点的b；反之，若b为强链接，删除两个顶点的a。 UR5矩形的对角顶点为双值格，或者只有一个顶点为双值格，其余顶点除含有双值格数值外，还含有1个相同的其他候选数，那么，同时能被这些候选数看到的同类候选数将被删除 UR6矩形对角顶点为双值格a和b，如果该对角线顶点的a所在的行和列均为强链接，则删除另外两个对角线顶点的a；反之，如果该对角线顶点的b所在的行和列均为强链接，则删除另外两个对角线顶点的b。 隐式矩形（Hidden Rectangle）此技巧经常遇到，需熟练掌握。隐式矩形分为两大类：一是四个宫格中只有一个双值格；二是四个宫格中有两个双值格。a. 只有一个是双值格矩形的双值格顶点（a和b），其对角线顶点a所在行和列均为强链接，则删除b；反之，该顶点对角线的顶点b所在行和列均为强链接，则删除a。双值格a,b所在行为a的强链接，行的对边行为b的强链接，则删除双值格所在列的另一顶点的候选数a；反之，双值格a,b所在列为a的强链接，列的对边列为b的强链接，则删除双值格所在列行的另一顶点的候选数a。如下图：第1行为7的强链接，第9行为4的强链接，删除第9列I9宫格的候选数7（黄色）。b. 有两个是双值格这种情况又分为2种：一是两个双值格处在对角位置；二是两个双值格处在同行（或同列） 两个双值格处在对角位置这一类可以分为四小类：矩形的一条边是候选数a或b的强链接；矩形的两条平行边，一条是a的强链接，另一条是b的强链接；一个双值格所在的两条边是a或b的强链接；矩形的四条边都是a或b的强链接。矩形的一条边是候选数a或b的强链接：如果矩形的一条边是a（或b）的强链接，则平行边的非双值格顶点不能是a。如下图所示：矩形的两条平行边，一条是a的强链接，另一条是b的强链接：若矩形的一条边是a的强链接，另一条平行边是b的强链接，那么a（b）强链接的边的非双值格顶点要删除b（a）。如下图所示：一个双值格所在的两条边是a（或b）的强链接：这和只有一个宫格是双值格的情况一样，若a（b）是强链接则删除该顶点的b（a）。如下图所示：矩形的四条边都是a（或b）的强链接： 如果四条边都是a（b）的强链接，则删除两个双值格顶点的b（a）。如下图所示： 两个双值格处在同行（或同列） 这一类可以分成两小类：一是只有一个强链接；二是平行的两条边一是a的强链接，另一是b的强链接只有一个强链接: 一个双值格和一个非双值格所在边，若是a（b）的强链接，则删除另一个非双值格的b（a）。如下图所示：平行的两条边一是a的强链接，另一是b的强链接： 一个双值格和一个非双值格组成一条边，另一个双值格和非双值格组成另一条边。第一条边是a的强链接，第二条边是b的强链接，则删除第一条边非双值格的b和第二条边非双值格的a。如下图所示： 全双值坟墓（Bivalue Universal Grave + 1）简称BUG + 1BUG指的是一个盘势中所有剩余宫格的候选数均为双值，且每个候选数对于每行、列、宫来说出现且只出现两次。这样的情况将导致题目多解或无解。当然我们解题时要避免出现这样的情况。所以当盘面中某候选数删除后会形成BUG结构，那个这个候选数一定不能被删除。当盘面达到BUG基础上，某格的候选数增加了一个（3个候选数），我们将这样的盘面称之为BUG + 1，可以把3个候选数宫格中在其单元（行、列、宫）仅出现2次的候选数删除。因为不这么做将导致题目多解或无解。当非双值格不止一个时，还有BUG + 2.举例看看：除了D4宫格为三值格外，其余均是双值格。三值格中1和9分别在其行、列、宫中出现过2次，将被删除。于是D4=4，题目得解。当然很多形成BUG + 1盘面的题目，通过XY-Wing、XY Chains等方法也可完成。如D1、D7、H7、H8就形成了XY Chains，可删除D8的4。BUG + 1还是很容易观察的。有的时候三值格不止一个，又能得到什么结论呢？看下图：B8和H3中必须有一格为4，否者形成BUG致命模式。所以可以删除他们同时能看到的B3中的候选数4。 可避免的矩形（Avoidable Rectangle）简称AR，有2种形式：AR1和AR2很多数独软件一般用不同颜色来区分题目的给定数字和解题者解出的数值。这是有道理的。有时候我们可以通过这种颜色的区别来解题。AR1：题目中黑色数字为题目的给定数字，蓝色数字为解题者解出的数值。如果B9 =9，那么它和划红线的数字就形成了BUG模式。因为这4个宫格都可以还原成双值格7,9而不影响盘面（记住他们在2个宫中）。所以B9<>9。如果划红线的数字是黑色的已知数字，就不能用AR1（AR2）这种方式了，因为已知数字是不能还原的。同样下题中E7<>3。AR2：G3、H3必须有一个要为9，否则成为致命模式。所以能删除红色的9。同样可删除红色的9。三、 带鳍的/刺身（Finned/Sashimi）前面已经了解了X-Wing、Swordfish（剑鱼）、Jellyfish（水母），当然还有更复杂的鱼形，但是实战中碰到的比较少，或是难以发现，或是可以用其他的方法解题，所以就不用再追究更为复杂的鱼形了。但是这三种标准鱼形还有变形，也是必须掌握的，在实战中变形比标准形态会更多地遇上。“鳍”和“刺身”的区别：下图中鳍和刺身都用蓝色表示。如果去掉蓝色的数字后，单元中还剩2个及以上节点的，这个蓝色数字称为“鳍”；如果去掉蓝色的数字后，单元中只剩下1个节点的，这个蓝色数字称为“刺身”。1、 带鳍的X-Wing（Finned X-Wing）上图，如果没有蓝色的候选数5，那么4个绿色的候选数5组成了标准的X-Wing，可以删除第1列和第6列的其他候选数5。但是现在多了蓝色的候选数5，那么就只能删除红色的候选数5了。蓝色的候选数5我们就称之为“鳍（Fin）”。2、 刺身X-Wing（Sashimi X-Wing）绿色的候选数7缺少一个顶点，蓝色的2个候选数7就成为了“刺身（Sashimi）”，可删除红色候选数7。3、 带鳍的剑鱼（Finned Swordfish）蓝色的候选数2为“鳍（Fin）”，可删除红色候选数2。4、 刺身剑鱼（Sashimi Swordfish）蓝色候选数7为“刺身（Sashimi）”，可删除红色候选数7。5、 带鳍的水母（Finned Jellyfish）蓝色候选数8为“鳍（Fin）”，可删除红色候选数8。6、 刺身水母（Sashimi Jellyfish）蓝色候选数7为“刺身（Sashimi）”，可删除红色候选数7。第五篇本章介绍的是进阶技巧，若想完成具有一定难度的谜题，这些技巧也是需要掌握的。一、Sue de CoqSue de Coq简称SDC，中文有人翻译成“两不关联子集删除法”，是一种常用的进阶技巧。SDC由一个宫格和一行（或一列）组成