毕业设计(论文)最小比特误码率的算法研究分析.doc

大连海事大学 毕 业 论 文 年 月 最小比特误码率的算法研究专业班级： 通信工程3班 姓 名： 吴鹏 指导教师： 林斌 信息科学技术学院摘 要多用户检测历来开发基于最小均方误差（MMSE, Minimum Mean Square Error）的原则，并且已发现其在通讯方面的应用日益增加。本文在多用户检测的基础上，依据MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）模型，提出了替代MMSE准则的最小比特误码率（MBER, Minimum Bit Error Rate）准则。利用MATLAB仿真，结果表明，MBER滤波有效地利用滤波器输出的非高斯分布，因此，可以在较小的误码率方面，提供比MMSE方法显着的性能增益。分析了MBER的相关算法并做了性能比较。采用经典的Parzen窗或核密度估计概率密度函数，对MBER自适应线性滤波方法进行了简单的讨论。关键词：多入多出系统；多用户检测；最小比特误码率算法；核密度估计ABSTRACT Multiuser Detection (MUD) has traditionally been developed based on the minimum mean square error (MMSE) principle and has found ever-increasing applications in communications. The paper develops filtering based on an alternative minimum bit error rate (MBER) criterion for communication applications with the MIMO model. It is shown that the MBER filtering exploits the non-Gaussian distribution of filter output effectively and, consequently, can provide significant performance gain in terms of smaller bit error rate (BER) over the MMSE approach. Then we consider a class of MBER algorithms and make the performance comparison. Adopting the classical Parzen window or kernel density estimation for a probability density function (pdf), extension of the MBER approach to adaptive filtering is also discussed.Keywords: MIMO system；MUD；MBER algorithms；kernel density estimation目 录 第1章 绪论1 1.1 多用户检测技术的由来1 1.2 多用户检测的原理和主要算法1 1.2.1 原理1 1.2.2 多用户检测的主要算法2 1.3 检测器的性能指标5 1.3.1 误码率5 1.3.2 渐近有效性5 1.3.3 抗远近能力6 1.4 本章小结6 第2章 多用户MBER算法的研究7 2.1 MIMO系统的介绍7 2.1.1 MIMO的背景7 2.1.2 MIMO的概念7 2.1.3 MIMO研究状况8 2.2 系统模型10 2.3 最小误码率（MBER）算法12 2.4 收敛性14 2.5 本章小结15 第3章 MBER算法的改进形式16 3.1 共轭梯度法16 3.2 拟牛顿法16 3.3 步长的选择17 3.4 本章小结19 第4章 MBER算法的自适应形式20 4.1自适应滤波理论的简介20 4.2 短时型21 4.3 随机型22 4.4自适应MBER算法的应用23 4.5本章小结24 第5章 仿真及其结果分析25 5.1 单用户信道均衡25 结论31 参 考 文 献32 致 谢33 附录1最小比特误码率的算法研究第1章 绪论1.1 多用户检测技术的由来国际电信联盟(ITU)在2000年5月确定了W-CDMA、CDMA2000和TDS-CDMA三大主流无线接口标准。虽然这些方案不甚相同，但是全世界在第三代移动通信中采用宽带码分多址（CDMA）技术已经达成共识。 实际的CDMA通信系统中存在的主要干扰是：码间干扰（ISI）、多址干扰（MAI）、以及系统中强信号对弱信号的抑制（远近效应）,其中ISI的补偿主要采用均衡技术，远近效应的克服主要通过功率控制，而MAI的消除主要依靠多用户检测技术(MUD）。 传统接收机的缺点是将多址干扰当作高斯白噪声，因此大大降低了系统容量,而多用户检测技术将造成多址干扰的所有用户信号信息均看作有用信号信息+利用其对单个期望信号解调+来降低多址干扰和远近效应的影响,目前多用户检测技术已被列为第三代移动通信及新一代移动通信系统中的关键技术之一，该技术的发展也是通信技术中最重要的新进展之一。1979年，K.S.Schneider提出了多用户检测的思想。 1986年S.Verdu提出基于最大似然序列(MLSE)的最优多用户检测算法。此后多用户检测技术成为了无线通信领域的研究热点之一,但MLSE检测器由两个很重要的缺点：一是算法的复杂度太高，二是需要知道的信息太多（如接收信号的幅度和相位信息）,因此研究人员一直致力于降低最优检测器复杂度算法的研究以及基于其它准则的次最优检测器的研究,并且形成了几个重要的研究方向：低复杂度ML多用户检测、线性多用户检测、自适应多用户检测、盲自适应多用户检测、基于干扰对消的多用户检测、神经网络多用户检测、支持向量机多用户检测、空时多用户检测以及这些算法的结合。1.2 多用户检测的原理和主要算法1.2.1 原理多用户干扰不是纯粹无用白噪声，有着强烈结构性的伪随机序列，用户间的相关函数已知，因此可以用该已知信息来消除其影响。由此，Verdu提出多用户检测的理论和方案。该方案是以匹配滤波器加维特比检测算法实现最大似然序列检测（MLSD）的最优多用户检测器。该算法可达到单用户接收的性能，但算法复杂，难以实现。寻求易实现的次优多用户检测器。次优多用户检测技术分线性和非线性两大类，而非线性多用户检测又以干扰抵消多用户检测为主。CDMA系统是建立在正交编码、相关接收的理论基础上，以扩频通信技术为基础的多址技术。若不同用户的特征波形（扩频波形）是正交的，那么将信号与特定用户的扩频序列求相关运算的接收机是最佳接收机，多址干扰根本就不存在。然而，由于用户之间的不同步以及不同用户的信号是以不同的时间延迟到达接收机的，所以不可能使特征波形在所有可能的相对延迟范围内正交，进而不可避免存在MAI。多用户检测技术在传统检测技术的基础上，充分利用造成多址干扰的所有用户信号信息对多用户做联合检测，以有效地消除MAI和远近效应。1.2.2 多用户检测的主要算法用户检测技术发展至今，一方面依据于新的准则不断有新的多用户检测器被提出，另一方面现有的检测器在具体实现上也不断有新的算法出现。多用户检测技术还紧随CDMA系统的变化，参与到CDMA系统的发展和实现中。其主要算法1有：1.2.2.1 最优多用户检测1986年，美国学者Verdu首先提出利用已知扩频码的结构信息来克服多个用户之间干扰的多用户检测理论与方案。 Verdu提出的多用户检测器是在加性高斯白噪声信道（AWGN）下的最优多用户检测。接收机最优结构为匹配滤波器加上维特比检测算法，即最大似然序列检测。把联合最优解调看作一个元决策问题,它采用的是贝叶斯后验概率最大的原理，因此是一种最大似然估计算法。从理论上可以证明，采用最大似然检测可以逼近单用户接收性能，并有效地克服了远近效应，大大地提高了系统的容量，能达到理论上的最小错误概率，故称之为最优多用户检测。但实现上述算法的运算量随着用户数成指数增长，即复杂度为，所以最优多用户检测是一个NP完全问题。且实现MLSD算法需要知道所有用户的扩频码、信号幅度、相位和多径时延。因此，最优的MLSD算法的用户检测器在实际中是难以实现的，它仅具有理论意义和实际实现时的理论标准，所以研究人员为了寻求实际应用价值的方案，在算法复杂度与性能上进行折中，提出了很多改进的MLSE算法和基于其它准则的次最优多用户检测算法。1.2.2.2 低复杂度ML检测在所有的多用户检测器里MLSE检测器的性能是最好的，但是它有一个最大的缺点，即复杂度太高。研究人员所采用的降低MLSE检测器复杂度的算法主要分为两种，一种是将MLSE检测器与其它检测器联合使用，如MMSE-ML检测器，另一种是纯粹在算法上进行改进，如EM-ML检测器、PC-ML检测器、ML-Sphere decoding检测器、DM检测器、SAGE检测器等。EM-ML检测器是将最大期望算法应用于ML检测器中，这种结合方式可以使ML的运算复杂度降低。PC-ML检测器的全称为多项式复杂度ML检测器，PC-ML检测器只在特定的条件下才可以应用，对特征波形的相关矩阵有严格的要求。ML-Sphere decoding检测器是通过求取离接受信号最近的发送信息星座图内的点，来联合检测多个用户的发送信息的。MMSE-ML检测器的过程是先进行可信度判断，最后通过对误差矢量的求解来判断是否对MMSE的输出做出修正。在ML检测器中对所有信息点的搜索方式变成了对特定点的误差矢量的搜索。基于用户分组思想的DM检测器、SAGE检测器，在复杂度的降低上取得了较大的进展，很有进一步研究的价值。在改进MLSE算法的同时，研究人员还提出了许多基于其它准则的次最优多用户检测，如基于最小均方误差（MMSE）、最小输出能量（MOE）、最大渐进有效性准则等。这类算法在目前硬件可以承受的复杂度下实现了较好的检测性能，因此有些是实际中经常用到的。1.2.2.3 普通线性多用户检测该类检测目的是寻找一个线性变换将充分统计量映射到多用户的符号序列集，将传统相关器的输出矩阵进行线性变换，再对变换后的输出序列进行判决。线性多用户检测算法复杂度与用户数成线性关系。令表示线性变换矩阵，若接收机匹配滤波器组的输出信号向量为，则线性多用户检测器的输出为因此线性检测器的字符决策统计量为线性检测器设计问题的提法是：通过某个代价函数的最小化选择。当线性变换的矩阵取不同的形式时，便得到了几种常见的线性多用户检测器。解相关检测器：为了将CDMA系统中不同用户扩频波形之间的线性相关解除，达到抑制多址干扰的目的，Schneider和Kohno等人提出了基于最大最小准则的解相关多用户检测算法，该算法完全消除了MAI，有效地提高了系统性能，且不需估计接受信号幅度，系统性能与干扰用户的容量无关，误码率与干扰用户功率无关。它能实现所有用户间的完全解相关，即解相关检测器完全消除了MAI，因此有效地抑制了“远,近”效应，但渐进有效性不如最优检测器；另一方面，最优检测器需要知道期望用户和干扰用户的扩频波形、定时和相对幅值等全部信息，而解相关检测器只需知道所有用户的扩频波形即可。其计算量比最佳多用户检测器小得多，但仍需要矩阵求逆，因此计算量还是比较大，同时它增强了噪声功率，即它对信息比特的完全解相关是以增强噪声背景为代价的。最小均方误差检测器：解相关检测器在完全抵消多址干扰的同时，放大了噪声信号。在低的信噪比下，误码率性能可能低于传统的检测器。为了解决这一问题，U.Madhow提出了最小均方误差检测算法，该算法是基于发送的数据比特与传统检测器软输出的均方误差最小化为准则，在多址干扰与噪声放大之间取了一个很好的折衷。线性多用户检测器的目的就是使第个用户发送信号与其估计值之间的误差的均方值达到最小。检测器在消除MAI和不增强背景噪声之间做了折衷，其缺点是必须对信号的幅值进行估计，另外它的性能依赖于干扰用户的功率，这样在抗远近效应方面的性能较弱，同时又要计算逆矩阵，其计算量也较大。当MAI占统治地位，噪声分量不存在时，MMSE多用户检测变为解相关线性多用户检测；在另一种极端情况下，如果噪声远强于MAI，多用户检测器就退化为传统的单用户检测器。1.2.2.4 自适应多用户检测在实际通信系统中，多用户检测器应该是适时处理的。自适应多用户检测可分为自适应解相关多用户检测与自适应MMSE多用户检测。后者是基于MMSE准则，利用一些自适应算法（如RLS和LMS来实现）在时不变和慢衰落多径信道中，该检测在抑制干扰的同时可自动进行多径分集组合。但在快速衰落多径信道中RLS和LMS算法显得无效。目前比较成熟的算法有基于随机梯度算法和递归最小二乘算法。另外，为了降低跟踪信道的负担，提出了组合差分解调和RLS算法实现的差分最小二乘算法（DLS）；为了分离独立衰落的多径分量，提出将RAKE结构和MMSE检测结合的算法，以及采用Kalman滤波进行信道跟踪的算法等。1.2.2.5 盲自适应多用户检测虽然自适应多用户检测器有一些优点，但当信道突变时，如新干扰的出现和消失，特别在快速衰落的多径信道中，由于传输中的训练数据本身就不很可靠，对自适应多用户检测系统来说稳定性和收敛性会受到严重影响。此外，发送训练序列由于增加了系统的额外开销，故降低了传输速率。为此，Honig等人提出了盲自适应多用户检测算法，即不需要训练序列的自适应多用户检测器。该类算法不需要其他用户信息（如干扰用户特征波形、定时、接收信号幅度等）和训练序列，只需目标用户的特征波形和定时。根据接收机所需要的先验知识，可以将盲多用户检测分为两类：第一、半盲检测，就是干扰用户特征序列部分已知条件下的检测，适用于小区基站。第二、盲检测，是不知道所有干扰用户特征序列条件下的检测，适用于移动台。两者的主要思想都是通过空间跟踪技术获得信号自控并利用它来消除未知用户造成的干扰。第二类多用户检测可以归结为更一般的多输入多输出系统的盲辨识问题。1.2.2.6 主要非线性多用户检测:由于线性多用户检测法复杂度高、收敛慢，从可实现性角度考虑的研究方向主要集中于非线性多用户检测法。非线性多用户检测又称为面向决策的多用户检测，由于没有系统的数学描述与分析工具，在理论上研究较为困难，但可利用一些工程数学方法，进行粗略的分析描述和仿真。从工程上来看，往往优于线性检测算法。其主要算法有：基于干扰抵消的多用户检测、神经网络多用户检测、支持向量机多用户检测等。1.3 检测器的性能指标评价一种多用户检测器的性能，有三个最主要的性能测度：误码率、渐进有效性和抗远近能力2。1.3.1 误码率假定在AWGN信道，不存在干扰用户时，具有能量的单用户系统的误码率定义为 （1.1）式中，为噪声方差。当存在多个用户时，由于多址干扰的存在，误码率会增大。此时用户 的误码率定义为 （1.2）式中， 为用户达到所需的能量，即有效能量。1.3.2 渐近有效性渐近多用户有效性是衡量干扰用户对目标用户误码率影响的测度，简称渐近有效性。多用户有效性定义为多用户系统达到单用户系统相同误码率所需能量与单用户系统所需能量之比，即 （1.3）渐近多用户有效性定义为在高信噪比情况下多用户有效性的极限，即 （1.4）渐近有效性的取值介于0和1之间。 由上式可见，在背景噪声趋于零但误码率并不趋于零的情况下，渐近有效性等于零。这表明，在没有任何背景噪声的情况下，单用户检测器也存在着非零的误码率；反之，正的渐近有效性意味着误码率不仅随趋于零，而且衰减速率为。另一方面，则表示用户不受其他用户干扰的影响。1.3.3 抗远近能力抗远近能力就是用来描述检测器抵抗远近效应能力的指标。 抗远近能力定义为在所有相关用户能量范围内测量到的最坏情况下的渐近有效性，即 （1.5）抗远近能力一般取决于扩频波形和解调器。1.4 本章小结本章详细介绍了多用户检测器的原理及其主要算法，并指出了多用户检测器的性能评价的3个指标。由上可见，误码率是评判多用户检测器的一个重要性能指标，这也是下文所阐述的基础。第2章 多用户MBER算法的研究2.1 MIMO系统的介绍2.1.1 MIMO的背景多入多出（MIMO, Multiple-Input Multiple-Out-put）或多发多收天线（MTMRA）技术3是无线移动通信领域智能天线技术的重大突破。该技术能在不增加带宽的情况下成倍地提高通信系统的容量和频谱利用率，是新一代移动通信系统必须采用的关键技术。 实际上多进多出（MIMO）技术由来已久，早在1908年马可尼就提出用它来抗衰落。在70年代有人提出将多入多出技术用于通信系统，但是对无线移动通信系统多入多出技术产生巨大推动的奠基工作则是90年代由AT&T Bell实验室学者完成的。1995年Teladar给出了在衰落情况下的MIMO容量；1996年Foshinia给出了一种多入多出处理算法对角-贝尔实验室分层空时(D-BLAST)算法；1998年Tarokh等讨论了用于多入多出的空时码；1998年Wolniansky等人采用垂直-贝尔实验室分层空时(V-BLAST)算法建立了一个MIMO实验系统，在室内试验中达到了20 bit/s/Hz以上的频谱利用率，这一频谱利用率在普通系统中极难实现。这些工作受到各国学者的极大注意，并使得多入多出的研究工作得到了迅速发展。 一句话，MIMO（Multiple-Input Multiple-Out-put）系统就是利用多天线来抑制信道衰落。根据收发两端天线数量，相对于普通的SISO（Single-Input Single-Output）系统，MIMO还可以包括SIMO（Single-Input Multiple-Output）系统和MISO（Multiple-Input Single-Output）系统。 2.1.2 MIMO的概念通常，多径要引起衰落，因而被视为有害因素。然而研究结果表明，对于MIMO系统来说，多径可以作为一个有利因素加以利用。MIMO系统在发射端和接收端均采用多天线（或阵列天线）和多通道，MIMO的多入多出是针对多径无线信道来说的。传输信息流经过空时编码形成个信息子流。这个子流分别由个天线发射出去，经空间信道后由个接收天线接收。多天线接收机利用先进的空时编码处理能够分开并解码这些数据子流，从而实现最佳的处理。 特别是，这个子流同时发送到信道，各发射信号占用同一频带，因而并未增加带宽。若各发射接收天线间的通道响应独立，则多入多出系统可以创造多个并行空间信道。通过这些并行空间信道独立地传输信息，数据率必然可以提高。 MIMO将多径无线信道与发射、接收视为一个整体进行优化，从而实现高的通信容量和频谱利用率。这是一种近于最优的空域时域联合的分集和干扰对消处理。 系统容量是表征通信系统的最重要标志之一，表示了通信系统最大传输率。对于发射天线数为，接收天线数为的多入多出（MIMO）系统，假定信道为独立的瑞利衰落信道，并设、很大，则信道容量近似为：（2.1）式中，为，的较小者； 为信号带宽； 为接收端平均信噪比。上式表明，功率和带宽固定时，多入多出系统的最大容量或容量上限随最小天线数的增加而线性增加。而在同样条件下，在接收端或发射端采用多天线或天线阵列的普通智能天线系统，其容量仅随天线数的对数增加而增加。相对而言，多入多出对于提高无线通信系统的容量具有极大的潜力。 可以看出，此时的信道容量随着天线数量的增大而线性增大。也就是说可以利用MIMO信道成倍地提高无线信道容量，在不增加带宽和天线发送功率的情况下，频谱利用率可以成倍地提高。利用MIMO技术可以提高信道的容量，同时也可以提高信道的可靠性，降低误码率。目前MIMO技术领域另一个研究热点就是空时编码。常见的空时码有空时块码、空时格码。空时码的主要思想是利用空间和时间上的编码实现一定的空间分集和时间分集，从而降低信道误码率。 2.1.3 MIMO研究状况目前，各国学者对于MIMO的理论、性能、算法和实现的各方面正广泛进行研究。在MIMO系统理论及性能研究方面已有一批文献，这些文献涉及相当广泛的内容。但是由于无线移动通信MIMO信道是一个时变、非平稳多入多出系统，尚有大量问题需要研究。比如说，各文献大多假定信道为分段、恒定衰落信道。这对于宽带信号的4G系统及室外快速移动系统来说是不够的，因此必须采用复杂的模型进行研究。已有不少文献在进行这方面的工作，即对信道为频率选择性衰落和移动台快速移动情况进行研究。再有，在基本文献中，均假定接收机精确已知多径信道参数，为此，必须发送训练序列对接收机进行训练。但是若移动台移动速度过快，就使得训练时间太短，这样快速信道估计或盲处理就成为重要的研究内容。 另外实验系统是MIMO技术研究的重要一步。实际系统研究的一个重要问题是在移动终端实现多天线和多路接收，学者们正大力进行这方面的研究。由于移动终端设备要求体积小、重量轻、耗电小，因而还有大量工作要做。目前各大公司均在研制实验系统。 Bell实验室的BLAST系统是最早研制的MIMO实验系统。该系统工作频率为1.9 GHz，发射8天线，接收12天线，采用D-BLAST算法。频谱利用率达到了25.9 bits/(Hz·s)。但该系统仅对窄带信号和室内环境进行了研究，对于在3G、4G应用尚有相当大距离。在发送端和接收端各设置多重天线，可以提供空间分集效应，克服电波衰落的不良影响。这是因为安排恰当的多副天线提供多个空间信道，不会全部同时受到衰落。在上述具体实验系统中，每一基台各设置2副发送天线和3副接收天线，而每一用户终端各设置1副发送天线和3副接收天线，即下行通路设置2×3天线、上行通路设置1×3天线。这样与“单输入/单输出天线”SISO相比，传输上取得了1020dB的好处，相应地加大了系统容量。而且，基台的两副发送天线于必要时可以用来传输不同的数据信号，用户传送的数据速率可以加倍。 朗讯科技的贝尔实验室分层的空时（BLAST）技术是移动通信方面领先的MIMO应用技术，是其智能天线的进一步发展。BLAST技术就其原理而言，是利用每对发送和接收天线上信号特有的“空间标识”，在接收端对其进行“恢复”。利用BLAST技术，如同在原有频段上建立了多个互不干扰、并行的子信道，并利用先进的多用户检测技术，同时准确高效地传送用户数据，其结果是极大提高前向和反向链路容量。BLAST技术证明，在天线发送和接收端同时采用多天线阵，更能够充分利用多径传播，达到“变废为宝”的效果，提高系统容量。理论研究业已证明，采用BLAST技术，系统频谱效率可以随天线个数成线性增长，也就是说，只要允许增加天线个数，系统容量就能够得到不断提升。这也充分证明BLAST技术有着非常大的潜力。 鉴于对于无线通信理论的突出贡献，BLAST技术获得了2002年度美国Thomas Edison（爱迪生）发明奖。2002年10月，世界上第一颗BLAST芯片在朗讯公司贝尔实验室问世，贝尔实验室研究小组设计小组宣布推出了业内第一款结合了贝尔实验室Layered Space Time (BLAST) MIMO技术的芯片，这一芯片支持最高4×4的天线布局，可处理的最高数据速率达到19.2Mbps。该技术用于移动通信，BLAST芯片使终端能够在3G移动网络中接收每秒19.2兆比特的数据，现在，朗讯科技已经开始将此BLAST芯片应用到其Flexent OneBTS家族的系列基站中，同时还计划授权终端制造商使用该BLAST芯片，以提高无线3G数据终端支持高速数据接入的能力。 2003年8月，Airgo Networks推出了AGN100 Wi-Fi芯片组，并称其是世界上第一款集成了多入多出(MIMO)技术的批量上市产品。AGN100使用该公司的多天线传输和接收技术，将现在Wi-Fi速率提高到每信道108Mbps，同时保持与所有常用Wi-Fi标准的兼容性。 该产品集成两片芯片，包括一片Baseband/MAC芯片(AGN100BB)和一片RF芯片(AGN100RF)，采用一种可伸缩结构，使制造商可以只使用一片RF芯片实现单天线系统，或增加其他RF芯片提升性能。该芯片支持所有的802.11 a、b和g模式，包含IEEE 802.11工作组推出最新标准（包括TGi安全和TGe质量的服务功能）。 Airgo的芯片组和目前的Wi-Fi标准兼容，支持802.11a， “b”和“g”模式，使用三个5-GHz和三个2.4-GHz天线，使用Airgo芯片组的无线设备可以和以前的802.11设备通讯，甚至可以在以54Mbps的速度和802.11a设备通讯的同时还可以以108Mbps的速度和Airgo的设备通讯。 凭借在提高系统频谱利用率方面卓越的性能表现，多输入多输出（MIMO）技术已经成为移动通信技术发展进程中炙手可热的课题。 2.2 系统模型图2.2 MIMO系统的基本模型4图2.2为MIMO系统的基本模型。通过抑制码间干扰（ISI）和信道交叉干扰（CCI），智能天线辅助的空时处理能够实现无线系统的容量，覆盖和质量的大大改善。我们考虑上行的空分多址（SDMA）模型，每个发射器采用了单天线，基站（BS）采用同时有多个天线的接收器。要解释这样的SDMA多用户系统，可以借鉴比较经典的码分多址（CDMA）多用户系统。在CDMA系统中，每个用户是一个独特的用户特定的扩频码分开。相比之下，SDMA系统区别每个用户的是，相关的独特的用户特定的通道脉冲响应（CIR）。在这个比喻中，独特的用户特定的CIR扮演一个特定于用户的CDMA扩频码的作用。然而，由于CIRS的非正交性，我们需要一个有效的多用户检测（MUD）来对用户进行区分，并进行信息的接收。我们考虑基于多用户检测的空分多址系统的空间均衡（STE）。最流行的SDMA接收器设计的准则是最小均方误差（MMSE），从而促成简单和有效的最小均方（LMS）算法的自适应实施。然而我们认为，基于最小误码率（MBER）准则的多用户检测是一个更好的选择。下面我们对这个问题进行了讨论。考虑图2.2中的多天线SDMA系统，它支持个用户，每个用户都有单独的天线，而接收端是元天线阵。为方便起见，仅考虑单用户，即时的情况。考虑一般线性检测器的结构，具有FIR滤波器的特点5。它的一般表达式如下： （2.2）式中，是复数值的滤波器输入信号； 为滤波器长度； ，是滤波器的抽头系数。这样的滤波器结构常见于各种各样的通信系统中。例如，在信道均衡中，是由接收信号的延时组成的。对于CDMA系统的多用户检测，包括每个码元的样本值。在自适应波束形成中，由天线阵的接收信号组成。通常情况下，能够如下表示：（2.3）式中， 是复数值的高斯噪声向量，中值为0，相关矩阵，其中表示维的单位阵； 的大小是，为系统矩阵； 信息符号向量，。对于单用户应用系统，包含当前符号以及先前 传送的个符号；对于多用户应用系统，由不同的用户符号组成。一般来说，中的不同元素是互不相关的。在这里，调制方式是二进制相位键控（BPSK），所以中的元素为。考虑二进制符号的原因是简化概念并且关注本质。这个方法也可以推广至多进制系统。滤波器的目的是得到中的第个元素，这可由以下式子得出：（2.4）式中，表示符号函数； 的实数部分。定义，其中，是的所有可能序列。根据的值可以将论域分成两个子集，。所以滤波器的输出可以表示如下：（2.5）式中，是0中值且方差为的噪声函数； ，是无噪声的系统输出。 根据已有知识，线性滤波器的经典MMSE解6是：（2.6）式中，表示系统矩阵的第列元素。MMSE解通常来说不是最优的MBER结果。如果使其成为MBER解，则的条件概率密度函数必须服成高斯分布，而这显然是不可能的。因为误码率（BER）是滤波器性能的直接衡量指标，所以考虑最优的MBER算法显得是有必要的。下面开始导出MBER算法。2.3 最小误码率（MBER）算法为得到含有的误码率表达式，首先定义的概率密度函数是高斯分布的线性组合：（2.7）利用的概率密度函数，可以得到误码率的表达式：（2.8）式中， 。（2.9）式中，是的第个元素，与相对应。可以看出，BER对于的正比例结果是恒定的。另外误码率也可以有以下的表示：（2.10）（2.11）所以MBER解可以定义如下：（2.12）不同于MMSE算法具有唯一解，MBER算法没有闭合解。事实上，由于具有的特点，如果是MBER解，那么就是所有解。的关于的梯度函数如下：（2.13）利用这个梯度，这个最优化问题可以利用与梯度优化相关的算法来解决。由于归一化能够给运算带来简便，而不影响解的正确性，故梯度函数可以简化如下：（2.14）2.4 收敛性最速下降法有很好的整体收敛性，即对一般目标函数而言，它是整体收敛的。最速下降法至少是线性收敛的，但一般比较慢，所以它不是一个很好的算法。然而许多有效算法都是通过它进行改进或与它组合所得到的，许多算法的初始和再开始方向都是选择最速下降方向，因此它是值得研究的算法7。牛顿法具有二阶收敛速度，这是它最突出的优点。当初始点充分接近极小点时，牛顿法有很快的收敛速度。但是它也有如下很突出的几个缺点：（1） 对一般问题算法不是整体收敛的。（2） 每次迭代需要计算二阶导数矩阵。对于稍大的问题来说，计算量偏大。 （3） 每次迭代需求的线性方程组有可能是奇异的或病态的。这使得求方程组难度偏大。最速下降法以负梯度方向作为极小化方法的下降方向，又称梯度法，是无约束最优化中最简单和最古老的方法。设函数在附近连续可微，为单位方向（），由Taylor展开式得（2.15）设为与的夹角，则有（2.16）牛顿法与最速下降法一样是解无约束最优化问题的最早使用的经典算法，它的基本思想是用迭代点的梯度和二阶导数对目标函数进行二次函数逼近，然后把二次函数的极小点作为新的迭代点，并不断重复这一过程，直至求出最小点。设的二阶导数连续，它在的Taylor展开式前三项为（2.17）其中，。求得驻点，得如果非奇异，那么得到牛顿法迭代公式为（2.18）如果奇异，那么由下式确立：（2.19）2.5 本章小结根据MIMO模型，推导出多用户检测器的误码率表达式，这归结为一个无约束优化问题。讨论了基本MBER算法的收敛情况。第3章 MBER算法的改进形式3.1 共轭梯度法共轭梯度法是介于最速下降法和牛顿法之间的一个方法。最速下降法只使用一阶导数信息且方法简单，但收敛慢。牛顿法收敛快且为二阶收敛，但计算量大。共轭梯度法仅使用一阶导数信息，因此计算量比牛顿法小，同时收敛速度比最速下降法快。它的基本思想是取当前点的负梯度方向与前面搜索方向进行共轭化，从而产生当前点的搜索方向。共轭梯度法需要较少的储存量和计算量，当问题变量的维数较多时，用这个方法求解是非常有效的。其算法流程如下：（1） 选初值。给定初始点，令。给定精度。（2） 检验终止条件。如果，则，停止迭代。（3） 计算搜索方向，其中当时，。（4） 确定步长。（5） 计算新点。令，检验终止条件。为确定梯度方向，经过推导可知，可有多种形式。在共轭梯度法实际使用中，时常插入负梯度方向作为搜索方向。对于一般非二次函数，步以后共轭梯度法产生的搜索方向通常不具有共轭性。因此，每迭代或步后，重新选择负梯度方向作为搜索方向，这样得到的算法称为再开始共轭梯度法。我们知道，在最优解附近，目标函数与一个正定二次函数很接近。因此，当迭代点进入目标函数逼近正定二次函数的区域后，再开始方法能迅速收敛到最优解。对于大规模问题（很大），常常每（）步就进行再开始。此外，当搜索方向不是下降方向时，也插入负梯度方向作为搜索方向。3.2 拟牛顿法拟牛顿法是解无约束最优化问题的最有效方法之一。拟牛顿法的基本思想是模拟牛顿方向的生成途径，利用相邻两个点的位移及一阶导数信息构造与二阶导数阵相似的正定矩阵。所产生的方法计算量比牛顿法少，收敛速度达到超线性收敛。其中，BFGS的算法流程如下：（1） 选初值。给定初始点，（对称正定）令。（2） 检验终止条件。计算。若，算法终止。（3） 计算搜索方向并确定步长。（4） 计算新点。令，计算，。（5） 校正迭代矩阵。计算，检验终止条件。在牛顿法的实际计算中，如果出现方向不下降或搜索失败的情况，那么可使用再开始技术，即令搜索方向为负梯度方向，校正矩阵为单位阵。3.3 步长的选择步长的大小决定着算法的收敛速度和稳态时失调量的大小。对于步长取常数值来说，收敛速度和失调量是一对矛盾。而采用变步长的方法可以克服这一矛盾。理想的情况是，算法过程开始时，选用较大的步长以保证较快的收敛速度，然后让步长逐渐减小，以保证收敛后得到较小的失调量。通常有以下两种方案。（1） 步长恒定。在这里，步长的选择显得尤为重要。当步长较大时，常常会产生目标函数不能收敛的情况；当步长较小时，收敛速度将会变得很缓慢。一般来说，步长的选择是在0与1之间。（2）