函数导数与极值课件.ppt
南安国光中学 戴延清,3.3.2函数的极值与导数第一课时,高二数学 选修1-1,1、函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,设函数y=f(x)在(a,b)内可导，,f(x)在(a,b)内单调递增,f(x)在(a,b)内单调递减,一、复习导入-复习旧课,2.用导数求函数单调区间的基本步骤:,注、单调区间不 以“并集”出现。,已知函数 f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;,(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,一、复习导入-复习旧课,利用函数的导数 讨论函数 的单调性,解：,分析函数 在 附近的函数值分别与 的关系.,高台跳水运动中高度随时间变化的函数图像,一、复习导入-导入新课,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,一、复习导入-导入新课,单调递增,单调递减,h(a)0,跳水运动员在最高处附近的情况：,当t=a时，运动员距水面高度最大，,t=a,ta,ta,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,h(t)0,h(t)0,h(a)？,图像有什么特点？,导数的符号有什么变化规律？,图像先增后减,导函数连续变化，先正后负,一、复习导入-导入新课,探究：如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？,x,y,o,a,b,y=f(x),0,0,0,0,f(a)=0,f(b)=0,探究：如图所示函数y=f(x)在d、e、f、g、h点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？,x,y,o,a,b,y=f(x),0,0,极小值点a,f(a)=0,函数极值的定义,二、讲授新课-了解概念,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附近其他点的函数值都小，f(a)=0,在x=a附近的左侧 f(a)0，点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值；,x,y,o,a,b,y=f(x),0,0,极大值点b,f(b)=0,函数极值的定义,二、讲授新课-了解概念,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比附近其他点的函数值都大，f(b)=0,在x=b附近的左侧 f(b)0,右侧f(b)0点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。,函数极值的定义,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附近其他点的函数值都小，f(a)=0,在x=a附近的左侧 f(a)0，点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值；函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比附近其他点的函数值都大，f(b)=0,在x=b附近的左侧 f(b)0,右侧f(b)0点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,注：极值点指的是自变量x的值，极值指的是函数值。,二、讲授新课-了解概念,f(x)0,x1,极大值f(x2),极小值f(x1),f(x)0,f(x)0,f(x)0,x2,f(x)0,f(x)=0,f(x)0,极大值,f(x)0,f(x)=0,极小值,f(x)0,结论：极值点x0处，f(xo)=0,两侧单调性不同,导函数异号。,极值点的判断,探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？,(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。,一般地,判断函数的极值的方法是:解方程=0.当=0时.如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.,即“峰顶”,即“谷底”,小结,探究与思考：,导数为0的点一定是函数的极值点吗？,注意：f(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,例如：f(x)=x3,f(x)=3x20，,f(0)=302=0,导数为0的点一定是函数的极值点吗？,不一定,函数取得极值的充要条件是f(xo)=0,两侧导函数异号。,极大值点,极小值点,.学.科.网.,例1：求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当,即,或;当,即.,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以,当 x=2 时,f(x)有极大值 28/3;,当 x=2 时,f(x)有极小值 4/3.,当 x 变化时,f(x)的变化情况如下表:,定义域为 R，,例题1图像,-2,o,x,y,2,+,-,-,+,28/3,-4/3,f(x)=1/3 x3-4x+4,所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2,注意定义域,-2,2,例2：求函数 的极值。,求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域，求f(x);（2）求方程f(x)=0的根;（3）解不等式f(x)0、f(x)0得出单调区间;（4）列出x,f(x),f(x)变化情况的表格，找出极大值点和极小值点；(5)把极值点代入原函数，求出极值。若f(x0)左正右负，则f(x0)为极大值；若 f(x0)左负右正，则f(xo)为极小值。,求导求方程f(x)=0的根列表求极值,练习1：,求下列函数的极值:,练习2,练习1：,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,所以,当 时,f(x)有极小值,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,所以,当 x=3 时,f(x)有极大值 54;,当 x=3 时,f(x)有极小值 54.,练习1:,练习1：,求下列函数的极值:,解:,解得,所以,当 x=2 时,f(x)有极小值 10;,当 x=2 时,f(x)有极大值 22.,练习1:,求下列函数的极值:,解:,解得,所以,当 x=1 时,f(x)有极小值 2;,当 x=1 时,f(x)有极大值 2.,所以，当x=1时，函数的极小值是1/2.,练习2,解：函数定义域为（0，+）,有极大值和极小值,求a范围?,思考：,解析:f(x)有极大值和极小值 f(x)=0有2实根,已知函数,解得 a6或a-3,函数取得极值的充要条件是f(xo)=0,两侧导函数异号。,归纳小结,1、极值的定义。2、求极值的步骤。注意：极值点处导数一定为0，导数为0处不一定有极值。思想方法总结：观察、转化、数形结合。,求导求方程f(x)=0的根列表求极值,求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域，求f(x);（2）求方程f(x)=0的根;（3）解不等式f(x)0、f(x)0得出单调区间;（4）列出x,f(x),f(x)变化情况的表格，找出极大值点和极小值点；(5)把极值点代入原函数，求出极值若f(x0)左正右负，则f(x0)为极大值；若 f(x0)左负右正，则f(xo)为极小值,求导求方程f(x)=0的根列表求极值口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。,思考：已知函数 在 处取得极值。（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间。,作业,习题3.3.A组第4、5题选作：已知 在x=1处取得极值,且f(1)=-1.(1)求a,b,c的值;(2)判断x=1时函数取极大值还是极小值,并说明理由。,
