唯一性定理与静电屏蔽课件.ppt

唯一性定理与静电屏蔽,静电屏蔽问题：要把它的原理真正说透，需要用到唯一性定理.,(a)壳外面有若干正、负带电体，腔内无带电体。壳外电场对壳内电场没影响.(b)将带电体放入腔内，而壳外无带电体，外部空间壳内电场对壳外电场没影响.导体壳接地.(c)将(a)、(b)合并在一起。问题：(c)这时壳内、外电场的平衡分布是否各与 图(a)、(b)一样？答案是肯定的，这是可能的。,（1）、当壳外部电荷和电场分布的环境如(a)时，它在腔内不产生电场，从而 腔内的带电体所处的环境如(b)一样。（2）、当内部电荷和电场分布如(b)时，它在 壳 外不产生电场，从而壳外带电体处的 环境如(a)一样。当壳内、外带电体同时存在时，若壳内、外的电荷和电场分部分别与(a)、(b)相同的分布，是可以达到静电屏蔽的。,问题：空腔内、外带电体在相互影响下，是 否达到另一种与此不同的平衡分布？,唯一性定理将告诉我们，这是不可能的。由高斯定理：,泊松方程,如果知道电荷分布，可以解Poisson 方程，求电势 电场强度E。但还不够，因为Poisson eq.没有包括边界条件。边界条件：各导体的大小、位置、形状、电势、电荷、空间边界面上的电势。,实际中的静电学问题是:大多不是已知电荷分布求电场分布.而是通过一定的电极来控制(各带电导体的形状,大小,导体之间的相对位置各导体的电势或各导体上的电量)实现某种所要求的空间电场分布.前提是:给定各带电导体的几何形状,相互位置外.每个导体的电势ui每个导体上的总电量 Qi,如果知道电荷分布，可以解Poisson eq.求UE,但不能确定具体的电场分布，必须附加一些条件(如开始电场状态初值问题、或在边界上受到外界的约束边界问题）后，就能完全确定具体电场分布。边界条件是很重要的方法：分析实际问题，引入试探性解到Poisson eq.+边界条件。如果都满足，则：试探解就是方程的解。但是否唯一？,物理上：要确定给定区域各点的电场强，除知道电荷分布，还必须知道区域的边界面的各点电势值。电势可以反映区域外部的电荷分布对区域各点电场的贡献.,二、唯一性定理的表述,假设所研究空间V,界面S,V内有若干导体，如A,B,导体 A 的表面为 S1,导体 B 的表面为 S2,如果 V 是整个空间，边界S在无穷远，把除了导体 A,B之外的空间为V,V 的边界包括 S,S1,S2。为了唯一的确定空间的电场分布，除了知道电荷分布外，还需要知道其它条件：,（1）边界面上的电势和各导体上的电势。（2）边界面上的电势和各导体上的带电量给定。由条件，将分为两类问题来考虑：（1）对于第一类问题，唯一性定理表述如下：设 V内 有给定的电荷分布，并在边 界 S,Si 都有给定的电势，和 或者给定，V 电场被唯一的确定。,对于第二类问题，唯一性定理表述如下：设 V 空间内的电荷分布给定，并给定 边界S上的电势 或，以及每个导 体上所带电荷量Qi,则 V 内的电场被唯 一地确定了。,三、数学准备,格林第一定理,格林第二定理,四、证明 唯一性定理,用反证法 假设满足同样条件地有两个解、令 如果：则,要证明：即证明有两种解是不可能的。,第一类问题的证明 设：都是方程的解(1)它们满足Poisson eq.那么：,再看边界条件：（2）它们都必须满足边界条件：在S 上：在Si上：,或在S面上：所以，u满足：方程 边界条件,或要证明：利用格林定理，令：,所以 u 是常数。进一步利用边界条件：即在S,Si 处 u=0 所以 u 处处等于零，即：在满足边界条件下，只有一个解！,第二类问题的证明：,证明：假设有两个解u1,u2 设：U=u1-u2(1)它们满足Poisson eq.,(2).导体上的电量给定：（3）u1,u2 满足边界条件：,Or,(4).静电平衡，导体是个等势体，应用格林定理：,所以：结合边界条件：只有一个解。,五、用唯一性定理解释静电屏蔽,空腔导体内有导体A,B,空腔外有导体C,D.分别带电 qA,qB,qc,qD空腔外表面为 S1,内表面 S2 V1 指壳外空间，壳外V1的边界为S1 因接地，有 V2指壳内空间，,导体 C,D qc,qD 给定，或 给定.在这些情况下，壳外：V1的电场分布是唯一确定，壳内状态对V1 的场没有影响。壳内：V2的边界 S2,qA,qB 已给定，或者，uA,uB 给定，V2 内的电场被唯一确定了，V2之外 V1的状态对V2没有影响。,例题1：一个点电荷q旁边有一无限大导体平板(接地），试求，静电平蔽时平板上的电荷分布。分析：由于静电感应，在导体平板表面右侧，将有一定的负电荷分布，由于导体平板的屏蔽作用，导体左方的半无穷大空间不会有电场存在，也不会有感应电荷分布。方法：为了计算导体平板右侧空间各点的电场强度和表面各点的感应电荷密度，在左侧与q相对称的位置放置一等量异号的点电荷（假想），并将平板 拿掉。,+q点电荷位于一无限大接地导体的前面，距离为d，则在导体表面将有感应电荷，感应电荷的分布比较复杂，导体外侧的电场由点电荷和感应电荷共同产生，所产生的场在边界上满足U|s=0。我们可以把感应电荷的贡献用一虚拟（镜像）电荷来替代，问题是要找出该镜像电荷的位置和数值。根据唯一性定理，所得到的解将是唯一正确的解。1.点电荷对无限大接地导体的镜像,镜像的电荷：q=-q，镜像的位置：-d由q和q组成的系统正好满足边界条件，即：,此题中:区域中只有一个点电荷+q,在边界上处处 u|s=0 根据唯一性定理,给定这两个条件,区域内的电场分布就唯一地确定了.不论区域外存在的是导体平板上的感应电荷分布还是别的电荷分布,只要它们与区域内的点电荷+q一起,使边界上电势处处u|s=0.,x0区域的电势为：,x0区域的电场强度为：,导体表面的电场强度为：,导体表面的感应电荷面密度为：,导体表面的总感应电荷为：,点电荷所受的力需计算q 所在处由感应电荷所产生的电场强度：,X=d,y=0,z=0处：,电像法（镜像法）,1、区域中电场：形式上：自由电荷产生的场假想中电像电荷产生的场。实质上：自由电荷产生的场导体上感应电荷产生的场。2、假想电荷的位置必须位于所考虑的区域V之外。,以上例题中：区域中只有一个点电荷+q，而在边界上U|s=0,根据唯一性定理，给定这两个条件，区域内的电场分布也就唯一地确定了。因此，不论在这区域外存在的是导体上的感应电荷还是别的电荷分布，只要它于区域内点电荷+q一起使边界面上U|s=0。像电荷与导体上的感应电荷分布在区域内产生的电场必然完全相同，处于对称位置的等量异号q与+q在一起所产生的电场，在所考虑的区域边界面上U|s=0。,例题:有一半径a的导体球壳接地,球外一个电量为q 与球心的距离为d,求:球外任意一点p处的电势,空间的电场分布.,球面上：U|s=0，设置镜像电荷q,位置da,边界条件要求：U|r=a=0,上式对任意的 都成立，可改写为：,像电荷：q=-(a/d)q，位置为：x=a2/d球上另有一均匀分布电荷，Q-q。这样既满足球面总电荷为Q，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。,点电荷对无限大介质平面的镜像,第二章 小结,1、静电场中的导体：(1)静电平衡条件,导体内电场处处为零 E导体内=0（2）导体处于静电平衡时：导体外 紧贴导体表面处 E与导体表面垂直电势：整个导体是等势体，导体表面是个等势面。电荷：电荷只分布在导体的表面上。（3）静电屏蔽：一接地的导体空腔，可使空腔内、外的电场相互隔离。,2、静电场中的电介质：因受外电场作用，电介质出现极化电荷或束缚电荷，正常条件下，极化电荷只能在原子、分子的范围运动。（1）极化的微观机制：无极分子位移极化 有极分子取向极化 极化的宏观效果：,在与外场垂直的介质面上出现极化电荷，在介质内有未被抵消的电偶极矩。极化规律：各向同性电介质：,2、电介质中高斯定理、环路定理当整个电场空间充满各向同性均匀电介质；电介质的分界面与电场相垂直的等势面；,3、极化强度矢量、电位移矢量、电场强度矢量 物理意义P描述电介质极化程度、方向的物理量；D是一个辅助矢量；E是自由电荷、极化电荷有关的量。,