现代数学（一）几何学的变革课件.ppt

第九章 几何学的变革,第二节 几何学的变革,希尔伯特说：“19世纪最富有启发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现。”,直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。,9.1欧几里得平行公设,许多学者都视欧几里得几何为绝对真理。然而，这种近乎科学“圣经”的几何学并非无懈可击。事实上，从公元前3世纪到18世纪末，另一批数学始终没有放弃对欧几里得第五公设的疑惑。,为澄清这种疑惑，一代代数学家想尽了方法，然而他们所给“证明”要么隐含着等价的命题假定，要么存在着形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数在数学思想上显得毫无意义。,欧氏几何公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是全等的；（5）整体大于部分。,欧氏几何公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不断延长；（3）以任意中心和半径可以画圆；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。,替代公设：存在一对同平面的直线彼此处处等距离；过已知直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线(苏格兰数学家普雷菲尔与1795年提出）；存在一对相似但不全等的三角形；过任何三个不在同一直线上的点可作一个圆；,替代公设：如果一个四边形有一对对边相等，并且它们与第三边构成的角均为直角，则余下的两个角也是直角；如果四边形有三个角是直角，则第四个角也是直角；至少存在一个三角形，其三角和等于二直角；三角形的面积无上限。,18世纪中叶，达朗贝尔无奈地把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。但就在此前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展。在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特。,1733年，萨凯里使用归谬法来证明平行公设。他的出发点是一个等腰双直角四边形。萨凯里在假定直线为无限长的情况下，先由钝角假设推出了矛盾；然后在考虑锐角假设的过程中，他获得了一系列新奇有趣的结果：如三角形三内角之和小于两个直角等。虽然这些结果实质上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。,萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思考。1763年，克吕格尔首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家。他的见解启迪了兰伯特。,1766年，兰伯特对此问题进行了更为深入的探讨。他从一个具有三直角的四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设。由于钝角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了它。与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的新几何。,兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚，需要更高大的巨人，这样的时机在19世纪初逐渐成熟，并且也像解析几何、微积分的创立一样，这样的人物出现了不止一位。对非欧几何来说，他们是高斯，波约和罗巴切夫斯基。,9.2非欧几何的诞生,“非欧几何”的名称来源于高斯。尽管在其正式建立之前，许多技术性的内容已被大量导出，但最先对其意义有深刻理解的是高斯。他从1799年开始意识到平行公设不能由其他公理推出，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。然而由于担心世俗的攻击，这位“数学之王”决定将自己的发现秘而不宣。,为了验证“非欧几何”应用的可能性，他实际测量了由三座山峰构成的三角形，此三角形的三边分别为：69，85与109公里。他发现其内角和比1800大了近15。,1832年，对发现非欧几何深缄其口的高斯突然收到一篇论文绝对空间的科学，文章的作者是一位名叫波约的匈牙利青年，文中论述的“绝对几何”事实上就是非欧几何，且与高斯的思想方法不谋而合。可以想象，急于得到支持的波约等来的会是什么。高斯淡然而缺乏热情的评语使他十分灰心，从此放弃了发表论文的想法。,在非欧几何的三位发明人中，只有俄国数学家罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定的宣传和捍卫自己新思想的一位。,罗巴切夫斯基1792年生于俄国下诺伏哥罗德（今高尔基城），1807年进入喀山大学，1811年毕业并获硕士学位。罗巴切夫斯基毕业后留校任职，历任教授助理、非常任教授、常任教授、物理数学系主任，35岁被任命为校长。1846年以后任喀山学区副督学，直至逝世。如果没有罗氏几何学，罗巴切夫斯基只能算一个优秀的科学与教育管理者。,他先是于1826年在喀山大学发表了简要论述平行线定理的一个严格证明的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为论几何原理的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。,罗巴切夫斯基为发展、阐释这种新几何学付出了毕生心血。他生前发表了许多论著，其中18351838年间的系列论文具有完备的平行线理论的新几何学原理较好地表述了他的思想，1840年用德文出版的平行理论的几何研究引起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会会员。,罗巴切夫斯基非欧几何与高斯、波约的基本思想一致，即用与欧几里得第五公设相反的断言：过直线外一点，可引不止一条直线与已知直线不相交，作为替代公设，进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，它们并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论。这个理论就是一种新的几何学非欧几里得几何学。,设给定了直线a和直线外一点A，从A引a的垂直线AB。按照罗巴切夫斯基的基本假设，至少存在两条直线b,b，通过点A且不与直线a相交。罗巴切夫斯基考虑所有过A不与a相交的直线的极限情形，指出这样的极限直线有两条(c 与c)，并证明了它们也不与a相交。因此，c与c便构成了所有不与相交的直线的边界，在这两条边界直线所成夹角内的所有直线都不与a相交。,罗巴切夫斯基称c与c为a的“平行线”，而落在夹角内的所有直线叫不相交直线。如果按不相交即平行的意义理解，那么罗巴切夫斯基的几何里，过直线外一点就可以引无穷多条直线与给定的直线平行。,罗巴切夫斯基还将夹角 的一半称为“平行角”，因 小于两直角，故平行角小于直角。罗巴切夫斯基发现，平行角是点A到直线a的距离d的函数。若把平行角记作，则 时，就得到欧氏平行公设。若，则 单调增加且趋于；而 时，单调减少且趋于0。,换句话说，如果在离直线很远处作与此直线垂线夹角很小的直线，那么我们可以沿着这条“倾斜”的直线前进而永远不与直线相遇！用欧氏几何的眼光来看，罗巴切夫斯基几何还有许多令人惊奇的结果，如：1.三角形三内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它所有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋向于零；2.不存在面积任意大的三角形；3.如果两个三角形的三个角相等，它们就全等。,9.3 非欧几何的发展与确认,非欧几何要获得普遍接受，还需要确实地建立自身的无矛盾性和现实意义。1854年，德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想，以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础，建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。,黎 曼,黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，曲率可以为正常数、负常数、或恒为零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学。而第一种情形则是黎曼本人的创造。,在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。,他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。但黎曼的理论仍然难以被同时代的人理解，据说除了年迈的高斯外没人能听懂黎曼的意思。黎曼也是现代数学史上最具创造性的数学家之一。,19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米基于内蕴几何观点，给出一个叫“伪球面”的曲面作为罗巴切夫斯基几何模型。随后，克莱因、庞加莱也各自对罗巴切夫斯基几何给出自己的欧几里得模型。他们的工作，揭示了非欧几何的现实意义，同时使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。至此，非欧几何作为一种几何的合法地位充分建立起来，并开始得到广泛的理解和接受。,非欧几何的模型,1）贝尔特拉米（E.Beltrami,1835-1899）模型；2）克莱因（F.Keller，1849-1925）模型；3）庞加莱（H.Poincare,1854-1912）模型。4）球面几何模型,贝尔特拉米非欧几何模型,克莱因非欧几何模型,庞加莱模型,9.4 射影几何的繁荣,非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧几里得几何变成了某种特例。实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义三维、平直、刚性空间的几何学，那么，19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧”运动：从三维到高维，从平直到弯曲，而射影几何的发展又从另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度“降格”为其他几何的特例。,在19世纪以前，射影几何一直是在欧几里得几何框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧氏几何的方法处理问题，并且他们的工作由于18世纪解析几何与微积分发展的洪流而被人遗忘。到18世纪末与19世纪初，蒙日的画法几何学以及其学生卡诺等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣。不过将射影几何真正变革为具有独立目标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的庞斯列。,与德沙格和帕斯卡不同，庞斯列更喜欢探讨一般性问题：图形在投射和截影下保持不变的性质，这也是后来射影几何研究的主题。与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而不是平行投影，并将其提高为研究问题的一般方法。,在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两个基本原理扮演了重要角色。首先是连续性原理，它涉及到图形通过投影变换时的几何不变性。庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形，由此引出了具有重要作用的无穷远元素与虚元素概念。庞斯列强调的另一个原理是对偶原理。平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性。如果在它们所涉及的定理中，将这一对概念互换，那么就可以得到一个新定理。,在庞斯列用综合方法为射影几何奠基的同时，德国数学家默比乌斯和普吕克则开创了射影几何研究的解析途径。1827年，默比乌斯首次引进了齐次坐标概念，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内的许多射影几何基本结果的有效工具。,1847年，施陶特在不借助长度概念的情况下建立起射影几何的基本工具，使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱和普吕克的学生克莱因，他们着手在射影几何概念的基础上重建欧几里得几何乃至非欧几何的有关性质，发现它们不过都是射影几何的特例。他们的工作明确了各种几何学之间的逻辑关系，从而为各种几何学的统一辅平了道路。,9.5 几何学的统一,在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“几何学上的哥白尼”。这是因为非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。,首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在19世纪，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战。正是黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表达，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性。,其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述几种非欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、微分几何以及较晚才出现的拓扑学等，,19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标。,统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，克莱因发表了著名的演讲爱尔朗根纲要，阐述了几何学统一的新思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。,按照克莱因的观点，欧几里得几何只是仿射几何的一个特例。仿射几何则是更一般的几何射影几何的一个特例。然而，并非所有几何都能纳入克莱因方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。,统一几何学的另一条途径，为希尔伯特所开通，那就是对现代数学影响深远的公理化方法。公理化方法肇始于欧几里得，然而原本中的公理体系却潜含着某种逻辑缺陷。在重建严格统一的几何基础的努力中，以希尔伯特在几何基础（1899）中使用的公理化方法最为成功。,希尔伯特在这方面的贡献具有划时代意义，因为他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。在对他的公理系统作出自然地划分之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，完备性。如此组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。,1900年希尔伯特38岁时在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为数学问题的著名讲演提出了新世纪所面临的23个问题这23个问题涉及现代数学的大部分重要领域对这些问题的研究有力地推动了20世纪各个数学分支的发展,希尔伯特公理体系,第一组，联系公理，包括8条公理，又叫结合公理或关连公理第二组，顺序公理，由4条公理组成；第三组，合同公理，包括5条公理；第四组，平行公理；第五组，连续公理，由阿基米德公理和直线完全性公理构成。,希尔伯特数学问题演讲,我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域？新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？,思考题,非欧几何三位发明人是谁？他们中哪位是最早、最系统地发表自己关于非欧几何的研究成果？,