8年级-12.全等三角形课件.ppt
全等三角形,XXX 大学 张XXX,全等三角形的概念是学习本章的基础，研究全等三 角形性质和判定是对对应边之间、对应角之间的相 等关系方面进行的探究，是证明角平分线的性质和 判定的基础全等三角形的性质和判定又是证明线 段相等和角相等的重要方法在性质和判定的探究 过程中，渗透了研究几何图形的基本思路和方法,知识梳理,重、难点与关键,1重点：会确定全等三角形的对应元素2难点：掌握找对应边、对应角的方法3关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。,一、全等三角形,问题1观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？,生活中的全等形,追问你能再举出生活中的一些类似例子吗？,点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F 重合，称为对应顶点；边AB 与DE、边BC 与EF、边AC 与DF 重合，称为对应边；A 与D、B 与E、C 与F 重合，称为对应角.,全等形、全等三角形及其有关概念,追问1请同学们将问题2 中的两个三角形分别标为ABC、DEF，观察这两个三角形有何对应关系？,例已知：如图，ABC DEF.（1）若DF=10 cm，则AC 的长为；（2）若A=100，则：D 的度数为；,10 cm,100,全等三角形的性质的运用,解：A=100，B=30，C=180-A-B=50 DEF ABC，F=C=50（全等三角形的对应角相等）,全等三角形的性质的运用,例已知：如图，ABC DEF.（3）若A=100，B=30，求F 的度数.,ABCDEF,对应顶点,对应角,对应边,点A、点F的对应顶点分别是_、_,AB、DF的对应边分别是_、_,A、F的对应角分别是_、_,D,C,DE,AC,D,C,(读作:全等于),全等三角形的表示,如图：ABCDEF 则有：,AB=DE AC=DF BC=EF A=D B=E C=F,书写两个三角形全等时,把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。,全等三角形的性质,1.全等三角形对应边相等；2.全等三角形对应角相等；3.全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线相等；4.全等三角形的面积、周长相等。,平移三角形的基本图形,A,B,C,D,E,对应边是,对应角是,ABC,DEC,AC与DC，AB与DE，BC与EC,A与D、B与E、ACB与DCE,旋转,A,B,C,D,A,A,B,B,D,C,如图ABDABC,AD的对应边是；AB的对应边是,DAB的对应角是,AC,AB,CAB,翻折,2.叫做全等三角形。,1.能够完全重合的两个图形叫做。,全等形,4.全等三角形的 和 相等,对应边,对应角,对应顶点,内 容 小 结,能够完全重合的两个三角形,3.“全等”用符号“”来表示，读作“”,对应边,对应角,全等于,其中：互相重合的顶点叫做,互相重合的边叫做,互相重合的角叫做,D,课堂练习,练习1如图，OCA OBD，点C 和点B，点A与点D是对应点，则下列结论错误的是（）（A）COA=BOD；（B）A=D；（C）CA=BD；（D）OB=OA,练习2ABN ACM，ABN 和ACM 是对 应角，AB 和AC 是对应边则下列结论错误的是（）（A）AMC=ANB；（B）BAN=CAM；（C）BM=MN；（D）AM=AN,课堂练习,练习3如图，ABC CDA，AB 与CD，BC 与 DA 是对应边，则下列结论错误的是（）（A）BAC=DCA；（B）AB/DC；（C）BCA=DCA；（D）BC/DA,课堂练习,练习4如图，EFG NMH，F 和M 是对 应角（1）FG 与MH 平行吗？为什么？（2）判断线段EH 与NG 的大小关系，并说明理由,（1）平行；（2）相等,课堂练习,如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处，如果AD=4cm,DM=3cm,DAM=39,则AN=_cm,NM=_cm,NAB=_ _.,4cm,3cm,）39,4,3,39,找对应元素的常用方法有三种：,（一）从运动角度看1平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素2翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素3旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素,（二）根据位置元素来推理1全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边2全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角（三）根据经验来判断1.大边对应大边，大角对应大角2.公共边是对应边，公共角是对应角,二、三角形全等的判定,尺规作图，探究边角边的判定方法,问题1先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使AB=AB，A=A，CA=CA（即两边和它们的夹角分别相等）把画好的ABC剪下来，放到ABC 上，它们全等吗？,例题讲解，学会运用,例如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC 并延长至E，使CE=CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离为什么？,例题讲解，学会运用,证明：在ABC 和DEC 中，,ABC DEC（SAS）AB=DE（全等三角形的对应边相等）,知识结构图,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。,在ABC和 DEF中,ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：,三角形全等判定方法1,三角形全等判定方法2,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,在ABC和DEF中,ABCDEF（ASA）,有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。,用符号语言表达为：,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法3,思考:在ABC和DFE中,当A=D,B=E和AC=DF时,能否得到 ABCDFE?,三角形全等判定方法4,有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以 简写成“角角边”或“AAS”）。,直角三角形全等判定：HL,A,B,D,A,B,C,SSA不能判定全等,A,B,C,画ABC 和DEF，使B=E=30，AB=DE=5 cm，AC=DF=3 cm 观察所得的两个三角形是否全 等？,两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等因此，ABC 和DEF 不一定全等,探索“SSA”能否识别两三角形全等,证明两个三角形全等,例1：如图,点B在AE上,CAB=DAB,要使ABCABD,可补充的一个条件是.,分析：现在我们已知 ACAB=DAB,用SAS,需要补充条件AD=AC,用ASA,需要补充条件CBA=DBA,用AAS,需要补充条件C=D,此外,补充条件CBE=DBE也可以(?),S AB=AB(公共边).,AD=AC,CBA=DBA,C=D,CBE=DBE,练习:如图,AE=AD,要使ABDACE,请你增加一个条件是.,练习2：如图,已知1=2,AC=AD,增加下列件:AB=AE,BC=ED,C=D,B=E,其中能使ABCAED的条件有()个.A.4 B.3 C.2 D.1,BE=EB(公共边),又 AC DB(已知)DBE=CEB(两直线平行,内错角相等),例3:如图,AC DB,AC=2DB,E是AC的中点,求证:BC=DE,证明:AC=2DB,AE=EC(已知)DB=EC,DB=EC,BE=EB,DBECEB(SAS)BC=DE(全等三角形的对应边相等),证明两条线段相等,例4(2007金华):如图,A,E,B,D在同一直线上,AB=DE,AC=DF,AC DF,在ABC和DEF,(1)求证:ABCDEF;(2)你还可以得到的结论是.(写出一个,不再添加其他线段,不再表注或使用其他字母),(1)证明:ACDF(已知)A=D(两直线平行,内错角相等),ABCDEF(SAS),在ABC和DEF中,（2）解:根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:,变式1:在原题条件不变的前提下,可以探求以下结论:(1)求证:AG=AF;(2)求证:ABFACG;(3)连结GF,求证AGF是正三角形;(4)求证GF/CD变式2:在原题条件下,再增加一个条件,在CE,BD上分别取中点M,N,求证:AMN是正三角形,如图,A是CD上的一点,ABC,ADE 都是正三角形,求证CE=BD,B,变式3:如图,点C为线段AB延长线上一点,AMC,BNC为正三角形,且在线段AB同侧,求证AN=MB,A,B,C,N,M,分析:此中考题与原题相比较,只是两个三角形的位置不同,此图的两个三角形重叠在一起,增加了难度,其证明方法与前题基本相同,只须证明ABNBCM,变式4:如图,ABD,ACE都是正三角形,求证CD=BE,A,B,C,D,E,分析:此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为不共线,证明方法与前题基本相同.,变式6:如图,分别以ABC的边AB,AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE,BG.求证BG=CE,A,B,C,F,G,E,D,分析:此题是把两个三角形改成两个正方形而以,证法类同,本章的知识结构图：,体系建构,问题2请整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？,体系建构,问题3结合本章知识结构图，思考以下问题：（1）回顾本章的学习过程，全等三角形的性质和判定 在本章中的重要作用是如何体现的？,从知识间的内在联系及知识的推理依据来 分析，全等形、全等三角形、角平分线，角平分线的性 质和判定等，都体现了全等三角形知识的运用；同时，全等三角形知识也是证明线段相等和角相等的重要依据,回忆全等三角形、角平分线的性质和判定的作用,体系建构,问题3结合本章知识结构图，思考以下问题：（2）通过本章的学习，说一说证明线段相等和角相等 的方法有哪些？,典型例题,例1已知：如图，CAB=DBA，AD、BC 分别是CAB、DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O求 证：（1）CAB DBA；,证明：由（1）得，CAB DBA,C=D，CA=DB 又COA=DOB，OCA ODB,典型例题,例1已知：如图，CAB=DBA，AD、BC 分别是CAB、DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O求证：（2）OCA ODB；,答：O 到三条直线AC、AB、BD 的距离相等 理由：略,典型例题,例1已知：如图，CAB=DBA，AD、BC 分别是CAB、DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O求证：（3）O 到三条直线AC、AB、BD 的距离有何大小关系？并说明理由,证明：请同学们自己写出证明过程,典型例题,例2已知：如图，AC/BD，AC=BD，求证：AD/BC,答：DE/CF 且DE=CF；理由：方法一可证CBF DAE；方法二可证CAF DBE,典型例题,追问在例2中，AC/BD，AC=BD，在AB上取两点E、F，AE=BF请你判断DE、CF 有何关系？并说 明理由,（1）本章的核心知识有哪些？这些知识之间有何联系？（2）结合本节课的学习，谈谈全等三角形的知识在解 题中有哪些作用？,归纳小结,三、角的平分线的性质,探究角平分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,如图，将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论.（1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（2）角的平分线性质的证明步骤：,明确命题中的已知和求证;已知:一个点在一个角的平分线上.结论:这个点到这个角两边的距离相等.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;已知：如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.求证:PD=PE.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.,证明：PDOA，PE OB(已知)PDO=PEO=90(垂直的定义)在PDO和PEO中PDO=PEO（已证）AOC=BOC（已证）OP=OP（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,（1）角的平分线；（2）点在该平分线上（3）垂直距离,定理的作用：证明线段相等。,A,作法:以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.分别以M,N为圆心,大于1/2MN的长为半径作弧,两弧在AOB的内部交于点C.作射线OC,射线OC即为所求.,0,作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握!,由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法已知:AOB.求作:AOB的平分线.,1平分平角AOB2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,拓展：作直线的垂线,如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）,S,解：设OD=Xm 则由题得=解得x=0.025m 即OD=2.5cm 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm,D即为所求。,知识梳理,问题1请回答下列问题：（4）学习本章后，你对角平分线有了哪些新的认识？对比角平分线的性质和判定，它们有何异同？你 能用全等三角形证明角平分线的性质和判定吗？（5）你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？,
