《反函数新教材》课件.ppt
指数函数与对数函数对照表,名,称,解析式,指数函数,y=a,x,y,y=a,x,(a1),对数函数,y=log,a,x,y=a,x,(0a1),y,图,象,o,定义域,值,域,单,a1,调,性,0a1,定,点,图像关系,R,(0,+),y=log,a,x(a1),x,o,(0,+),x,y=log,a,x(0a1),R,在,R,上是增函数,在,R,上是减函数,(0,1),在,(0,+),上是增函数,在,(0,+),上是减函数,(1,0),函数,y=a,x,与,y=log,a,x,图象关于直线,y=x,对称,问题,:,那么这两个函数有什么关系呢,?,5,4,4,y=a,x,(a1),3,2,x,y=a,0a1,2,4,6,-4,-2,3,2,1,1,-4,-2,2,-1,y=log,a,x,(a1),-1,y=log,a,x,0a1,4,6,-2,-2,探究一,反函数定义,一般地，函数,y=f(x)(x,A),中设它,的值域为,C.,我们根据这个函数中,x,，,y,的关,系，用,y,把,x,表示出，得到,x=,(,y).,如果,对于,y,在,C,中的任何一个值，通过,x=,(y),，,x,在,A,中都有唯一的值和它对应，那么,x=,(y),就表示以,y,为自变量的函数,.,这样的函数,x=,(y),叫做函数,y=f(x),-1,(x,A),的,反函数,，记作,x=,f,(y),.,我们常常把,x,，,y,对调一下，把它改成,-1,y=,f,(x),.,反函数与原来函数的联系,:,名,称,解析式,定义域,值,域,图象,y=f(x),A,C,它们的图象关于直线,y=x,对称,原来函数,反函数,y=f,-1,(x),C,A,探究二,求一个函数的反函数,例,1,、,求下列函数的反函数：,（,1,）,y,3x,1,；,（,2,）,y,x,1,（x0）；,（,3,）,y,?,3,?,2,；,(4).,y,?,log,1,(,x,?,4),2,x,?,1,求反函数的,步骤,：,1,、,反解：,y,=,f,(,x,),?,x,?,f,?,1,(,y,),2,、求原函数的值域,3,、,互换：,x,、,y,互换位置，得,y,=,f,-1,(,x,),4,、,写定义域：,根据原来函数的值域，写出反函数,及其定义域,.,探究三,不是所有函数都有反函数,只有在定义域上单调的,函数才有反函数。（一,对一）,例如：,y,?,x,没有反函数。,2,探究四,互为反函数的两个函数图象关于,y=x,对称,x,?,5,y,?,y,?,x,对,例,2,已知函数,的图象关于直线,2,x,?,m,称，,求,m,的值。,探究五,点,P(a,b),在函数,y=f(x),图象上，则点,P,(b,a),在函数,y=f,-1,(x),图象上,例,3.,若点,P,（,1,，,2,）同时在函数,y,ax,?,b,及其反函数的图象上，求,a,、,b,的值,.,探究六,互为反函数的两个函数单调性相同,若函数,f(x),在其定义域,D,上是单调增函数,-1,求证它的反函数,f,(x),也是增函数,。,-1,证明：在,f,(x),的定义域内任取,x,-1,令,f,(x,-1,1,)=y,1,f,(x,2,)=y,2,1,x,2,且,x,1,x,2,于是有,f(y,1,)=x,1,;f(y,2,)=x,2,所以,f(y,1,)f(y,2,),因为,f(x),在其定义域,D,上是增函数，所以,y,1,y,2,-1,-1,-1,所以,f,(x,1,)f,(x,2,),，所以,f,(x),也是增函数,性质：,1.,函数,y=,f,（,x,）的图象和它的反函数,y=,f,-1,(x),的图象关于,直线,y=x,对称,;,2.,互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的,单调性。,3.,如果两个函数的图像关于直线,y=x,对称,那么这两个函数,互为反函数,.,4.,如果一个函数的图像关于直线,y=x,对称,那么这个函数的,反函数就是它本身,.,反之也成立。,5.,点,P,（,a,，,b,）关于直线,y=x,对称的点是,P,1,（,b,，,a,）,.,?,1,6.,f,a,?,b,?,f,b,?,a,?,?,?,?,例,2,、求函数,y=3x-2,（,x,R,）的反函数，,并画出原函数和它的反函数的图象。,y,?,2,x,?,解：从,y=3x-2,，解得,。因,3,此，函数,y=3x-2,x,?,2,(,x,?,R,),的反函数是,y,?,3,函数,y=3x-2,（,x,R,）和它的反函数,x,?,2,y,?,?,x,?,R,?,的图象如图,3,y,Y=3x-2,x,?,2,y,?,3,o,1,Y=x,x,3,例,3,、求函数,y,=,x,（,x,R,）的反函,数，并画出原来的函数和它的反函,数的图象。,3,3,解：从,y=x,，解得,，所以函数,3,3,y=x,（,x,R,）的反函是,。,x,?,y,y,0,y,?,x,?,x,?,R,?,3,3,函数,y=x,（,x,R,）和它的反函数,y,?,x,?,x,?,R,?,的图像如图,x,y,?,ax,?,b,的,例,4,：,若点,P,（,1,，,2,）在函数,图象上，又在它的反函数的图象上，求,a,，,b,的值。,y,?,ax,?,b,解：,由题意知,点,P(1,2),在函数,的反函数的图象上，根据互为反函数的函,数图象关于直线,y=x,对称的性质知，点,P,1,y,?,ax,?,b,的图象上。,（,2,，,1,）也在函数,?,?,2,?,a,?,b,因此，得,?,?,?,1,?,2,a,?,b,解得，,a=-3,，,b=7,例,5,、,若函数,f,（,x,）与,g,（,x,）的图象关于,2,直线,y=x,对称，且,f,（,x,）,=,（,x-1,）,（,x1,）,2,求,g,（,x,）,解：函数,f,（,x,）与,g,（,x,）的图象关于直,线,y=x,对称,g,（,x,）是,f,（,x,）的反函数，,-,1,g,（,x,）,=f,（,x,）,=,?,2,x,?,1,(,x,?,0,),?,1,(,x,?,R,),?,g,(,x,),?,?,2,x,
