最新导数及其应用教案.doc

课题：变化率问题教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学过程：一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二、知识探究探究一：气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto 思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。探究（三）：平均变化率1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)则平均变化率为yx1Of(x1)f(x2)y=f(x)思考：观察函数f(x)的图象：平均变化率表示什么?x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)直线AB的斜率x2x3、函数f(x)从x0到x0x的平均变化率怎么表示？ 三、典例分析例1已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 解：，例2、求在附近的平均变化率。解：，所以 所以在附近的平均变化率为例3、求函数y5x26在区间2，2x内的平均变化率1.78例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身 高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.解：略四课堂练习1质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六布置作业课后记:课题:导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念教学过程：一、复习引入1、函数平均变化率：2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线)的斜率3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。二、知识探究hto 1、引例：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态2、瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：、思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？、结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值、从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是、为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3、导数的概念：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即 说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2），当时，所以4、一般地，求函数f(x)在xx0处的导数有哪几个基本步骤？第一步，求函数值增量：yf(xx)f(x0)；第二步，求平均变化率：第三步，取极限，求导数：5、常见结论：（1） （2） （3） （4）三、典例分析例1（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求y=f(x)-f()=6x+(x)2再求再求解：法一（略） 法二：（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以同理可得:在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况四课堂练习1质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为2求曲线y=f(x)=x3在时的导数3例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念六布置作业课题：导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义教学过程：一复习引入1、函数f(x)在xx0处的导数的含义是什么？2、求函数f(x)在xx0处的导数有哪几个基本步骤？3、导数f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题.二知识探究探究一：导数的几何意义1、曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？ 切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：、设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在处的导数.、曲线在某点处的切线：、与该点的位置有关；、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无切线；、曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即：说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:、求出P点的坐标;、求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；、利用点斜式求切线方程.探究二；导函数概念：1、导函数定义：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即: 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数2、函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。三典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点处的导数.解：（1）,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即（2）因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即练习：求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、附近的变化情况解：我们用曲线在、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况（1） 当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2） 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减（3） 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢例3（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作处的切线，并在切线上去两点，如，则它的斜率为：所以 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4四课堂练习1求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；2求曲线在点处的切线五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六布置作业课后记课题：几个常用函数的导数教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、 的导数公式； 2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数教学重点：四种常见函数、的导数公式及应用教学难点：四种常见函数、的导数公式教学过程：一复习引入1、导数的几何意义是什么？2、如何求函数f(x)的导函数？3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数二知识探究函数导数1函数的导数根据导数定义，因为，所以表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度为0，即物体一直处于静止状态函数导数2函数的导数 因为。所以表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动3函数的导数函数导数因为所以表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为4函数的导数因为所以函数导数（2）推广：若，则三课堂练习1课本P13探究1；2课本P13探究2；3求函数的导数四回顾总结五布置作业课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一复习引入1、四种常见函数、的导数公式及应用二知识探究探究一：基本初等函数的导数公式表函数导数探究二：导数的运算法则导数运算法则12特别：3三典例分析例1假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有所以（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）（2）y ；（3）y x · sin x · ln x；（4）y ；（5）y （6）y （2 x25 x 1）ex（7） y 说明：求导数是在定义域内实行的求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用为：求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）解：略四课堂练习1课本P92练习2已知曲线C：y 3 x 42 x39 x24，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（y 12 x 8）五回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则六布置作业课后记课题：复合函数的求导法则教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确教学过程：一复习引入1、基本初等函数的导数公式表函数导数2、导数的运算法则导数运算法则12特别：3二、知识探究1、复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？yln(x23) y(2x3)3 ysin(ax1)3、复合函数的导数：复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积若，则三典例分析例1 求下列函数的导数：（1）y(2x3)3； （2） （3） （4）yln(3x2).例2求y 的导数例3求y sin4x cos 4x的导数【解法一】y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x【解法二】y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x例4曲线y x（x 1）（2x）有两条平行于直线y x的切线，求此二切线之间的距离【解】y x 3 x 2 2 x y3 x 22 x 2 令y1即3 x22 x 10，解得 x 或x 1于是切点为P（1，2），Q（，），过点P的切线方程为，y 2x 1即 x y 10显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为四课堂练习1求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)2.求的导数五回顾总结六布置作业课题：函数的单调性与导数教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一情景导入函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用二知识探究 1问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：、运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，、从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数相应地，2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率在处，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数3求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例1已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状解：当时，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）； （2）（3）； （4）解：（1）因为，所以， 因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示（2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-5（2）所示（3）因为，所以， 因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示（4）因为，所以 当，即 时，函数 ；当，即 时，函数 ；函数的图像如图3.3-5（4）所示注：（3）、（4）生练例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像 解：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”例4 求证：函数在区间内是减函数证明：因为当即时，所以函数在区间内是减函数说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数例5、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解四课堂练习1求下列函数的单调区间（1）.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx2课本练习五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数单调区间（3）证明可导函数在内的单调性六布置作业课后记课题：函数的极值（一）教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入1.函数f(x)在区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有什么关系？2.利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？二、知识探究探究一；函数的极值的概念1、观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小2、观察函数 f(x)2x36x27的图象，思考：函数yf(x)在点x0，x2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f(0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f(2)是函数的一个极小值函数y2x36x27 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)函数y2x36x27 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )3、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作：y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作：y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值探究二：函数极值的求解1、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正2、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：如果在x0附近的左侧f '(x)0，右侧f '(x)0，那么，f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f '(x)0，右侧f '(x)0，那么，f(x0)是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？（导数为0的点不一定是极值点）如函数f(x)x3，x0点处的导数是0，但它不是极值点说明：、函数的极值点xi是区间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值、函数在a, b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点x1x2x3x4x5x6x7x8三、典例分析例1求函数解：y¢x24(x2)(x2)令 y¢0，解得 x12，x22当x变化时，y¢，y的变化情况如下表因此，当x2时， y极大值 ，当x2时，y极小值总结：求可导函数f (x)的极值的步骤： 求导函数f ¢(x)； 求方程 f ¢(x)0的根； 检查f ¢(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值例2求函数的极值例3 求函数y(x21)31的极值解：定义域为R，y¢6x(x21)2.由y¢0可得x11，x20，x31当x变化时，y¢，y的变化情况如下表： 当x0时，y有极小值，并且y极小值0例4的极值例5的极值练习：求函数的极值四、课堂小结1函数的极值的定义。2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数f(x)解方程f(x)0判断在根附近左右两侧f(x)的符号作出结论.五、课后作业课后记课题：函数的极值(二)教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法进一步体验导数的作用.教学重点：求函数的极值教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入1函数的极值的定义。略（1）函数的极值点xi是区间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点（2）函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值（3）函数在a, b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数f(x)解方程f(x)0判断在根附近左右两侧f(x)的符号作出结论.二、讲授新课练习：（1）已知函数f (x)x3ax2bxc，且知当x1时取得极大值7，当x3时取得极小值，试求函数f (x)的极小值，并求a、b、c的值例5、设a为实数，函数f (x) = x3 x2 x + a.，（1）求f (x)的极值；（2）当a在什么范围内取值时，曲线y = f (x)与x轴仅有一个交点.例2已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：例3已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数,又 ()求的解析式; ()若在区间(m0)上恒有x成立,求m的取值范围.例4设函数，其中证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值例5设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解：略四、小结五、作业：见资料课题：函数的最大（小）值与导数教学目标：1、使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间a,b上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系教学过程：一创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值二知识探究吧 1、观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象图中与是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值是2、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值说明：、如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续（可以不给学生讲）、给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；、在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，、函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件（可以不给学生讲）3、“最值”与“极值”的区别和联系、最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性、从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个、极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：、求在内的极值；、将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值三典例分析例1（课本例5）求在的最大值与最小值 解： 由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，因此，函数在的最大值是4，最小值是例2 求函数yx42x25在区间 0，2上的最大值与最小值.答案：f(x)max=f(2)13，f(x)min=f(1)4.例3 求函数f(x)sin2xx 在区间上的最大值与最小值.答案：例4 求函数在上的最大值.例5已知m1为常数，求证： xln(xm).例6、若对任意x1，2，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 答案：例7、已知集合，其中a1为常数，若当x0，1时，求a的取值范围.答案：例8、若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围.答案：a(0，2).例9已知函数，其中a0为常数，求函数f(x)在区间0，1上的最大值.答案：略四课堂练习1下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x) ( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能3函数y=，在1，1上的最小值为( )A.0 B.2 C.1 D.4求函数在区间上的最大值与最小值五回顾总结1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4利用导数求函数的最值方法六布置作业课题：生活中的优化问题举例（一）教学目标：1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程一、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题二新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个