质心运动定律课件.ppt
1,第四章 动量定理与动量守恒定律,质心系整体运动规律,质点系动量定理与守恒定律,任务:,力的时间累积规律,质心运动定律,应用举例:变质量系统,本章以牛顿定律为基础,给出冲量、动量等概念的现代定义以及关系。,质点系质心运动,质心系,质心的特点与求法,质心与质心运动定律,质点系的质心运动,2,动画演示,质点系质心与质心运动定律,上述三式相加有:,3,推广多个质点组成的质点系:,筛选法(大小土豆),4,质心运动定律:,质心位置矢量:,质心速度:,质心加速度:,应用:,运动员、炮弹等的轨迹,,自然界如没摩擦力的情形设想,质点系质心运动,质心系,质心的特点与求法,质心与质心运动定律,质点系的质心运动,5,质心的求法,(1)分立质点系的质心,在直角坐标系下可以表示为:,6,例4.1.2-1、三质点在某一时刻的位置坐标分别为:、,的质量是 的两倍,而 的质量是 的两倍。求此时由此三质点组成的体系的质心的位置。,系统质心的坐标:,解:根据题中给定的坐标系,由质心定义得,7,(2)连续质点系的质心,在直角坐标系下可以表示为:,8,解:如例4.1.2-2图所示,设质心坐标为(,),平板的质量为,密度为。因为平板质量分布均匀,且圆心在原点,由对称性知。对于板边缘上的每一点有,。,9,即质心位置为。,将半圆形板分割成无数个平行于 轴的细条,每细条的质心为,则系统的质心为:,10,多个规则形状物体组成系统的质心,可先找到每个物体的质心,再用分立质点系质心的求法,求出公共质心。,例4.1.2-3 如例4.1.2-3图所示,半径为、质量为、质量分布均匀的圆盘,沿某半径方向挖去半径为 的小圆盘,求大圆盘剩余部分的质心位置。,(4)多个规则形状物体组成系统的质心,11,解:由对称性可知,所求剩余部分质心在 轴上,设在()处。挖去的小圆盘(设质量为)原来的质心位置为,与所求剩余圆盘(设质量为)质心之和应为原点处,即,其中解得所求质心位置为:,12,质点系质心运动,质心系,质心的特点与求法,质心与质心运动定律,质点系的质心运动,13,质心系,如图4.1.3-1所示,坐标原点始终跟随质心,坐标轴保持平行。,14,例4.1.3-1 质量分别为 和 的两个质点,用长为 的轻绳连接,置于光滑的平面内,绳处于自然伸长状态。现突然使 获得与绳垂直的初速度,求此时绳中的张力。,解:由于两个质点是自由置于光滑的平面上,所以 获得初速度的瞬时,并不绕 作圆周运动,而是绕二者的质心作圆周运动。在质心系(惯性系)下,对,分别应用牛顿第二定律:,15,其中,是 相对质心的距离,分别是 和 相对质心的速度,分别为:,联立得:,16,质心速度:,相对质心速度:,质点系运动定理与守恒定律,质点系动量定理,质心动量定理,质点系动量守恒,质心系下质点系动量,质点的动量定理,质点系动量定理与守恒定律,17,质点的动量定理,由牛顿第二定律原始表达式:,对上式积分得:,质点的动量定理:外力冲量等于质点动量的改变量,18,定义:,称为力在 时间内的冲量,称为质点的动量,例4.2.1-1 一质量为 千克的棒球以 的水平速度飞来,被棒打击后,速度仍沿水平方向,但与原来方向成 角,大小为。如果棒与球的接触时间为 s,求棒对球的平均打击力。,解:建立如例4.2.1-1图所示坐标系,以球为研究对象,应用动量定理,,19,方向:,方向:,解得:,20,质点系运动定理与守恒定律,质点系动量定理,质心动量定理,质点系动量守恒,质心系下质点系动量,质点的动量定理,质点系动量定理与守恒定律,21,质点系动量定理,初态与末态动画演示,为质点之间的相互内力,22,三式相加有:,同理,对 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到:,23,定义:,质点组总动量,外力的冲量和,质点组动量定理:质点系所受合外力的冲量等于质点系 动量的变化量,在直角坐标系下,质点系动量定理的分量形式可表示为:,例4.2.2-1质量为 的板静止于水平桌面上,板上放有一质量为 的小物体。当板在水平外力的作用下从小物体下抽出时,物体与板的速度分别为 和。已知各接触面之间的摩擦因数均相同,求在此过程中所加水平外力的冲量。,解:对 和 构成的系统应用质点系动量定理:,对 应用动量定理:,联立得:,24,质点系运动定理与守恒定律,质点系动量定理,质心动量定理,质点系动量守恒,质心系下质点系动量,质点的动量定理,质点系动量定理与守恒定律,25,质心动量定理,由质心运动定律:,积分得:,也可以表示为:,质心动量定理:合外力的冲量等于质心动量的增量,因此,质点系的总动量既可以表示为:,26,质点系运动定理与守恒定律,质点系动量定理,质心动量定理,质点系动量守恒,质心系下质点系动量,质点的动量定理,质点系动量定理与守恒定律,27,质点系动量守恒,推论:质心位置不变或质心速度不变,质心速度不变应用:台球+滑冰接力,若系统所受合外力为零,则,28,质心位置不变应用:爆炸,0,动量守恒,例4.2.4-1 如例4.2.4-1图所示,质量为,半径为的球,放在一个质量相同,内半径为 的大球壳内。它们置于一质量也为 的槽的底部。槽置于光滑的水平面上。释放后,球最终静止于槽的底部,问此时槽移动了多远?,解:水平方向动量守恒,质心位置不变,29,解得:向右移动,例4.1.2-2 一物体在光滑水平面上以 的速度沿 正方向运动。当它到达坐标原点时,由于内部原因而突然分裂成5块碎片,其中4块质量相等,而另一块的质量为其它任一碎片的三倍。这些碎片均沿水平面继续运动,经过 后,大碎片的位置坐标为,某一小碎片的位置坐标为,求由另三块小碎片组成的系统的质心在此时的位置。,30,联立解得:另三块小碎片组成系统的质心位置坐标,31,解:系统任意时刻质心可标记为:,系统动量守恒,因此,,Y方向系统质心位置不变:,X方向系统质心速度不变:,解:以 为研究对象,在碰撞过程中,尽管系统受到地面的摩擦力和弹簧弹性力的作用,但是,这些外力远小于内力,而且作用时间很短,近似认为系统动量守恒,即,由此确定共同速度:,32,其中,分别是木板和人相对地面的速度。,例4.2.4-4 置于冰面上长为、质量为 的均匀分布的木板,板右端站质量也为 的人(视为质点)。当人相对板以 向左运动,求板运动速度 与人运动速度的关系。,解:以木板和人为研究对象,系统在水平方向动量守恒,33,相对速度关系:,联立解得:,质点系运动定理与守恒定律,质点系动量定理,质心动量定理,质点系动量守恒,质心系下质点系动量,质点的动量定理,质点系动量定理与守恒定律,34,质心系下质点系动量,因此,无论质心系是惯性系,还是非惯性系,质心系下质点组的总动量均守恒,即,在任何参考系下,质点系的动量定理可以统一表示为:,35,对于质心参考系(平动非惯性系):,亦即,,其恒量 值为多少?,由此得出结论:无论质心系是否是惯性系,质心系下质点系的总动量始终为零。,在质心系下,由动量的定义:,质心系下质点系的质心位置,因此,,36,0,37,第四章 动量定理与动量守恒定律,质心系整体运动规律,质点系动量定理与守恒定律,任务:,力的时间累积规律,质心运动定律,应用举例:变质量系统,本章知识单元与知识点小结,质点系动量定理应用,变质量质点系运动方程应用举例,变质量系统动力学方程,38,39,变质量系统动力学方程,以火箭发射为例,主体:某时刻火箭本身的总质量,附体:某 时间段内,离开火箭本身的微小质量,相对速度:附体相对主体的离开速度,需要解决的两个问题:,1.附体与主体之间的相互作用力,2.主体(变质量)所满足的动力学方程,40,1.附体与主体之间的相互作用力求法如下:,以附体为研究对象,,以 和 时刻为初末态,对附体应用动量定理,设 时刻与主体具有相同的速度,时刻,以相对速度 离开主体,时刻,主体的速度为,解得:,41,41,变质量系统动力学方程,以火箭发射为例,主体:某时刻火箭本身的总质量,附体:某 时间段内,离开火箭本身的微小质量,相对速度:附体相对主体的离开速度,需要解决的两个问题:,1.附体与主体之间的相互作用力,2.主体(变质量)所满足的动力学方程,42,42,2.主体(变质量)所满足的动力学方程求法如下:,以主体+附体为研究对象,,以 和 时刻为初末态,,可得:,利用,整理得:,由前面结果:,主体满足的方程:,对主体+附体应用动量定理,无论是附体离开或者进入主体,其主附体之间的作用力,主体(变质量系统)所满足的动力学方程:,可以一般性证明,得出结论:,43,由此可以看出,只要将附体的作用力作为变质量系统的外力,对于主体而言,仍然可以取牛顿第二定律方程的形式,只不过系统的质量 是变量,质点系动量定理应用,变质量质点系运动方程应用举例,变质量系统动力学方程,44,例子,将一空盒放在秤盘上,并将秤的读数调整到零,然后从高出盒底 处将小钢珠以每秒 个的速率由静止开始掉入盒内,每一小钢珠的质量为。若钢珠与盒底碰撞后即静止,忽略小球在空中的时间,试求自钢珠落入盒内起,经过 秒后秤的读数。,45,解:秒时秤盘受力为落下钢珠的重力与冲击力之和,重力:,由:,得冲击力:,秤盘读数:,变质量系统动力学方程应用举例,例4.3.2-1 火箭发射,沿地面向上,求火箭发射的推力及火箭的速度。,46,解:以火箭主体为研究对象,应用变质量动力学方程,整理得:,忽略阻力:,积分得:,本章知识单元和知识点小结,47,