人教B数学必修第三册新素养突破ppt课件：7.2.2-单位圆与三角函数线.ppt
7.2.2单位圆与三角函数线,1.单位圆与三角函数(1)单位圆:在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合.(2)三角函数与单位圆:角的终边与单位圆相交于点P(x,y),如图:,则sin=y,cos=x,tan=,则角的终边与单位圆的交点为P(cos,sin).,【思考】单位圆的圆心和半径分别是什么?提示:单位圆的圆心在原点,半径为单位长度即半径等于1.,2.三角函数线(1)作图:角的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,垂足为M.过A(1,0)作x轴的垂线,交角的终边或其反向延长线于点T.,(2)图示:,(3)结论:向量 分别称为角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.,【思考】(1)三角函数线的长度与三角函数的值有何关系?提示:三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.,(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗?请说明理由.提示:能,当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时,所表示三角函数值为正的,与x轴(或y轴)正向反向时,所表示三角函数值为负的.,【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)角的正弦线的长度等于sin.()(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.()(3)余弦线和正切线的始点都是原点.(),提示:(1).角的正弦线的长度等于|sin|.(2).90角不能作正切线.(3).正切线的始点是(1,0).,2.如图,在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是(),【解析】选C.为第三象限角,故正弦线为,正切线为,C正确.,3.角(02)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么的值为(),【解析】选D.根据三角函数值的符号可知,当角在二、四象限时,角的正弦、余弦符号相反.又角的正、余弦线的长度相等,02,所以=.,4.角 的终边与单位圆的交点的坐标是_.,【解析】由于角 的终边与单位圆的交点横坐标是 纵坐标是 所以角 的终边与单位圆的交点的坐标是 答案:,类型一三角函数线的作法及应用【典例】1.角 有相同的()A.正弦线 B.余弦线C.正切线 D.不能确定2.求作 的正弦线、余弦线和正切线.,【思维引】1.在同一个平面直角坐标系中分别作出角 的三角函数线,比较可得.2.作出平面直角坐标系,作出角 的终边,分别作出它的正弦线、余弦线、正切线即可.,【解析】1.选C.角 的终边互为反向延长线,所以正切线相同.,2.角 的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线AT,与 的终边的反向延长线交于点T,则 的正弦线为,余弦线为,正切线为.,【内化悟】作角的正弦线、余弦线时注意哪些问题?提示:作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.,【类题通】三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边.(2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A.,(3)过点P作x轴的垂线,垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)即向量 分别为角的正弦线,余弦线和正切线.,【习练破】1.已知角的正弦线的长度为单位长度,那么角的终边()A.在x轴上 B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=-x上,【解析】选B.根据正弦线的定义知,|sin|=1,所以sin=1,所以角的终边在y轴上.,2.作出-的正弦线、余弦线和正切线.,【解析】如图所示,所以角-的正弦线为,余弦线为,正切线为.,类型二三角函数线的综合应用角度1利用三角函数线比较大小【典例】比较下列各组数的大小.,【思维引】在单位圆中正确画出各角的需要比较大小的三角函数线.,【解析】(1)如图,在单位圆中作出 的余弦线 因为 的余弦均为负数,所以,(2)如图,分别作出 的正弦线和正切线,由图知,角 的正弦线和正切线分别为 因为 且 的正弦和正切均为正数,所以tan sin.,【素养探】利用三角函数线比较大小,常常涉及直观想象的核心素养.利用三角函数线比较大小的步骤:角的位置要“对号入座”.比较三角函数线的长度.确定三角函数值的正负.,将本例中的条件改为“”,则a,b,c的大小顺序排列为_.,【解析】由如图的三角函数线知:因为 所以 所以bac.答案:bac,角度2三角函数线的综合应用【典例】若是第一象限角,则sin+cos 的值与1的大小关系是世纪金榜导学号()A.sin+cos 1B.sin+cos=1C.sin+cos 1D.不能确定,【思维引】画出三角函数线,根据三角形两边之和大于第三边,即可得到答案.,【解析】选A.如图,角的终边与单位圆交于P点,过P作PMx轴于M点,由三角形两边之和大于第三边可知sin+cos 1.,【类题通】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.,【习练破】若是三角形的内角,且sin+cos=,则这个三角形是()A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形,【解析】选D.当0 时,由单位圆中的三角函数线知,sin+cos 1,而sin+cos=,所以必为钝角.,
