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菜篮子工程中的蔬菜种植问题（湖南科技学院 理学院 杨珍、金珠、李柯江）摘要 “菜篮子工程”作为缓解我国副食品供不应求的矛盾措施，受到各级政府的广泛重视。副食品供不应求问题也在近些年得到了改善，然而蔬菜作为“菜篮子工程”中的主要产品，更是让人倍受关注。因此在“菜篮子工程”的实施过程中，有关蔬菜种植及其运送方案问题显得尤为重要。在本题中【关键词】线性规划、菜篮子工程、SPSS、LINGO一、 问题重述菜篮子工程中的蔬菜种植问题 为缓解我国副食品供不应求的矛盾，农业部于1988年提出建设“菜篮子工程”。一期工程建立了中央和地方的肉、蛋、奶、水产和蔬菜生产基地及良种繁育、饲料加工等服务体系，以保证居民一年四季都有新鲜的副食品供应。 蔬菜作为“菜篮子工程”中的主要产品，备受各级政府的重视。到1995年，蔬菜种植的人均占有量已达到世界人均水平。对于一些中小城市，蔬菜种植采取以郊区和农区种植为主，结合政府补贴的方式来保障城区蔬菜的供应。这样不仅提高了城区蔬菜供应的数量和质量，还带动了郊区和农区菜农种植蔬菜的积极性。JG市的人口近90万，该市在郊区和农区建立了8个蔬菜种植基地，承担全市居民的蔬菜供应任务，每天将蔬菜运送到市区的35个蔬菜销售点。市区有15个主要交通路口，在蔬菜运送的过程中从蔬菜种植基地可以途径这些交通路口再到达蔬菜销售点。如果蔬菜销售点的需求量不能满足，则市政府要给予一定的短缺补偿。同时市政府还按照蔬菜种植基地供应蔬菜的数量以及路程，发放相应的运费补贴，以此提高蔬菜种植的积极性，运费补贴标准为0.04元/（1吨.1公里）。“蔬菜种植基地日蔬菜供应量”、“蔬菜销售点日蔬菜需求量及日短缺补偿标准”、“道路交通情况及距离”见附件1附件3。问题1：针对下面两个问题，分别建立数学模型，并制定蔬菜运送方案。（1）为JG市设计从蔬菜种植基地至各蔬菜销售点的蔬菜运送方案，使政府的短缺补偿和运费补贴最少；（2）若规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30%，重新设计蔬菜运送方案。问题2：为满足居民的蔬菜供应，JG市决定扩大蔬菜种植基地规模，以增加蔬菜种植面积。建立问题的数学模型，确定8个蔬菜种植基地的新增蔬菜种植量，并重新设计蔬菜运送方案，使总短缺补偿和运费补贴最少。问题3：为了提高居民的生活质量，市政府要求蔬菜种植基地不仅要保证蔬菜供应总量，还要满足居民对蔬菜种类的需求。每个蔬菜种植基地可种植12种蔬菜，各个蔬菜销售点对每种蔬菜的需求量见附件4。在问题2得到的各个蔬菜种植基地日蔬菜供应量的基础上，建立数学模型，给出问题的求解算法，确定每个蔬菜种植基地的种植计划，并重新设计蔬菜运送方案，使总短缺补偿和运费补贴最少。问题4：根据你们所能收集到的信息，政府如何进一步完善和制定相应的扶持政策，使得菜农有种植蔬菜的积极性，居民可以得到质优价低的新鲜蔬菜，同时还能够逐渐减少或者不用政府投入补贴。此问题可以专注一点或几点，在小范围内试点运行，形成问题的描述，并建立数学模型，给出数值结果。二、 问题分析 根据题设附件3给出的销售点、基地、路口之间的距离相互关系，利用matlab制出JG市基地与销售点的完全图，而后根据完全图对各问进行分析。2.1问题一2.11、要求政府的短缺补偿和运费补偿最低，根据题设给出条件我们可以求出每个销售点到基地每吨每天的总补偿费用，求每吨每天的补偿总费用最少转化成求各销售点到各基地的最短距离问题，因此应用线性规划可解决相应的运输费补偿和短缺问题。 2.12、第二小问在第一小问的基础之上增设了各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30%，因此我们先算出所有销售点70%的总供应量得242.97吨，则可得在满足题设条件下27.3吨可供应的蔬菜需供应总需求量为117.73吨的销售点，然后在借鉴第一问即可解决此问。2.2问题二由题目可得，需要满足两个条件：一、要满足对每个销售点的供货量充足，二、总费用最低。所以我们在问题一的模型上增加了上述两个限制条件既得到第三个模型。2.3问题三 根据题设给出的附件数据，可知每个销售点所需的蔬菜供应量与附件4给出所需各种蔬菜量的和，因此可在问题二的基础上建立模型求解2.4问题四 符号说明Xij第i个基地向第j个销售点提供的数量ai第i个基地供应量bj第j个销售点的需求量dij从第i个基地到销售点j的最短距离eij第i个基地向第j个销售点供给的单位补偿费用cj第j个销售点因供给量小于它的需求量的单位损失Z总费用P短缺费补偿Q运输补偿费用ljn第j个销售点向第n个备选配送中心的运送量snj第n个配送中心向第j个销售点的运送量种植基地和销售点与配送中心的单位运费mjk第j个销售点对第k种蔬菜的需求量三、 模型假设（1） 假设题中所给的所有数据真实可靠（2） 假设道路完好，不存在因道路问题，无法运输的情况（3） 假设只考虑运输补偿费和短缺费用，不考虑其他费用（4） 假设不受气候等影响，8个蔬菜种植基地的收成数量相对稳定（5） 假设在运输过程中无蔬菜损失，且只来源于那8个的基地，不考虑外来送货情况四、 模型的建立于求解 由表格和图的信息，我们建立了一个线性规划模型，目标函数是总费用Z，包含两部分，蔬菜运输补偿费Q和短缺损失费用P。Z=P+QP=*cj Q=约束条件：（1）8个基地的蔬菜全部供给35个销售点 （i=1,2,3 8） (2)8个基地分别向每个销售点供应的总量不超过每个销售点的需求量 （j=1,2,335） (3)变量非负性限制 Xij (i-1,2,38)从而问题2.11建立的模型：Min Z=*cj+s.t （i=1,2,38） （j=1,2,335,i=1,2,38） Xij 4.1.2模型求解为了求解模型,我们必须先求出系数eij,即代表了第i个基地向第j个销售点供给的单位补偿费用，又由已知可得，运费补贴标准为0.04元/（1吨.1公里），所以eij在数值上等于0.04dij,从而等价于一个求最短距离的问题。故我们应用Dijkstra算法实现这个问题，其基本思想是按照从近到远为顺序，依次求得到G的各顶点的最短路径和距离，直至（或者直至G的各顶点）,算法结束，采用MATIAB编程求解，程序见附件一，最短距离求解如表一12345678123456789 即用公式可求出对应第i个基地向第j个销售点供给的最少单位补偿费用，再根据建立的模型，利用Lingo编程求解，输入目标函数和约束条件，求解模型最优解，各基地向各销售点运输蔬菜的数量，如下表二1234567816.528.71.538.4410.0159.167.779.886.6597108.4117.35124.9135.95148.4151.646.48168.75179.45183.253.05195.11207218.89221.26236.74.130.84248.75256.72269.111.39275.04286.23291.875.34308317.7328337.98348.47357.49则通过计算可得，政府最少的短缺补贴和运费补贴为42784.3元4.1.2模型分析因为规定了各蔬菜销售点短缺不超过需求量的30%故在第一问上新加上了新的限制条件，即可得出新的调运方案。即：Min Z=*cj+s.t （i=1,2,38） （j=1,2,335,i=1,2,38） Xij （j=1,2,335）即通过编程可得，各基地向销售点供应量新的分配表，表3123456781.6.52.8.71.53.8.44.10.015.9.16.7.77.9.88.6.659.710.8.411.7.3512.4.913.5.9514.8.415.1.646.4816.8.7517.9.4518.3.253.0519.5.1120.721.8.8922.1.264.130.8423.6.724.8.7525.6.7226.9.1127.5.0428.6.2329.1.875.3430.931.7.732.833.7.9834.8.4735.7.49政府最少的短缺补贴和运费补贴为50415.2元4.2模型分析为满足居民的蔬菜供应，JG市决定扩大蔬菜种植基地规模，以增加蔬菜种植面积，则在模型一上增加了两个限制条件，即得到第三个模型。Z=P+Q P=*cj Q=约束条件：（1）8个基地的蔬菜全部供给35个销售点 （i=1,2,3 8） (2)8个基地分别向每个销售点供应的总量不超过每个销售点的需求量 （j=1,2,335） (3)变量非负性限制 Xij (i-1,2,38)从而问题4.2建立的模型：Min Z=*cj+s.t +yi （i=1,2,38） （j=1,2,335,i=1,2,38） Xij yi04.2模型求解 用Lingo编程求解,可求得各种植基地增加种植面积以后，新的蔬菜供应量和新的蔬菜运输方案，结果分别如表四，表五种植基地12345678增加量029.30010.250.500供应量4074.3303839.285.52528表四：各基地蔬菜种植增加量（单位：吨）依据表中数据可知：基地2蔬菜供应量新增29.3吨，基地5新增10.2吨，基地6新增50.5吨扩大规模以后，各基地向各销售点运输蔬菜数量如表五1234567816.5210.2312414.351361175.78.389.5910108.4115.5120.76.3138.514121511.61612.51713.5189197.320102112.7227.4236.7244.58250.2269.4277.2288.92910.3309317.73283311.43412.13510.74.3模型的建立基于模型二，8个蔬菜种植基地增加后的日供应量如表六 五、 模型的评价以上模型的优点：（1） 所建立的模型简洁明了，便于使用数学工具，我们通过对*软件的使用，降低了编程求解的难度，缩短了运行时间，提高了工作效率。（2） 对一个问题从不同的角度进行了考虑，建立了多个模型，并进行了相应分析，既符合题目要求，也具有实际意义。不足之处：以上模型只考虑了在降低运输补偿费用和短缺费用的目标下的优化方案，并未涉及到市场上蔬菜供过于求和基地蔬菜积压而导致的储蓄费，从而不能很好的解决实际问题，所以此模型还待改进六、 参考文献百度百科、数学模型（姜启源）七、 附录