常见数列通公式的求法.doc
常见数列通项公式的求法1利用等差等比数列通项公式 例1：设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，求，的通项公式。解：设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以， 相关高考1：等差数列的前项和为求数列的通项。解：由已知得，故相关高考2：实数列等比数列,成等差数列，求数列的通项。解：设等比数列的公比为，由，得，从而，因为成等差数列，所以，即，所以故2利用数列的前项和， 例2：各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN*),其中a1=1.Z求数列ak 。解：当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故相关高考1：已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满足，则相关高考2：设数列满足，求数列的通项。解： 验证时也满足上式，相关高考3：数列的前项和为，求数列的通项解：（I）an+1=2Sn, Sn+1-Sn=2Sn, =3. 又S1a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(nN*).当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2), an=相关高考4：已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式。解：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为3利用递推关系31 递推关系 其中为常数 由递推式得，诸式相加，得 ，即为累加法求数列通项公式。例3：数列中，（是常数，），且成公比不为 的等比数列求的通项公式解：，因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故当时，由于， ， ，所以又，故当时，上式也成立，所以相关高考1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：当时， 当时，也满足上式，故。相关高考2：已知数列满足，且，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，令，有： ，且，从而， 故 。32 递推关系 其中为常数由递推式得，诸式相乘，得 ，即为累乘法求数列通项公式。例4：已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。解：由，得，所以 故，诸式相乘得，即 ，当时也满足上式。故 。相关高考：数列满足且，求数列的通项公式。解：， 即，从而 。33 递推关系 其中为常数且 令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。 例5：已知数列中，求的通项公式。 解： ，所以，数列是首项为，公比为的等比数列， ，即的通项公式为， 相关高考1：设数列的首项求的通项公式。解：由 整理得 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 相关高考2：已知数列：3，5，7，9，。另作一数列，使得，且当时，求数列的通项公式。解：由已知得，有， 所以，故 。相关高考3：数列中，设且，求数列的通项公式。 解：由 得，令，有，则 ，所以， 从而 ，故 。34 递推关系 其中为常数且，为非常数 由递推式两边同除以，得，对此采用3. 1中所述的累加法可求。 例6：在数列中，其中求。解：由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为相关高考：数列的前项和为且满足，求。 解：由 有：，两式相减得： 即：，两边同除以，得： ，令，则，从而 。 故。35 递推关系 其中为常数 351 若时，即，知为等比数列，对此采用3. 1中所述的累加法可求。例7：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由两边减去 得：，所以 是公比为，首项为的等比数列，所以 ， 即 ，即相关高考：已知数列中，求数列的通项公式。解：由两边减去 得：，所以 是公比为，首项为的等比数列，所以， 即 ，即 352 若时，存在满足，整理得，有，从而是等比数列，对此采用3. 4中所述的方法即可。4利用倒数变形，,两边取倒数后换元转化为。例8：已知数列满足：，求数列的通项公式。解：取倒数： 是等差数列，相关高考1：数列满足：，且，求 。解：将条件变为：1，因此为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得 。相关高考2：数列满足：，求数列的通项公式。解：，所以， 令，则，因而是首项为，公差为的等差数列，所以 ，故 。5利用归纳猜想 例9：设正整数数列满足：，且对于任何，有（1）求，；（2）求数列的通项解：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得因为时，所以 ，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，相关高考：已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（1）写出与之间的关系式（）。（2）设，计算， 并求出数列的通项公式。解：（1）当（2） 由此推测，下面用数学归纳法证明：假设当n=k时公式成立，即成立，那么当n=k+1时 公式仍成立综上对任意公式都成立。6利用函数的不动点（方程的特征根） 61 若数列满足，且是方程的最小根，则。 例10：已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则是其最小根，得，由题意知，两边取对数，得，两边同时加1，得：，故是首项为公比为2的等比数列，所以 ， 故 。 62 若数列满足且。 621 若方程有两个相异实根，则 。例11：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得为其两根，所以有， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 故 。622 若方程有两个相等实根，且，则。 例12：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得为其根，所以 ， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 故 。 63 若数列满足，若是方程的两个相异实根，则 例13：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得为其两根，所以，两边取对数，得，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以 ， 故 。 相关高考：已知函数，是方程的两个根，是 的导数设，（1）求的值；（2）已知对任意的正整数有，记求数列的前项和解：(1)求根公式得, (2) 数列是首项,公比为2的等比数列 ，
