基于MUSIC算法的DOA估计毕业论文.doc

基于MUSIC算法的DOA估计毕业论文目 录第一章 绪论11.1 研究背景及意义11.2 DOA估计发展概述21.3 论文的主要工作及内容安排4第二章 DOA估计基础知识52.1 DOA估计原理52.1.1 空间谱估计的系统结构52.1.2 DOA估计的基本原理62.2阵列信号DOA估计的常用方法72.3影响DOA估计结果的因素82.4 MATLAB简介92.5其他相关知识10第三章 MUSIC算法133.1 MUSIC算法的提出133.2波达方向估计问题中的阵列信号数学模型133.3阵列协方差矩阵的特征分解163.4 MUSIC算法的原理及实现173.5 MUSIC算法的改进19第四章 MUSIC算法的DOA估计仿真214.1 MUSIC算法的基本仿真214.2 MUSIC算法DOA估计与阵元数的关系224.3 MUSIC算法DOA估计与阵元间距的关系224.4 MUSIC算法DOA估计与快拍数的关系234.5 MUSIC算法DOA估计与信噪比的关系244.6 MUSIC算法DOA估计与信号入射角度差的关系254.7 信号相干时MUSIC算法与改进MUSIC算法的仿真比较26第五章 MUSIC算法在应用中存在的问题及解决措施295.1通道失配对算法的影响295.2 干扰源数目欠估计和过估计对算法的影响295.3 相干干扰源对算法的影响29第六章 DOA估计的展望31结论34致谢语35参考文献36附录38附录一：MUSIC 算法MATLAB仿真基本源代码38附录二：MUSIC算法DOA估计与阵元数的关系仿真源代码39附录三：MUSIC算法DOA估计与阵元间距的关系仿真源代码41附录四：MUSIC算法DOA估计与快拍数的关系仿真源代码44附录五：MUSIC算法DOA估计与信噪比的关系仿真源代码46附录六：MUSIC算法DOA估计与角度差的关系仿真源代码48附录七：信号相干时MUSIC算法与改进MUSIC的比较仿真源代码50引言阵列信号处理是信号处理领域内的一个重要分支，在近些年来得到了迅速发展，其应用涉及雷达、通信、声纳、地震、勘探、天文以及生物医学工程等众多军事及国民经济领域。阵列信号处理主要的研究方向是自适应阵列处理和空间谱估计。其中空间谱估计理论与技术仍处于方兴未艾的迅速发展之中，已成为阵列信号处理学科发展的主要方面。空间谱估计侧重于研究空间多传感器阵列所构成的处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估计的能力，其主要目的是估计信号的空域参数或信源位置，这也是雷达、通信、声纳等许多领域的重要任务之一。空间谱表示信号在空间各个方向上的能量分布。因此，如果能得到信号的空间谱，就能得到信号的波达方向（DOA），所以，空间谱估计常称为“DOA估计”。需要指出的是，有的文献将DOA估计直接称为“方向估计(bearing estimation)”或“角度估计(angle estimation)”，也有的称为“测向(direction finding)”，实际上它们都是从不同角度的称谓。波达方向估计指的是要确定同时处在空间某一区域内多个感兴趣信号的空间位置，即各个信号到达阵列参考阵元的方向角。波达方向技术是阵列信号处理中的重要研究方向，是近年来迅速发展起来了一门跨学科专业的边缘技术。特别是多信号源的波达方向估计、相干信号源的波达方向估计、宽带波达方向估计、复杂环境下的波达方向估计等更是国际上研究的热点。波达方向估计技术在雷达、声纳、通信、地震以及生物医学工程领域都有着十分广泛的应用前景。近年来，波达方向估计的各种算法取得了丰硕的成果，其理论日益完善，这为其投入实际的应用中提供了坚实的理论基础，最经典的DOA估计算法是基于接收信号相关矩阵特征分解的MUSIC算法。第一章 绪论1.1 研究背景及意义阵列信号处理理论应用十分广泛，涉及雷达、声纳、医疗、地震学、射电天文学、地球物理、卫星和移动通信系统等众多领域，已成为信号处理领域研究的一个热点和难点。阵列信号处理的目的是通过对阵列接收的信号进行处理，增强所需的有用信号，抑制无用的干扰和噪声，并提取有用的信号特征和信号所包含的信息。与传统的单个定向传感器相比，传感器阵列具有灵活的波束控制，高的信号增益，极强的干扰抑制能力和高的空间分辨能力等优点，这也是阵列信号处理理论近几十年来得以蓬勃发展的根本原因。阵列信号处理主要的两个研究方向是自适应阵列处理和空间谱估计。自适应阵列处理技术的产生要早于空间谱估计，而且已得到了广泛应用，其工程实用系统已屡见不鲜。相反，尽管空间谱估计在近些年得到了快速的发展，其研究文献之多，遍及范围之广，内容之丰富令人叹为观止。但其实用系统尚不多见，目前空间谱估计理论与技术仍处于方兴未艾的迅速发展之中，已成为阵列信号处理学科发展的主要方面。空间谱估计侧重于研究空间多传感器阵列所构成的处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估计的能力，其主要目的是估计信号的空域参数或信源位置，这也是雷达、通信、声纳等许多领域的重要任务之一，因而在众多领域有极为广阔的应用前景。空间谱是阵列信号处理中的一个重要概念，空间谱表示信号在空间各个方向上的能量分布。因此如果能得到信号的空间谱，就能得到信号的波达方向（DOA）。所以，空间谱估计常称为DOA估计。此外，空间谱估计又常称为超高分辨谱估计这主要是因为空间谱估计技术具有超高的空间信号的分辨能力，能突破并进一步改善一个波束宽度内的空间不同来向信号的分辨能力。DOA估计算法研究属阵列信号处理中的关键问题，主要研究内容是如何从背景噪声中估计信号的方位。这个领域的研究经历了十分漫长的发展过程，其中最为迫切需要解决的是基阵的分辨能力问题。经典方位估计利用波束系统实现，但它的分辨率很低，随着现代谱分析理论的发展，高分辨方位估计技术逐渐成为研究的重点。高分辨技术的发展过程经历了若干重大突破，其中最具代表性的是信号子空间类算法和子空间旋转法的出现。为获取高分辨力而付出的代价是复杂且庞大的数学运算，但是随着电子元件的不断发展以及通信硬件平台的更新换代，已经有可能在较短的时间内完成高分辨算法中巨大的运算量，从而使这些算法有可能在实际中找到应用场所，本文主要研究子空间类算法中的MUSIC算法。MUSIC算法的基本思想是将观测空间划分为仅由噪声贡献的噪声子空间以及由噪声和信号共同作用的信号子空间，根据这两个子空间的正交性，构造空间谱函数，根据这个空间谱函数对DOA进行估计。1.2 DOA估计发展概述最初的波达方向估计方法是基于傅立叶变化的线性谱估计方法，主要包括BT法和周期图法。由于受到瑞利极限的限制，无法获得超高分辨率性能，且抗噪声能力差，未能取得满意的效果。后来，基于统计分析的最大似然谱估计方法，因其具有很高的分辨性能和较好的鲁棒性而受到人们的关注，然而。最大似然估计法要对高维参量空间进行搜索，运算量极大，难于在实践中得到应用。1967年，Burg提出了最大熵谱估计方法，开始了现代谱估计的研究，这类方法包括最大嫡法、AR、MA、ARMA模型参量法、正弦组合模型法等等。上述方法都具有分辨率高的优点，但它们的运算量都很大，且鲁棒性差。八十年代以后，学术界提出了一类基于矩阵特征值分解的谱估计方法。其中以Schmidt等人提出的多重信号分类MUSIC(Multiple signal Classification)方法和Roy等人提出的旋转不变子空间ESPRIT(Estimation Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)方法为代表。它们分别基于信号子空间与噪声子空间的正交性和信号子空间的旋转不变性。以MUSIC为代表的特征结构分析法，具有很好的角度分辨能力。在一定的条件下，MUSIC算法是最大似然法的一种一维实现，具备与最大似然法相近的性能。在这一点上MUSIC算法超过了其它算法，受到广泛的重视；其弱点是运算量偏大。ESPRIT算法及其改进算法，如TLS_ESPRTI、VIA_ESPRIT、GEESE等，都有较好的分辨率。更重要的是这类方法避免了运算量极大的谱搜索过程，大大加快了波达方向估计的速度，这是其它方法所无法比拟的。但是，ESPRIT算法及其改进算法需要通过特殊的阵列结构才能实现波达方向估计，因而适用范围相对较窄。近年来，学术界认为常规的空间谱估计波达方向估计方法，如ML、MUSIC、ESPRIT等方法都忽略了信号的时间特性，而随着阵列信号处理技术日益广泛的应用，在许多场合中信号是配合其他信号使用的(如在通信领域)。因此有必要在使用常规方法进行空域处理的同时有效的引入适当的时域处理，更充分的利用信号中的有用信息。一些学者认为可以在空域和时域对信号同时进行采样，利用多出来的一维处理补充空域信息的不足，即利用空时二维阵列信号的处理，降低对阵列结构的约束，提高算法的抗噪能力。近年来，人们在探索同时利用时域和空域信息来改善波达方向估计的性能方面取得了重大进展，已成为阵列信号处理领域的前沿课题。由于雷达、通信信号在一定的条件下具有循环平稳特性，人们近年来将循环平稳信号处理技术与传统空间谱估计方法相结合，提出了一系列基于信号循环平稳特性的波达方向估计方法，如循环MUSIC、循环ESPRIT等方法。由于循环平稳统计量对噪声和干扰特殊的抑制作用，同时由于不同信号的特征频率不同，因而这些方法在进行波达方向估计时具有信号选择的能力，能够大大提高算法的抗干扰能力、分辨能力。针对实际中经常存在的有色噪声环境，近年来人们尝试采用基于高阶累积量的阵列信号的处理方法。由于高阶累积量对任意高斯噪声有自然盲性，基于累积量的算法使原有的波达方向估计算法所适应的观测噪声扩展到高斯空间有色噪声或对称的非高斯空间有色及白噪声。在阵列信号处理中，天线阵列接收来自多个信号源的信号，源信号可能是完全未知的，传输通道也是未知和时变的，而传输通道的不确定性是限制高分辨率波达方向估计算法实用化的主要因素之一。所以国内外学者提出了波达方向盲估计的概念。波达方向盲估计可以在未知通道特性的情况下估计信号波达方向，具有广阔的应用前景。自适应信号盲分离源于1991年Heruah和Juttne的开创性工作，近年来人们提出了许多不同的算法，原则上这些盲分离算法都可以用于波达方向盲估计。许多天然和人工的信号，如语音、生物医学信号、雷达和声纳信号，都是典型的非平稳信号，其特点是持续时间有限，并且是时变的。出于对实际系统的非线性、非平稳特性考虑，在波达方向估计中采用人工神经网络方法，也是近年来研究的方向。上述这些方法中，基本上处于理论研究和试验仿真阶段，远未达到应用化程度。目前，在实际的波达方向估计中所采用的主流技术，主要是干涉法。在各种基于空间谱估计的波达方向估计中，鉴于MUSCI类方法具有较高的分辨率、适中的计算量、较好的稳健性、对阵列结构适用面比较广，在工程实用化过程中，人们往往首先采用MUSIC类方法进行研究实验，并研制出了一些硬件设备，在实用化过程中取得了一定的成果。1.3 论文的主要工作及内容安排本文对DOA估计的发展及现状进行了介绍，对MUSIC算法进行了分析推导和总结，并通过计算机仿真对算法做了性能分析，与改进的MUSIC算法做了仿真比较，加深了对算法的了解，更好的认识了DOA估计在阵列信号处理中的重要作用。论文的内容安排如下：第一章介绍了研究的背景意义，对空间谱估计在国内外的发展状况进行了概括分析，进而确定了本文的主要研究内容。第二章介绍DOA估计中涉及的相关知识。介绍了空间谱估计的原理，建立了阵列信号DOA估计的模型，简要介绍了阵列信号DOA估计的常用方法及其影响因素，介绍了MATLAB及其他相关知识，它是后续章节的理论基础。第三章详细介绍了一种经典的DOA估计算法：MUSIC算法。首先建立DOA估计的数学模型，然后对MUSIC算法进行了详细的分析，并给出了MUSIC算法的基本原理和实现步骤。针对信号相干时MUSIC算法失效的情况，提出了改进的MUSIC算法。第四章对MUSIC算法进行了几组的仿真，通过实验对MUSIC算法进行了性能分析以及和改进MUSIC算法的仿真比较。第五章提出了MUSIC算法在实际应用中存在的问题及解决措施。第六章对DOA估计以后的研究发展进行了展望。最后对全文的工作及结论进行了总结。第二章 DOA估计基础知识本章主要介绍一下DOA估计的相关基础知识，为下面章节的算法研究和分析奠定基础。2.1 DOA估计原理2.1.1 空间谱估计的系统结构空间谱估计就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。整个空间谱估计系统应该由三部分组成：空间信号入射、空间阵列接收及参数估计。相应的可分为三个空间：目标空间、观察空间及估计空间，其框图见图2-1 ，信号源目标空间通道1通道2处理器观察空间估计空间.。通道M图2-1 空间谱估计的系统结构对于上述的系统结构，作以下几点说明：（1）目标空间是一个由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间。对于空间谱估计系统，就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数。（2）观察空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号。由于环境的复杂性，接收数据中包含信号特征（方位、距离、极化等）和空间环境特征（噪声、杂波、干扰等）。另外由于空间阵元的影响，接收数据中同样也含有空间阵列的某些特征（互耦、通道不一致、频带不一致等）。这里的观察空间是一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法通常只有一个通道。特别需要指出的是：通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的，当然空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内。（3）估计空间是利用空间谱估计技术（包括阵列信号处理中的一些技术，如阵列校正、空域滤波等技术）从复杂的观察数据中提取信号的特征参数。从系统框图中可以清晰的看出，估计空间相当于是对目标空间的一个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元的互耦、通道不一致、频带不一致等。空间谱表示信号在空间各个方向上的能量分布，如果能得到信号的空间谱，就能得到信号的波达方向（direction of arrival, DOA）,所以，空间谱估计也被称为DOA估计。2.1.2 DOA估计的基本原理波达方向（DOA）是指无线电波到达天线阵列的方向，如图2-2所示，若到达的无线电波满足远场窄带条件，可以近似认为无线电波的波前为一平面，平面波前的阵列轴线或阵列法线间的夹角即为波达方向。DOA估计的目标是在给定N个快拍数据：x(1)x(N)，用某种算法估计k个信号的DOA值对于一般的远场信号而言，同一信号到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导致了接收阵元间的相位差，利用阵元间的相位差可以估计出信号的方位，这就是DOA估计的基本原理。d图2-2 DOA估计原理图如图2-2所示，图中考虑两个阵元，d为阵元间的距离，c为光速，为远场信号的入射角，为阵元间的相位延迟。则天线所接收的信号由于波程差 （2.1）从而可得两阵元间的相位差为 （2.2）其中，是指中心频率。对于窄带信号，相位差 （2.3）其中，为信号波长。因此，只要知道信号的相位延迟，就可以根据式（2.1） 求出信号的来向，这就是空间谱估计技术的基本原理。在本文研究过程中，均采用下列假设条件：（1）点源假设。假设信号源为点源，这一假设使得从阵列向信号源看去时，其张角为零度，因而信号源相对于阵列的方向是唯一确定的。（2）窄带信号假设。即信号的带宽远小于信号波跨阵列最大口径传播时间的倒数。满足窄带假设条件就保证了阵列所有阵元几乎能同时采集一个信号。（3）阵列与模拟信道假设。假设阵列处于信号源的远场区内，使得投射到阵列的波为平面波。假设各阵元为相同点阵元，且位置精确，阵元信道幅相特性一致。这一假设保证阵元及其信道，无任何误差。（4）噪声假设。假设各阵元间的噪声均为零均值、方差为的高斯白噪声，各阵元噪声之间彼此统计独立，且信号与噪声间统计独立。2.2阵列信号DOA估计的常用方法这一节将介绍一些常用的DOA估计方法。1传统波束形成法最早用于DOA估计的方法是传统波束形成算法。它的主要思想是：在某一时刻使整个阵列对某一个方向进行估计，测量输出功率。在输出功率上，能产生最大功率的方向就是我们所需要的DOA估计。传统波束形成方法的缺点：阵列所有可利用的自由度都用在所需观测方向上形成一个波束。当有多个信号源入射时，该方法受限于波束宽度和旁瓣高度，因此分辨率较低。2 Capon最小方差法Capon最小方差方法是一种以提高传统方法效果为目的的波束形成技术。由于传统波束形成方法有这样一个缺陷:当有多个信号源存在时，空域谱估计不仅包括被估计方向上的信号源功率，还包括其它方向上的其它信号源功率。而Capon方法是通过最小化总体输出的功率，来降低干扰的影响，从而对来波方向进行估计。 Capon方法比传统波束形成算法的分辨力有了很大的提高。但Capon方法也有明显的不足:若其它信号的入射方向与感兴趣的信号的入射方向比较接近时，Capon方法的估计误差就会很大，需要对矩阵求逆;当阵元数较大时运算量过大，分辨能力由阵列几何结构和信噪比决定。3子空间类算法尽管基于波束形成的经典方法通常很有效，也经常用到，但这些方法在分辨率方面尚有本质的局限性，无法超过受阵列孔径限制。这些局限大多数是由于没有利用输入信号模型的结构。Schmitt在不考虑噪声的情况下导出了DOA估计问题的完全几何解，并将这个几何解推广，得到存在噪声时的合理近似解，开创了子空间方法的先河，这种算法就是后来被称为MUSIC的算法。除MUSIC算法，基于子空间算法的形成主要得益于Roy提出的 借助旋转不变技术的信号参数估计，就是所谓的ESPRIT算法。子空间类算法主要利用阵列接收数据的协方差矩阵R的两条性质：（1）特征向量的扩张空间可分解成两个正交子空间，即信号子空间(由较大特征值对应的特征向量扩张而成)和噪声子空间(由较小特征值对应的特征向量扩张而成)。（2）信号源的方向向量与噪声子空间正交。2.3影响DOA估计结果的因素 信号的DOA估计结果受到多种因素的影响，既与入射信号源有关，也与实际应用中的环境有关。下面给出几点比较重要的影响因素，并在第四章的仿真实验中分别检测它们对DOA估计性能的影响情况。1、阵元数基阵的阵元数目也影响着超分辨算法的估计性能。一般来说，在阵列其它参数一样的情况下，阵元数越多，超分辨算法的估计性能越好。2、快拍数在时域，快拍数定义为采样点数。在频域，快拍数定义为做DFT（离散傅里叶）变换的时间子段的个数。3、信噪比假设信号和噪声具有平坦的带通功率谱密度，而且信号源功率为，噪声功率为，那么在这种情况下，信噪比可定义为 SNR=20 （2.4）信噪比的高低直接影响着超分辨方位估计算法的性能。在低信噪比时，超分辨算法的性能会急剧下降，因而提高算法在低信噪比条件下的估计性能是超分辨DOA算法的研究重点。4、信号源的相干性相干源问题是子空间类算法的致命问题，当信号源中存在相干信号时，信号协方差矩阵就不再为满秩矩阵，这种情况下，原有的超分辨算法便失效，因此，会大大的影响到DOA估计的性能。除了上面给出的影响因素外，在实际应用中还有其它的一些影响DOA估计性能的因素，比如阵元幅度相位不一致性，阵元间互耦、传感器位置误差等等。 2.4 MATLAB简介MATLAB是由美国Math works公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB既是一种语言，又是一种编程环境。MATLAB提供了很多方便用户的工具，用于管理变量、输入输出数据以及生成和管理M文件。用户可在MATLAB的命令窗口键入一个命令，也可以由它定义的语言在编辑器中编写应用程序，MATLAB软件对此进行解释后，在MATLAB环境下对它进行处理，最后返回结果。MATLAB的主要特点：（1）语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用MATLAB进行科技开发是站在专家的肩膀上。（2）运算符丰富。由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。（3）MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。（4）程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。（5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。（6）MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。（7）功能强大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含两个部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，图示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交互功能。功能性工具箱用于多种学科。这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高，精，尖的研究。（8）源程序的开放性。开放性也许是MATLAB最受人们欢迎的特点。除内部函数以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。2.5其他相关知识1分辨力在阵列测向中，在某方向上对信源的分辨力与在该方向附近阵列方向矢量的变化率直接相关。在方向矢量变化较快的方向附近，随信源角度变化阵列快拍数据变化也大，相应的分辨力也高。在这里定义一个表征分辨力的量D() D()= （2.5）D()越大则表明在该方向上的分辨力越高。对于均匀线阵，则D() （2.6）说明信号在0°方向分辨而在60°方向分辨力已降了一半，所以一般线阵的测向范围为-60° 60°2Hermite矩阵定义：如果复方阵满足（表示共轭转置），则称为一个Hermite矩阵，即埃尔米特矩阵，简称为H矩阵。设和分别为转置矩阵和共轭矩阵，显然，阶方阵为H矩阵的充要条件为，也即 （） (2.7) 由式(2.7)可以看出，H矩阵的对角线元素必为实数。H矩阵具有如下性质：(1)若为H矩阵，则为实数；(2)若为H矩阵，为任意实数，则仍为H矩阵；(3)若为H矩阵，则，都是H矩阵，当可逆时，也是H矩阵；(4)若均为阶H矩阵，则也是H矩阵。3协方差及协方差矩阵 方差反应参数的波动情况。而两个不同参数之间的方差就是协方差。 对于二维随机变量（X，Y），如果E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称之为X与Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y) =E(XY)-E(X) E(Y) (2.8)协方差的性质（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)； （2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）； （3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。 由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y) ( 2.9 )对于n维随机向量（X1,X2,.Xn），记=E(Xi-E（Xi）)（Xj-E(Xj)）(i=1,2,n) (2.10)C=则称矩阵C为(X1, ,X2,.Xn）的协方差矩阵。协方差矩阵C为正定（非负定）对称阵，即。第三章 MUSIC算法3.1 MUSIC算法的提出多重信号分类（MUSIC）算法是Schmidt等人在1979年提出的。这一算的提出开创了空间谱估计算法研究的新时代，促进了特征结构类算法的兴起和发展，该算法已成为空间谱估计理论体系中的标志性算法。此算法提出之前的有关算法都是针对阵列接收数据协方差矩阵进行直接处理，而MUSIC算法的基本思想则是见任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分类相对应的信号子空间和与信号分量相正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的DOA。正是由于MUSIC算法在特定的条件下具有很高的分辨力、估计精度及稳定性，从而吸引了大量的学者对其进行深入的研究和分析。总的来说，它用于阵列的波达方向估计有以下一些突出的优点：(1)多信号同时测向能力(2)高精度测向(3)对天线波束内的信号的高分辨测向(4)可适用于短数据情况(5)采用高速处理技术后可实现实时处理3.2波达方向估计问题中的阵列信号数学模型 为了分析推导的方便，现将波达方向估计问题中的数学模型作理想状态的假设如下：(1)各待测信号源具有相同的极化、且互不相关的。一般考虑信号源为窄带的，且各信号源具有相同的中心频率。待测信号源的个数为D。(2)天线阵列是由M(M>D)个阵元组成的等间距直线阵，各阵元特性相同，各向同性，阵元间隔为d，并且阵元间隔不大于最高频率信号半波长。(3)天线阵列处于各信号源的远场中，即天线阵列接收从各信号源传来的信号为平面波。(4)各阵元上有互不相关，与各待测信号也不相关，方差为的零均值高斯白噪声。(5)各接收支路具有完全相同的特性。1d2 3 M图3-1 等距线阵与远场信号设由第k（k=1，2，D）个信号源辐射到天线阵列的波前信号为，前面已假设为窄带信号，则可以表示为以下形式： （3.1） 式中是的复包络，是信号的角频率。前面已经假设D个信号具有相同的中心频率，所以有： （3.2） 式中c是电磁波波速，是公用的信号波长。设电磁波通过天线阵列尺寸所需的时间为，则根据窄带假设，有如下近似： （3.3） 故延迟后的波前信号为： （3.4）所以，若以第一个阵元为参考点，则t时刻等间距直线阵中的第m(m=1，2，M)个阵元对第k个信号源的感应信号为： （3.5） 其中，为第m个阵元对第k个信号源的影响，前面以假设各阵元无方向性，所以可取。为第k个信号源的方位角，表示由第m个阵元与第1个阵元间的波程差所引起的信号相位差。计及测量噪声和所有信号源来波，第m个阵元的输出信号为： （3.6） 其中是测量噪声，所有标号为m表示该量属于第m个阵元，所有标号为k表示该量属于第k个信号源。设 （3.7） 为第m个阵元对第k个信号源的响应函数。则第m个阵元的输出信号为： （3.8）其中是第k个信号源在阵元上的信号强度。运用矩阵的定义，可以得到更为简洁的表达式： X=AS+N （3.9 ）式中 （3.10） （3.11） = （3.12） （3.13） （3.14） 对进行N点采样，要处理的问题就变成了通过输出信号的采样估计出信号源的波达方向角。由此，可以很自然的将阵列信号看作是噪声干扰的若干空间谐波的叠加，从而将波达方向估计问题与谱估计联系起来。3.3阵列协方差矩阵的特征分解对阵列输出x作相关处理，得到其协方差矩阵： （3.15） 其中，H表示矩阵共轭转置。前面已假设信号与噪声互不相关、且噪声为零均值白噪声，因此将式(3.9)代入式(3.15)，可以得到： = = （3.16）式中 （3.17） 称为信号的相关矩阵。 （3.18） 是噪声的相关矩阵，是噪声功率，I是M*M阶的单位矩阵。实际应用中，通常无法直接得到，能使用的只有样本的协方差矩阵： （3.19）是的最大似然估计，当采样数时，它们是一致的，但实际情况中将由于样本数有限而造成误差。根据矩阵特征分解的理论，可以对阵列协方差矩阵进行特征分解。首先考虑理想情况，即无噪声的情况： （3.20） 对于均匀线阵，矩阵A是由式(3.12)所定义的范德蒙德矩阵，只要满足： （3.21） 则，它的各列相互独立，这样，若为非奇异矩阵（，各信号源两两不相干），且M>D，则有： （3.22） 由于，所以有： （3.23） 即是Hermite矩阵，它的特征值都是实数。又由于是正定的，因此矩阵是半正定的，它有D个正特征值和M-D个零特征值。再考虑有噪声存在的情况 （3.24） 由于>0，为满秩阵，所以有M个正实特征值，分别对应于M个特征向量。又由于是Hermite矩阵，所以各特征向量是相互正交的，即： （3.25） 与信号有关的特征值只有D个，分别等于矩阵的各特征值与之和，其余的M-D个特征值为，也就是说，是R的最小特征值，它是M-D维的。对应的特征向量，i=1,2，M中，也有D个是与信号有关的，另外M-D个是与噪声有关的，在下一节里，将利用以上这些特征分解的性质求出信号源的波达方向。3.4 MUSIC算法的原理及实现通过对阵列协方差矩阵的特征分解，可以得到如下结论：将矩阵的特征值进行从小到大的排序，即 （3.26） 其中D个较大的特征值对应于信号，M-D个较小的特征值对应于噪声。矩阵的属于这些特征值的特征向量也分别对应于信号和噪声，因此，可以把的特征值(特征向量)划分为信号特征值(特征向量)与噪声特征值(特征向量)。设是矩阵的第i个特征值，是与个相对应的特征向量，则有： （3.27） 再设是的最小特征值 i=D+1，D+2，M （3.28） 将 （3.29）代入上式，可得： （3.30） 将上式右边展开与左边比较，可得： （3.31） 因是D*D维的满秩矩阵，存在；而同样存在，则上式两边同乘以后变成： （3.32） 于是有 i=D+1，D+2，M （3.33） 上式