正弦定理和余弦定理习题课课件.ppt

,3,第二章,解三角形,1,正弦定理和余弦定理习题课,第二章,解三角形,利用正、余弦定理解三角形,2,在,ABC,中，若,c,cos,B,b,cos,C,，且,cos,A,，求,3,sin,B,的值,【解】,由,c,cos,B,b,cos,C,，结合正弦定理得，,sin,C,cos,B,sin,B,cos,C,，,故,sin(,B,C,),0,，易知,B,C,，故,b,c,.,栏目,导引,第二章,解三角形,因为,cos,A,2,3,，所以由余弦定理得,cos,B,6,6,，,故,sin,B,30,6,.,3,a,2,2,b,2,，再由余弦定理得,栏目,导引,正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不,同，灵活选择,第二章,解三角形,栏目,导引,第二章,解三角形,1.,在锐角三角形,ABC,中，,a,、,b,、,c,分别为角,A,、,B,、,C,所对应的边，且,3,a,2,c,sin,A,.,(1),确定角,C,的大小；,3,3,(2),若,c,7,，且,ABC,的面积为,，求,a,b,的值,2,栏目,导引,第二章,解三角形,解：,(1),由,3,a,2,c,sin,A,及正弦定理得，,a,2sin,A,sin,c,3,A,sin,C,.,因为,sin,A,0,，所以,sin,C,3,2,.,因为,ABC,是锐角三角形，所以,C,3,.,栏目,导引,第二章,解三角形,(2),法一：因为,c,7,，,C,3,，,由面积公式得,1,2,ab,sin,3,3,3,2,，即,ab,6.(i),由余弦定理得，,a,2,b,2,2,ab,cos,3,7,，,即,a,2,b,2,ab,7.(ii),由,(ii),变形得,(,a,b,),2,3,ab,7.(iii),将,(i),代入,(iii),，得,(,a,b,),2,25,，,故,a,b,5.,栏目,导引,第二章,解三角形,法二：前同法一，联立,(i),、,(ii),?,得,?,?,a,2,b,2,ab,7,，,?,?,a,2,b,2,13,，,?,?,ab,6,?,?,?,?,ab,6,，,消去,b,并整理得,a,4,13,a,2,36,0,，,解得,a,2,4,或,a,2,9.,?,所以,?,?,a,2,?,?,a,?,或,?,3,?,b,3,?,?,b,2.,故,a,b,5.,栏目,导引,第二章,解三角形,正、余弦定理与三角恒等变形的综合,设,ABC,的内角,A,，,B,，,C,所对边的长分别是,a,，,b,，,且,b,3,，,c,1,，,A,2,B,.,(1),求,a,的值；,(2),求,sin,?,?,?,A,?,4,?,?,的值,c,，,栏目,导引,第二章,解三角形,【解】,(1),因为,A,2,B,，所以,sin,A,sin 2,B,2sin,B,cos,B,a,c,b,由正、余弦定理得,a,2,b,.,2,ac,因为,b,3,，,c,1,，所以,a,12,，,a,2,3.,b,c,a,9,1,12,1,(2),由余弦定理得,cos,A,.,2,bc,6,3,由于,0,A,，所以,sin,A,1,cos,A,故,?,?,sin,?,A,4,?,sin,?,?,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,2,1,.,9,3,2,2,2,?,1,?,2,A,cos,cos,A,sin,?,3,?,4,4,3,2,?,2,?,4,2,.,6,栏目,导引,第二章,解三角形,本例所有条件不变，试求,2,2,?,1,?,4,2,解：,由例题,(2),知,sin 2,A,2sin,A,cos,A,2,?,3,?,，,3,9,?,?,1,8,7,cos 2,A,cos,A,sin,A,.,9,9,9,2,2,?,?,cos,?,2,A,6,?,的值,?,?,所以,?,?,cos,?,2,A,6,?,cos 2,A,cos,?,?,sin 2,A,sin,6,6,7,3,?,4,2,?,1,?,?,9,2,?,9,?,2,7,3,4,2,7,3,4,2,.,18,18,18,栏目,导引,第二章,解三角形,对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦,定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为,角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒,等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论,栏目,导引,2.,在,ABC,中，,a,、,b,、,4sin,2,B,C,2,cos 2,A,7,2,.,求,A,的度数；,若,a,3,，,b,c,3,，求,b,和,c,的值,第二章,解三角形,c,分别为角,A,、,B,、,C,栏目,导引,的对边，,(1),(2),第二章,解三角形,解：,(1),由,4sin,2,B,C,2,cos 2,A,7,2,及,A,B,C,180,，,得,21,cos(,B,C,),2cos,2,A,1,7,2,，,4(1,cos,A,),4cos,2,A,5,，,即,4cos,2,A,4cos,A,1,0,，,所以,(2cos,A,1),2,0,，解得,cos,A,1,2,.,因为,0,A,180,，所以,A,60,.,栏目,导引,第二章,解三角形,b,c,a,2,2,2,(2),由余弦定理，得,cos,A,2,bc,.,2,2,2,因为,cos,A,1,b,c,a,1,2,，所以,2,bc,2,，,化简并整理，得,(,b,c,),2,a,2,3,bc,，,将,a,3,，,b,c,3,代入上式，得,bc,2.,?,则由,?,?,b,c,3,，,?,?,b,1,，,?,?,b,2,，,?,解得,?,或,?,?,bc,2,，,?,?,c,2,?,?,c,1.,栏目,导引,第二章,解三角形,在,ABC,中，,a,，,b,，,c,分别是角,A,，,B,，,B,3,5,，,a,7,且,AB,BC,21,，求角,C,.,【解】,因为,AB,BC,21.,所以,BA,BC,21.,所以,BA,BC,|,BA,|,|,BC,|,cos,B,ac,cos,B,21.,C,的对边，,cos,栏目,导引,第二章,解三角形,所以,ac,35,，又因为,a,7,，所以,c,5,，,因为,cos,B,3,5,，所以,sin,B,4,5,.,由余弦定理,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,32,，,所以,b,4,2.,由正弦定理,c,b,sin,C,sin,B,，,得,sin,C,c,sin,B,5,4,2,b,4,2,5,2,.,因为,c,b,且,B,为锐角，所以,C,一定是锐角所以,C,45,.,栏目,导引,该题是向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量,的“伪装”，找到三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求,解,第二章,解三角形,栏目,导引,第二章,解三角形,3.(1),在,ABC,中，,AB,a,，,AC,b,，,a,b,0,，,S,15,ABC,4,，,|,a,|,3,，,|,b,|,5,，则,BAC,等于,(,A,30,B,150,C,60,D,120,(2),在,ABC,中，,内角,A,，,B,，,C,的对边分别为,a,，,已知,BA,BC,2,，,cos,B,1,3,，,b,3,，求：,a,和,c,的值；,cos(,B,C,),的值,),b,，,c,，,且,a,c,，,栏目,导引,第二章,解三角形,解：,(1),选,B.,因为,AB,AC,0,，所以,BAC,为钝角，又,|,a,|,b,|sin,BAC,15,4,.,所以,sin,BAC,1,2,，所以,BAC,150,，,S,1,ABC,2,栏目,导引,第二章,解三角形,(2),由,BA,BC,2,得,c,a,cos,B,2.,又,cos,B,1,3,，所以,ac,6.,由余弦定理，得,a,2,c,2,b,2,2,ac,cos,B,又,b,3,，所以,a,2,c,2,9,2,6,1,3,13.,?,解,?,?,ac,6,，,?,?,a,2,，,?,?,a,3,，,?,?,a,2,c,2,13,，,得,?,?,或,?,?,c,3,?,?,c,2.,因为,a,c,，所以,a,3,，,c,2.,栏目,导引,第二章,解三角形,在,ABC,中，,?,1,?,2,2,sin,B,1,cos,2,B,1,?,2,?,3,?,?,3,，,由正弦定理，得,sin,C,c,2,2,2,4,2,b,sin,B,3,3,9,.,因为,a,b,c,，所以,C,为锐角，,因此,cos,C,1,sin,2,C,1,?,?,4,2,?,?,9,?,2,?,7,9,.,于是,cos(,B,C,),cos,B,cos,C,sin,B,sin,C,1,7,2,3,9,2,4,2,23,3,9,27,.,栏目,导引,第二章,解三角形,规范解答,(,本题满分,12,分,),在,ABC,中，角,A,，,B,，,C,所对应的边,分别为,a,，,b,，,c,，已知,cos,C,(cos,A,3sin,A,)cos,B,0.,(1),求角,B,的大小；,(2),若,a,c,1,，求,b,的取值范围,三角形中的范围问题,栏目,导引,第二章,解三角形,【解】,(1),由已知得,cos(,A,B,),cos,A,cos,B,3sin,A,cos,B,0,，即有,sin,A,sin,B,3sin,A,cos,B,0.,因为,sin,A,0,，所以,sin,B,3,cos,B,0.,又,cos,B,0,，所以,tan,B,3.,又,0,B,，所以,B,3,.,(2),由余弦定理，有,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,因为,a,c,1,，,cos,B,1,2,，有,b,2,3,?,?,1,?,2,1,?,a,2,?,?,4,.,又,0,a,1,，于是有,1,1,4,b,2,1,，即有,2,b,1.,(2,分,),(4,分,),(6,分,),(10,分,),(12,分,),栏目,导引,第二章,解三角形,(1),据三角形内角和定理把已知条件转化为角,B,的一个三角,函数是求,B,的关键,结合,(1),的结果，应用余弦定理把,b,表示成,a,的函数，根据,a,的范围求出,b,的范围是本题的难点,(2),在解决三角形问题时，注意挖掘题目中隐含的条件及边、角,范围同时要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变,形,栏目,导引,2,第二章,解三角形,1,在,ABC,中，,AB,8,，,BC,10,，,AC,13,，则,ABC,的形状,是,(,),A,锐角三角形,B,直角三角形,C,钝角三角形,D,非钝角三角形,2,2,2,8,10,13,1,解析：,选,C.,由余弦定理得,cos,B,0,，,所以,32,2,8,10,角,B,为钝角，故三角形为钝角三角形,栏目,导引,第二章,解三角形,2,在,ABC,中，已知,A,30,，,a,8,，,b,8,3,，则三角形的,面积为,(,),A,32,3,C,32,3,或,16,B,16,D,32,3,或,16,3,sin,B,sin,A,3,解析：选,D.,根据,b,a,，解得,sin,B,，则,B,60,或,2,1,120,.,当,B,60,时，,C,90,，,所以,S,ABC,ab,sin,C,32,3,；,2,1,当,B,120,时，,C,30,，所以,S,ABC,ab,sin,C,16,3.,2,栏目,导引,第二章,解三角形,3,在,ABC,中，内角,A,，,B,，,C,所对的边分别是,a,，,b,，,c,，已,知,8,b,5,c,，,C,2,B,，则,cos,C,_,解析：由,C,2,B,得,sin,C,sin 2,B,2sin,B,cos,B,，,由正弦定理及,8,b,5,c,得,cos,B,sin,C,c,4,2sin,B,2,b,5,，,所以,cos,C,cos 2,B,2cos,2,B,1,2,?,?,4,?,?,5,?,2,7,?,1,25,.,答案：,7,25,栏目,导引,第二章,解三角形,4,如图，在,3,BD,，,ABC,中，,D,是边,AC,上的点，且,BC,2,BD,，求,sin,C,的值,AB,AD,，,2,AB,栏目,导引,第二章,解三角形,解：设,AB,a,，所以,AD,a,，,BD,2,a,3,，,2,a,2,4,2,BC,2,BD,4,a,3,，,cos,A,AB,2,AD,2,BD,2,2,AB,AD,3,a,1,2,a,2,3,，,所以,sin,A,1,cos,2,A,2,2,3,.,由正弦定理知,sin,C,AB,3,2,2,6,BC,sin,A,4,3,6,.,栏目,导引,第二章,解三角形,按,ESC,键退出全屏播放,栏目,导引,本部分内容讲解结束,