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导数压轴题精选三、解答题：10已知函数、（，且），其中为常数如果函数是上的增函数，且函数存在零点（函数为函数的导函数）求实数的值；设、是函数的图象上两点，又（为的导函数），证明：10已知函数，且若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；若函数的图象在处的切线的斜率为，且，又已知，求证：；在的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由10定义：对于函数，若对于定义域内的任意恒成立，则称函数为上的函数判断函数是否为其定义域上的函数，并证明你的结论；若函数为上的函数，试比较与的大小；若函数为上的函数，求证：对于定义域内的任意正数、，均有成立10对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点如果函数有且仅有两个不动点、，且试求函数的单调区间；已知各项不为零的数列满足，求证：；设，为数列的前项和，求证：10设函数若，求函数的最大值；已知正数、满足，求证：；已知，正数满足，证明：（其中、）10已知正实数、满足，求证：；已知，其中，求证：10已知函数（、）求函数的最小值；证明不等式：，其中、；证明不等式：，其中、10已知函数的图象在点处的切线方程为用表示出、；（2010年湖北）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；证明不等式：11已知函数，求函数的最大值；设、均为正数，证明：若，则；若，则12已知函数，其中为有理数，且求的最小值；试用的结果证明如下命题：设、，、为正有理数若，则；请将中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式13设是正整数，为正有理数求函数的最小值；证明：；设，记为不小于的最小整数，例如：、令，求的值14已知函数（、），求函数的最大值；证明：，其中、，且、；证明：，其中、，且、导数压轴题精选三、解答题：10已知函数、（，且），其中为常数如果是上的增函数，且存在零点（为的导函数）求的值；设、是函数的图象上两点，（为的导函数），证明：解：因为，所以因为在区间上是增函数，所以在区间上恒成立若，则，于是恒成立又存在正零点，故，得或与矛盾所以由恒成立，又存在正零点，故，所以，即由，于是以下证明（）、（）等价于令，在上，所以在上为增函数当时，即，从而得到证明对于同理可证，所以评讲建议：此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识评讲时注意着重导数在研究函数中的应用本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点第二小题还可以这样证明：要证明，只要证明，令，作函数，下略10已知函数，且若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；若函数的图象在处的切线的斜率为，且，又已知，求证：；在的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由解：，要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当在内恒成立；当要使恒成立，则，解得，当恒成立，所以的取值范围为根据题意得：，于是，用数学归纳法证明如下：当，不等式成立；假设当时，不等式成立，即也成立，当时，所以当，不等式也成立，综上得对所有时，都有由得，于是，所以，累乘得：，所以10定义：对于函数，若对于定义域内的任意恒成立，则称函数为上的函数判断函数是否为其定义域上的函数，并证明你的结论；若函数为上的函数，试比较与的大小；若函数为上的函数，求证：对于定义域内的任意正数、，均有成立解：是构造函数，构造函数为上的增函数，因为，所以，得，即，同理、，将上述个不等式相加即得所证结论10对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点如果函数有且仅有两个不动点、，且试求函数的单调区间；已知各项不为零的数列满足，求证：；设，为数列的前项和，求证：解：设 由,又 ,.于是由得或； 由得或故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和由已知可得，当时，两式相减得，或当时，若，则这与矛盾，于是，待证不等式即为为此，我们考虑证明不等式令，则，再令，由知，当时，单调递增，于是，即，令，由知，当时，单调递增，于是，即由、可知,所以，即由可知，则，在中，令，并将各式相加得即10设函数若，求函数的最大值；已知正数、满足，求证：；已知，正数满足，证明：（其中、）解：在上单调递增、上单调递减构造函数，在上单调递增、上单调递减当、时结论显然成立；假设时结论成立，那么当时，由于，有，得，即，所以10已知正实数、满足，求证：；已知，其中，求证：解：令，当时，单调递减；当时，单调递增，所以令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以用数学归纳法证明，当时，由上可知结论成立；假设当时结论成立，那么当时，令，则，所以，所以，所以令，则，所以，所以，同理，相加得结论10已知函数（、）求函数的最小值；证明：，其中、；证明：，其中、解：，函数在上单调递减、在上单调递增，故由可知，令即可用数学归纳法当、时，结论明显成立；假设当时，结论成立，即，那么当时，即要证，令，那么，函数在上单调递减、在上单调递增，故，由归纳假设有，所以，所以，故当时，结论仍成立，由可知原命题正确10已知函数的图象在点处的切线方程为用表示出、；（2010年湖北）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；证明不等式：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想解： ，则有，解得由知，令，则，当 时，若 ，则，是减函数，所以，故在上恒不成立时，若，故当时，综上所述，所求的取值范围为解法一：分析：，猜想不等式成立由知：当时，有令，有，当时，令，有，即，所以有成立，取、，将上述个不等式一次相加得，整理得解法二：由知：当时，有令，有，当时，令，有，即，将上述个不等式一次相加得，整理得解法三：用数学归纳法证明当时，左边，右边，不等式成立假设时，不等式成立，就是那么由知：当时，有令，有令，得：就是说，当时，不等式也成立根据和，可知不等式对任何都成立11已知函数，求函数的最大值；（2011湖北）设、均为正数，证明：若，则；若，则12（本小题满分14分）（2012湖北）已知函数，其中为有理数，且求的最小值；试用的结果证明如下命题：设、，、为正有理数若，则；请将中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式解： ，令，解得当时，所以在内是减函数；当 时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值由知，当时，有，即若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.综上，对，为正有理数且，总有中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数若，则用数学归纳法证明如下：（1）当时，有，成立（2）假设当时，成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=因，由归纳假设可得，从而又因，由得，从而故当时，成立由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立说明：中如果推广形式中指出式对成立，则后续证明中不需讨论的情况13设是正整数，为正有理数（2013湖北）求函数的最小值；证明：；设，记为不小于的最小整数，例如：、令，求的值（参考数据：、）解：，在上单减、在上单增，由知：当时，（就是伯努利不等式了），所证不等式即为：，若，则，、，故式成立若，显然成立，、，故式成立综上可得原不等式成立由可知，当时，14已知函数（、），求函数的最大值；证明：，其中、，且、；证明：，其中、，且、解：由知，令、，得，又因为，且，得由知，令、则有将上述个不等式依次相加得，所以