圆中常见的辅助线.doc

圆中常见辅助线的做法一遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD证明:过O作OEAB于EO为圆心，OEABAE = BE CE = DEAC = BD练习：如图，AB为O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求O的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB是O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB,DNAB,求证： 证明：（一）连结OC、ODM、N分别是AO、BO的中点OM = AO、ON = BOOA = OB OM = ONCMOA、DNOB、OC = ODRtCOMRtDONCOA = DOB（二）连结AC、OC、OD、BDM、N分别是AO、BO的中点AC = OC BD = ODOC = OD AC = BD 3. 有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别是O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：AMN = CNM证明：连结OM、ONO为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点OMAB ONCDAB = CD OM = ONOMN = ONMAMN = 90oOMN CNM = 90oONMAMN =CNM4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知O1与O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交O1、O2于A、C、D、B.求证：AC = BD证明：过O1作O1MAB于M,过O2作O2NAB于N，则O1MO2NO1P = O2P O1M = O2N AC = BD二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD = CE证明：连结OCC为弧AB的中点 AOC =BOCD、E分别为OA、OB的中点，且AO = BOOD = OE = AO = BO又OC = OC ODCOEC CD = CE三. 有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例：如图，AB为O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交O于D，求证：AC = DC证明：连结ADAB为O的直径 ADP = 90o AC = PC AC = CD =AP例（2005年自贡市）如图2，P是O的弦CB延长线上一点，点A在O上，且。求证：PA是O的切线。 证明：作O的直径AD，连BD，则 即 即PA为O的切线。 四遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。练习：如图，在RtABC中，BCA = 90o ,以BC为直径的O交AB于E，D为AC中点，连结BD交O于F.求证：五.有等弧时常作辅助线有以下几种：作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆周角练习：1.如图，O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交O于M.求证：AMD =FMC(提示：连结BM)2.如图，ABC内接于O，D、E在BC边上，且BD = CE，1 =2，求证：AB = AC（提示如图）六.有弦中点时，常构造三角形中位线.例：已知，如图，在O中，ABCD，OEBC于E，求证：OE =AD证明：作直径CF，连结DF、BFCF为O的直径CDFD又CDABABDF AD = BFOEBC O为圆心 CO = FOCE = BE OE =BFOE =AD七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图，ABC内接于O，直线AD平分FAC，交O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC = AD·AE证明：连结BE1 =3 2 =13 =2四边形ACBE为圆内接四边形ACD =EABEADCAB·AC = AD·AE八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，O1与O2相交于A、B，过A的直线分别交O1、O2于C、D，过B的直线分别交O1、O2于E、F.求证：CEDF证明：连结AB四边形为圆内接四边形ABF =C 同理可证：ABE =DABF ABE = 180oCD = 180oCEDF九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例1：如图，P为O外一点，以OP为直径作圆交O于A、B两点，连结PA、PB.求证：PA、PB为O的切线证明：连结OA PO为直径PAO = 90o OAPAOA为O的半径PA为O的切线同理：PB也为O的切线例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线证明：连结OE，过O作OFCD于FOE为半径，AB为小圆的切线OEABOFCD, AB = CDOF = OECD为小圆的切线练习：如图，等腰ABC，以腰AB为直径作O交底边BC于P，PEAC于E,求证：PE是O的切线十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例：如图，在RtABC中，C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径的O切AC于E，求AD长.解：连结OE，则OEACBCAC OEBC在RtABC中，AB = OE = OB = BD = 2OB = AD = ABDB = 15= 答：AD的长为.练习：如图，O的半径OAOB，点P在OB的延长线上，连结AP交O于D，过D作O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD十一  遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。十二遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得：    内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；    内心到三角形三条边的距离相等。在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。十三遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。十四遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。 作用：利用切线的性质；    利用解直角三角形的有关知识。十五遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。 作用： 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。1. 作相交两圆的公共弦 利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。 例1. 如图1，O1和O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD/EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CEDF。图1 分析：CE和DF分别是O1和O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。 证明：连结AB 因为 又 所以 即CE/DF 又CD/EF 所以四边形CEFD为平行四边形 即CEDF 2.作两相交圆的连心线 利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。 例2. O1和O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。求的度数。图2 分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。 解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。 连结O1、O2，交AB于C，则。分别在和中，利用锐角三角函数可求得 故 当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3 则 综上可知或例2：已知，O1与O2交于A、B，O1的弦AC切O2于A，过B作直线交两圆于D、E。求证：DCAE。 分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得D=CAB, 由切线知CAB=E,即D=E即得证。练习：如图O1和O2都经过A、B两点。经过点A的直线CD与 O1交于点C，与 O2交于点D；经过点B的直线EF于 O1交于点E，与 O2交于点F。求证：CEDF.CDEMNGABO2O1F图 8例、如图8，在梯形ABCD中，以两腰AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。求证： MNAB。分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，必有MNO1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2/AB，从而易证MNAB。证明 连结O1O2交EF于G => MNO1O2。 DO1=O1A，CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位线 => O1O2/AB =>EFA=EGO1=Rt => MNAB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。十六 遇到两圆相切时 两个相切圆不离公切线常常作连心线、公切线。 作用：利用连心线性质； 弦切角性质； 切线性质等。例3. 如图4，O1和O2外切于点P，A是O1上的一点，直线AC切O2于C，交O1于B，直线AP交O2于D。求证PC平分。图4 分析：要证PC平分，即证 而的边分布在两个圆中，难以直接证明。 若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T 易知 由弦切角定理，得 又是的一个外角 所以 又 从而有 即PC平分例3:已知, O1和O2外切于A,直线BC切O1于B,切 O2于C。 求证：ABAC(人教版课本P87例4） 分析1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过A作两圆的公切线,则1=2, 3=4,又1+2+3+4=180,则2+3=90即ABAC。分析2： 口诀“两圆三圆连心线”，连结O1O2、O1B、O2C,则点A在O1O2上,易知O1BO2C,显然1+2=90,故ABAC1.相切两圆常添公切线作辅助线.例2 如图2,已知O1、O2外切于点P，A是O1上一点，直线AC切O2于点C，交O1一点B，直线AP交O2于点D .(1)求证:PC平分BPD;(2)将“O1与O2外切于点P”改为“O1、O2内切于点P”，其它条件不变，中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论(武汉市中考题）.ADQO2O1CB图2ADPO1CB图3MP 证明:(1)过P点作两圆公切线PQ QPC=PCQ,QPB=A, CPD=A+QCP，CPD=CPB, 即PC平分BPD(2)上述结论仍然成立.如图3,过点P作两圆公切线PM,则MPB=A.BPC=MPCMPB=BCPA=CPA, PC平分BPD.说明:作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角.2、遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线常常作每两个圆的连心线。 作用：可利用连心线性质。3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线例3 如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是_(辽宁省中考题).解:连O1O2、O2O3、O3O1，过O1作AO1O2O3交O1于A，交O2O3于B图4AO1O2O3BO1、O2、O3是等圆, O1O2O3是等边三角形. 说明:三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题. 十七遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。 作用：以便利用圆的性质。 过小圆圆心作大圆半径的垂线 有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。 例5. 如图6，O1与O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切O1、O2于点C、D、B、A，且其夹角为，求两圆的半径。图6 分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作，构造，下面很容易求出结果。十八相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径PAQBO2O1.图 10例10 如图10，O1与O2相交于A、B两点，且O2在O1上，点P在O1上，点Q在O2上，若APB=40°，求AQB的度数。分析 连结O2A、O2B，在O1中利用圆内接四边形性质求得AO2B=140°，在O2中，AQB=1/2AO2B=70°。切点三角形是直角三角形的应用.例4 如图5,O1与O2外切于点C, O1与O2连心线与公切线交于P,外公切线与两圆切点分别为A、B,且A=4,BC=5.PAQBO1O2C12图5(1)求线段AB长；(2)证明：PC2=PAPB.(2002年杭州市中考题)解：(1)过C作两圆公切线CQ,交AB于QQA=QC=QB=AB ACB=90°AC=4 BC=5 AB=(2)ACB=90° PCA+1=90°,PBC+2=90°,从而PCA=PBC. P=P, PCAPBC PC2=PAPB说明:A、B、C为切点，故有切点三角形为直三角形的重要结论，应用此结论解题能到事半功倍效果. 辅助线，莫乱添，规律方法记心间；弦和弦心距，亲密紧相连；切点与圆心连线要领先；两个相交圆不离公共弦；两个相切圆不离公切线；两圆三圆连心线，四点是否有共圆； 直角相对或共弦，应当想想辅助圆；要证直线是切线，还看是否有共点；直线和圆有共点，连出半径辅助线；直线和圆无共点，得过圆心作垂线；若遇直径想直角，灵活运用才方便。