《高等数学》-第四章-不定积分课件.ppt

2023年3月24日星期五,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2023年3月24日星期五,2,微分法:,积分法:,互逆运算,第四章 不定积分,（Indefinite Integrals）,2023年3月24日星期五,3,主 要 内 容,第一节 不定积分的概念与性质,第二节 换元积分法,第三节 分部积分法,第四节 几种特殊类型函数的积分,第五节 积分表的使用,2023年3月24日星期五,4,第一节 不定积分的概念与性质,第四章,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）,三、不定积分的性质,四、小结与思考题,2023年3月24日星期五,5,一、原函数与不定积分的概念,(Primitive Function and the Indefinite Integral),定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x),满足,在区间 I 上的一个原函数.,则称 F(x)为f(x),例如,的原函数有,问 题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,2023年3月24日星期五,6,定理1（原函数存在定理）,存在原函数.,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,2023年3月24日星期五,7,原函数都在函数族,(C 为任意常数)内.,证:1),又知,故,即,属于函数族,即,定理 2,2023年3月24日星期五,8,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,若,则,(C 为任意常数),C 称为积分常数不可丢!,例如,记作,定义 2,2023年3月24日星期五,9,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线.,不定积分的几何意义:,2023年3月24日星期五,10,二、基本积分表,从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,(k 为常数),2023年3月24日星期五,11,或,或,2023年3月24日星期五,12,2023年3月24日星期五,13,解:原式=,例2（补充题）求,解:原式=,例1（课本 例5）求,2023年3月24日星期五,14,三、不定积分的性质,(Properties of the Indefinite Integral),推论:若,则,2023年3月24日星期五,15,解:原式=,例3（补充题）求,2023年3月24日星期五,16,解:原式=,例5（课本 例8）求,解:原式=,例4（补充题）求,2023年3月24日星期五,17,解：,2023年3月24日星期五,18,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,2023年3月24日星期五,19,课后练习,习题4-1 1（偶数题）；3,思考与练习,1.若,提示:,2023年3月24日星期五,20,是,的原函数,则,提示:,已知,2.若,2023年3月24日星期五,21,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,3.若,2023年3月24日星期五,22,提示:,4.求下列积分:,2023年3月24日星期五,23,解：,5.求不定积分,2023年3月24日星期五,24,求 A,B.,解:等式两边对 x 求导,得,6.已知,2023年3月24日星期五,25,复习引入,(Introduction),在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”,给出了“基本积分公式表”。,但是，,对于形如,这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表,我们就无能为力了。,为此，,2023年3月24日星期五,26,第二节 换元积分法(1),第四章,一、第一类换元积分法,二、第二类换元积分法,（Integration by Substitution）,三、小结与思考题,2023年3月24日星期五,27,第二类换元法,第一类换元法,设,可导,则有,基本思路,2023年3月24日星期五,28,一、第一类换元积分法,定理1,则有换元,公式,(也称配元法,凑微分法),2023年3月24日星期五,29,提示：令,例1 求,例2 求,提示：令,例3（补充题）求,解:令,则,故,原式=,2023年3月24日星期五,30,例4 求,答案：,例5 求,例6 求,答案：,例7（补充题）求,解:,例8（课本 例7）求,答案：,2023年3月24日星期五,31,万能凑幂法,常用的几种配元形式:,2023年3月24日星期五,32,解:原式=,例9（补充题）求,2023年3月24日星期五,33,解:原式=,例11（补充题）求,解:原式=,例10（补充题）求,自学课本例1819,2023年3月24日星期五,34,解法1,解法2,两法结果一样,例12（补充题）求,2023年3月24日星期五,35,解法1,例13（课本 例14）求,（与课本解法不一样）,2023年3月24日星期五,36,同样可证,或,(课本 例13),解法 2,2023年3月24日星期五,37,解:原式=,例14（补充题）求,2023年3月24日星期五,38,解:,例15（补充题）求,2023年3月24日星期五,39,解:,原式=,例16（补充题）求,2023年3月24日星期五,40,解:原式=,分析:,例17（补充题）求,2023年3月24日星期五,41,内容小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,2023年3月24日星期五,42,课后练习,习题4-2 1；2（1）（18）,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,2023年3月24日星期五,43,提示:,法1,法2,法3,2.求,2023年3月24日星期五,44,解:原式,3.求,2023年3月24日星期五,45,4.求下列积分:,2023年3月24日星期五,46,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,5.,2023年3月24日星期五,47,第二节 换元积分法(2),第四章,一、第一类换元积分法,二、第二类换元积分法,（Integration by Substitution）,三、小结与思考题,2023年3月24日星期五,48,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则用第二类换元积分法.,难求，,2023年3月24日星期五,49,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,则有换元公式,定理2 设,2023年3月24日星期五,50,解:令,则,原式,例1（课本 例21）求,2023年3月24日星期五,51,解:令,则,原式,例2（课本 例22）求,2023年3月24日星期五,52,解:,令,则,原式,例3（课本 例23）求,2023年3月24日星期五,53,令,于是,2023年3月24日星期五,54,被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换：,消去根式,所得结果一致.,例如，,或,或,三角代换外,还可利用公式：,说明:,中,令,2023年3月24日星期五,55,原式,解:令,则,原式,当 x 0 时,类似可得同样结果.,例4（补充题）求,2023年3月24日星期五,56,例5（补充题）求,令,解：,2023年3月24日星期五,57,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,小结:,2023年3月24日星期五,58,(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,2.常用基本积分公式的补充,2023年3月24日星期五,59,2023年3月24日星期五,60,解:原式,(补充公式(20),例7（补充题）求,解:,(补充 公式(23),例6（课本 例25）求,2023年3月24日星期五,61,解:原式=,(补充公式(22),例9（补充题）求,解:原式,(补充公式(22),例8（课本 例27）求,2023年3月24日星期五,62,课后练习,习题4-2 2（19）（22）,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,2023年3月24日星期五,63,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),2.已知,2023年3月24日星期五,64,3.求不定积分,分子分母同除以,解:,令,原式,2023年3月24日星期五,65,新课引入,(Introduction),在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了,“换元积分法”。,但是，,对于形如,的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。,这就启发我们把两个,这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,2023年3月24日星期五,66,积分得:,分部积分公式,或,1)v 容易求得;,容易计算.,由导数乘法公式：,2023年3月24日星期五,67,第三节 分部积分法,第四章,（Integration by Parts）,例1 求,解:令,则,原式,另解:令,则,原式,2023年3月24日星期五,68,解:令,则,原式=,例2 求,（课本 例3）,2023年3月24日星期五,69,解:令,则,原式,例3 求,（课本例4）,2023年3月24日星期五,70,解:令,则,原式,再令,则,故 原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,例4 求,（课本例7）,2023年3月24日星期五,71,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例5（补充题）求,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,解题技巧:,（自学课本例56）,2023年3月24日星期五,72,解:令,则,原式=,例6（补充题）求,2023年3月24日星期五,73,解:令,则,原式,令,例7（课本 例10）求,2023年3月24日星期五,74,解:令,则,得递推公式,例8 求,（课本 例9）,2023年3月24日星期五,75,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,说明:,2023年3月24日星期五,76,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C),例4,3)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.,说明:,2023年3月24日星期五,77,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,例9 已知,（补充题）,2023年3月24日星期五,78,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,例10 求,（补充题）,2023年3月24日星期五,79,解法2 用分部积分法,2023年3月24日星期五,80,本节小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,2023年3月24日星期五,81,课后练习,习题4-3（偶数题）,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得 0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.,求此积分的正确作法是用换元法.,2023年3月24日星期五,82,2.求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,2023年3月24日星期五,83,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,2023年3月24日星期五,84,3.,求,解:,令,则,2023年3月24日星期五,85,4.证明递推公式,证：,注：,或,2023年3月24日星期五,86,第四节 几种特殊类型函数的积分,第四章,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,（见本节第一段）,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,本节内容:,（Integration of several kinds of Special Functions）,2023年3月24日星期五,87,一、有理函数的积分,(Integration of Rational Function),两个多项式的商表示的函数.,有理函数的定义：,2023年3月24日星期五,88,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例如，我们可将,化为多项式与真分式之和,2023年3月24日星期五,89,2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和,最简分式是下面两种形式的分式,2023年3月24日星期五,90,（1）分母中若有因式，则分解后为,3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：,2023年3月24日星期五,91,为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法,例1,2023年3月24日星期五,92,例2,通分以后比较分子得：,2023年3月24日星期五,93,我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到,2023年3月24日星期五,94,例3,整理得,2023年3月24日星期五,95,例4 求积分,解：,例2,2023年3月24日星期五,96,例5 求积分,解：,例3,2023年3月24日星期五,97,解:原式,思考:如何求,提示:,变形方法同例6,并利用 第三节 例9.,例6 求,2023年3月24日星期五,98,注意：,有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：,多项式；,主要讨论（3）积分,2023年3月24日星期五,99,其中,并记,令,2023年3月24日星期五,100,第三节 例9,结论：,有理函数的原函数都是初等函数.,2023年3月24日星期五,101,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例7（补充题）求,2023年3月24日星期五,102,解:原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,例8（补充题）求,点击看“常规解法”,2023年3月24日星期五,103,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,按常规方法解:,2023年3月24日星期五,104,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,2023年3月24日星期五,105,2023年3月24日星期五,106,2023年3月24日星期五,107,例9（课本例5）求,解：令,则,2023年3月24日星期五,108,例10（补充题）求,解：,一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。,由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。,2023年3月24日星期五,109,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,例11（1987.III)求,2023年3月24日星期五,110,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,2.简单无理函数的积分,2023年3月24日星期五,111,解:令,则,原式,例12（课本 例7）求,2023年3月24日星期五,112,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,例13 求,（自学课本 例8）,2023年3月24日星期五,113,解:令,则,原式,例14 求,（自学课本 例9）,2023年3月24日星期五,114,本节小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,2023年3月24日星期五,115,课后练习,习题4-4 奇数题,思考与练习,1.如何求下列积分更简便?,解:（1）,（2）原式,2023年3月24日星期五,116,解法 1,令,原式,2.求,2023年3月24日星期五,117,解法 2,令,原式,2.求,2023年3月24日星期五,118,解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,原式,3.求,2023年3月24日星期五,119,第五节 积分表的使用,第四章,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表,以备查用.,见课本附录.,积分表的结构:按被积函数类型排列,积分表的使用:,1)注意公式的条件,2)注意简单变形的技巧,的效率,注:很多不定积分也可通过 Mathematica,Maple,等数学软件的符号演算功能求得.,2023年3月24日星期五,120,2023年3月24日星期五,121,2023年3月24日星期五,122,2023年3月24日星期五,123,2023年3月24日星期五,124,本节小结,