第四章-随机变量及其分布课件.ppt

第四章 随机变量及其分布,随机变量及分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量,1,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量,概率论与数理统计是从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性的一门学科,为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念.,2,谢谢观赏,2019-5-22,随机变量,基本思想,将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果,有些随机试验的结果可直接用数值来表示.,例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示,例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的,可规定:用 1表示“正面朝上”用 0 表示“反面朝上”,Random Variable,有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化,3,谢谢观赏,2019-5-22,例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。,取球结果为:两个白球;两个红球;一红一白,特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系,如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。此时，“两只红球”=“X取到值2”,可记为 X=2“一红一白”记为 X=1,“两只白球”记为 X=0,试验结果的数量化,4,谢谢观赏,2019-5-22,随机变量的定义,1)它是一个变量；2)它的取值随试验结果而改变；3)随机变量在某一范围内取值，表示一个随机 事件。,随机变量,随机变量的特征:,设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间上的随机变量。,5,谢谢观赏,2019-5-22,注：随机变量X()与高等数学中的实函数的区别：,X()的定义域是样本空间，而 不一定,是实数集；,X()的取值是随机的，它的每一个可能取值,随机变量是随机事件的数量化.即对于任意,实数 x,X()x 是随机事件.,都有一定的概率；,对于随机变量,我们常常关心它的取值.,6,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数随机变量,特点：1.X 的全部可能取值是互斥且完备的 2.X 的部分可能取值描述随机事件 分类：随机变量,7,谢谢观赏,2019-5-22,例:考察掷两次硬币这一试验，样本空间为S=HH，HT，TH，TT，令X表示正面出现的次数，X是一随机变量，且有X1HT，TH，值域 Rx=0，1，2例:假设我们关心某地区居民的身高情况，可引入 随机变量X：(单位cm)X随机抽出一个人其身高 则X就是随机变量，事件“随机抽出一个人的身高不超过170cm”可表示为X170。,4.1 随机变量及分布函数随机变量,8,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量,例 从一批量为N、次品率为p的产品中，不放回抽取 n（nNp）个，观察此样品中的次品数.,此时观察对象为样品的次品数，我们记之为 Y，那么 Y 的可能的取值为 0，1，2,n.,引入随机变量后，就可以用随机变量表示随机试验下的各种形式的随机事件,比如本例中：,A=没有次品,A=|Y()=0,A=Y=0,B=至少有2个次品,B=|Y()2,B=Y2,C=不多于k个次品,C=|Y()k,C=Yk,9,谢谢观赏,2019-5-22,例:某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标X是一随机变量，其纵坐标Y也是随机变量。例:一批产品共100件，其中95件合格，5件不合格。从中有放回地一件一件地取产品，直到取出一件合格品为止时所取出的产品件数X是一随机变量。例:一个月某交通路口的事故数X,是随机变量。例:用天平称量某物体的重量的误差X，是随机变量。,4.1 随机变量及分布函数随机变量,10,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,如果我们对随机事件X()x 求概率,就引出,了随机变量分布函数的概念.,1.分布函数的定义,设 X 是一个随机变量，称定义域为(-,+),函数值在区间0,1上的实值函数,F(x)=P(Xx)(-x+),为随机变量 X 的分布函数.,11,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,例 设一口袋中依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球，从中任取1个球，记X为取得的球上标有的数字，求X的分布函数.,当 x-1时，,解：X 的可能取值为-1，2，3，取这些值的概率分别为 1/6，1/2，1/3,Xx是不可能事件，,F(x)=0;,当-1x2时，,Xx等同于X=-1，,F(x)=1/6;,当 2x3时，,Xx等同于X=-1或X=2，,F(x)=2/3;,当 x3时，,Xx是必然事件，,F(x)=1;,12,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,13,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,由此题可以看出,一般地，若X为离散型随机变量，其概率分布P(X=xk)=Pk(k=1,2,3)则X的分布函数为,14,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,注1：（1）由分布函数的定义知，分布函数F(x)在x处的函数值是事件F(x)=PXx=P(e|X(e)x的概率。若把X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值，就是表示X落在区间-,x上的概率。（2）若已知x 的分布函数F(x)，我们就知道了X落在任一区间的概率，从这个意义上讲，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。,（3）分布函数是在(-,+)上值域为 0，1的普通函数，它具有良好的分析性质，许多概率论的问题归结为函数的运算从而利用数字分析出许多结果，这是引入分布函数的好处之一，再加上分布函数对任意随机变量都有定义，因此分布函数在理论上有极重要的地位。,15,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,注2：（1）随机变量X是一个从样本空间到实数空间的函数，它的定义域为样本空间。它的值域Rx为全体实数集或它的一个子集。（2）从随机变量的定义来看，它与通常的函数概念没有什么不同，把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前，我们不能预知它取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验完成后，它的取值就确定了。,16,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,2.分布函数的性质,17,谢谢观赏,2019-5-22,(1)由于对于任意的,为一概率,根据概率公理化定义,有,证,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,18,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,19,谢谢观赏,2019-5-22,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,20,谢谢观赏,2019-5-22,重要公式,4.1 随机变量及分布函数 随机变量的分布函数,21,谢谢观赏,2019-5-22,重要公式,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,22,谢谢观赏,2019-5-22,问一问,是不是某一随机变量的分布函数？,不是,因为,23,谢谢观赏,2019-5-22,解：,24,谢谢观赏,2019-5-22,例 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设击中都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量X的分布函数。解:若 x0,则Xx是不可能事件，于是 F(x)=PXx=0 若0 x2，由题意，P0Xx=kx2,k是某一常数，为了确定k的值，取x=2，有 P0X2=22k，但已知P0X2=1，故得k=1/4，即P0Xx=x2/4，于是 F(x)=PXx=Px0+P0Xx=x2/4,25,谢谢观赏,2019-5-22,若x2，由题意Xx是必然事件，于是 F(x)=1 综合上述，即得X的分布函数为,它的图形是一条连续的曲线，如图,26,谢谢观赏,2019-5-22,设连续型随机变量 X 的分布函数为:,求:(1)常系数 A及B;,(2)随机变量 X 落在(-1,1)内的概率.,解,(1)根据分布函数的性质可知,依题意可得,练习1,27,谢谢观赏,2019-5-22,联立上面两个方程可以解得,(2)随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为,28,谢谢观赏,2019-5-22,练习2,抛掷均匀硬币,求随机变量X的分布函数.,解,29,谢谢观赏,2019-5-22,30,谢谢观赏,2019-5-22,1离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离散型随机变量。,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,定义 设X为离散型随机变量，X的所有可能取的值为xk(k=1，2)，记 X 取 xk 的概率为 PX=xk=pk(k=1，2，)，则称下面一组等式 PX=xk=pk(k=1，2，)为X的分布律。probability distribution,2离散型随机变量的分布律,31,谢谢观赏,2019-5-22,（1）分布律可以用表格的形式表示：xn一般从小到大排列。,（2）分布律可以用图形表示,分布律的表示方法：,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,32,谢谢观赏,2019-5-22,分布律具有以下性质:,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,证明:设离散型随机变量X的取值为x1,xn,则事件组X=x1，X=xn，构成了 的一个划分。,33,谢谢观赏,2019-5-22,例：设离散型随机变量X的分布律为,P(X=i)=pi(i=1,2,n),其中，0p1,求 p的值.,解：由分布律的性质,得,所以,P=1/2,34,谢谢观赏,2019-5-22,从而,试求待定系数a,P(X3).,例：已知随机变量X的分布律为,即可求得 a=1/6,解:由分布律的性质可知,35,谢谢观赏,2019-5-22,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：设一离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk(k=1，2，)由概率的可列可加性可得X的分布函数为,这里的和式是所有满足xkx的k求和的。分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其跃跳值为pk=Px=xk。,分布律与分布函数的关系,36,谢谢观赏,2019-5-22,已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的 概率。例如，求事件XB（B为实轴上的一个区间）的概率P XB时，只需将属于B的X的可能取值找出来，把X取这些值的概率相加，即可得概率P XB，即,因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概率分布情况。,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,37,谢谢观赏,2019-5-22,例袋中5个球，分别编号15，从中同时取出3个，以X 表示取出球的最小编号，求X 的分布律与分布函数,解：PX=1=C24/C35=3/5,PX=2=C23/C35=3/10,PX=3=1/C35=1/10,X 的分布律为,38,谢谢观赏,2019-5-22,下面求 X 的分布函数,当 x1时，,Xx是不可能事件，,F(x)=0;,当 1x2时，,Xx等同于X=1，,F(x)=3/5;,当 2x3时，,Xx等同于X=1或X=2，,F(x)=9/10;,当 x3时，,Xx是必然事件，,F(x)=1;,综合得,39,谢谢观赏,2019-5-22,设一离散型随机变量X的分布函数为F(x)，并设F(x)的所有间断为x1,x2,，那么，X的分布律为,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：,步骤:取定值,算概率,验证”1”,40,谢谢观赏,2019-5-22,已知,求X的分布律.,P(X=1)=P(X1)=F(1)=3/5,P(X=2)=P(1X2)=F(2)-F(1)=9/10-3/5=3/10,P(X=3)=P(2X3)=F(3)-F(2)=1-9/10=1/10,因此 X 的分布律为,41,谢谢观赏,2019-5-22,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布（01）分布,1.（01）分布：设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为 PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1.(0p1)则称X服从（01）分布,记为X（01）分布。（01）分布的分布律用表格表示为：,易求得其分布函数为：,42,谢谢观赏,2019-5-22,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布（01）分布,注：一般在随机试验中虽然结果可以很多，但如果只关注具有某种性质的结果，则可将样本空间重新划分为：A 与，A 出现时，定义X=1；出现时，定义X=0，此时X服从 0-1分布.,43,谢谢观赏,2019-5-22,0.3,0.7,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布（01）分布,44,谢谢观赏,2019-5-22,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布（01）分布,0.6+0.3,0.1,45,谢谢观赏,2019-5-22,2.二项分布：定义：若离散型随机变量X的分布律为,其中0p1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为XB(n,p).,即X服从二项分布。,(1)试验模型：在n重贝努利试验中，若以X表示事件A出现的次数，则X是一随机变量，X可能取的值为0,1,2,，n,由二项概率公式可得X的分布律为,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,46,谢谢观赏,2019-5-22,（2）因为，其中 恰为二项式 的一般项，故称为二项分布。,（3）当n=1时，二项分布为（01）分布，即 XB(,p)。,（4）二项分布的分布律为：,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,47,谢谢观赏,2019-5-22,二项分布的取值情况,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,XB(8,1/3),X 的分布律为,48,谢谢观赏,2019-5-22,二项分布的取值情况,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,XB(20,0.2),X 的分布律为,49,谢谢观赏,2019-5-22,使PX=k取得最大值的 k 称为分布的最可能值.,二项分布的最可能值,二项分布的最可能值(或最可能成功次数)为,若(n+1)p不是整数,若(n+1)p是整数,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,50,谢谢观赏,2019-5-22,例：从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/4，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律及至多遇到一次红灯的概率.,解：X 服从参数为 3，1/4 的二项分布 B(3,1/4),4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,其分布律为,即,至多遇到一次红灯的概率为,P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=27/32,51,谢谢观赏,2019-5-22,例：已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01，并设各个螺丝钉是否为次品是相互独立的.这家公司将每10个螺丝钉包成一包出售，并保证若发现某包内多于一个次品则可退款.问卖出的某包螺丝钉将被退回的概率有多大?,解：X 服从参数为 10，0.01的二项分布 B(10,0.01),4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,当X1时,这包螺丝钉将被退回,52,谢谢观赏,2019-5-22,例：设某保险公司的某人寿保险种有1000人投保,每个人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率.,解：X 服从参数为1000，0.005的二项分布 B(1000,0.005),4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,直接计算很繁，下面介绍possion定理。,53,谢谢观赏,2019-5-22,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布,泊松定理：设0是一常数，n是任意正整数，设npn=,则对于任一固定的非负整数k，有,证明：由pn=/n有,对于任意固定的k，当n时,54,谢谢观赏,2019-5-22,意义：定理的条件npn=（常数）意味着当n很大时，pn必定很小。因此，上述定理表明当n很大、p很小时有以下近似式,其中=np,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布,55,谢谢观赏,2019-5-22,3.泊松分布：泊松分布是1837年法国数学家泊(PoisoonS.D.1781-1840)首次提出的(1)设离散型随机变量X的分布律为,其中0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()。,显然,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,56,谢谢观赏,2019-5-22,(2)泊松分布背景：例如，在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数、一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的粒子数等都服从泊松分布，泊松分布也是概率论中的一种重要分布。,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,57,谢谢观赏,2019-5-22,例1 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.,解：设 X 服从参数为的泊松分布,由题意知,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,P(X=0)=P(X=1),即,解得,=1,因此,至少有两辆车通过的概率为,58,谢谢观赏,2019-5-22,例 有300台机器，工作相互独立。发生故障概率为0.01,通常，一台机器的故障可由一人来修理(一人修一台),问至少需要多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时修理的概率小于0.01.,解：设需要配备修理工人数为N个，设备同时发生故障的台数为X台，由题知求最小的N为多少，即 PXN0.01.因为XB(300,0.01)，由于n很大，p很小,故用泊松分布近似,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,59,谢谢观赏,2019-5-22,查表可得：,N+1=k9=N=8（最小的）,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,60,谢谢观赏,2019-5-22,例 有80台机器，工作相互独立。发生故障概率为0.01,通常，一台机器的故障可由一人来修理.（1）由四个人负责维修，每人20台设备,求设备发生故障，而不能及时修理的概率；（2）又若由三个人共同负责维修80台，求设备及时修理的概率。,解：（1）设X为发生故障的机器数,XB(20，0.01)X取值为0,1,2,20.因为一人只能修一台机器，故所求概率为：,61,谢谢观赏,2019-5-22,（2）设X为发生故障的机器数，XB(80，0.01)X取值：0，1，2，80。,结论：（1）（2），说明尽管情况2任务重了（一个人修27台），但工作质量提高了，也说明，概率方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更有效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。,62,谢谢观赏,2019-5-22,超几何分布(Super geometry distribution),设一批产品共有N个，其中有M个次品，现从中任取 个，令,上述分布称为超几何分布，记做XH(n,N,M),则X的分布律为,X=“取出的n个产品中包含的次品数”,63,谢谢观赏,2019-5-22,几何分布(Geometry distribution),在Bernoulli试验序列中，设每次试验中事件A发生的概率都为 P，令 X=“事件A首次出现时的实验次数”则随机变量X的可能取值有，其分布为称X服从几何分布，记作 xGe(p),64,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,例：设随机变量X的分布函数为,则可将F(x)表示为f 的含变动上限x的积分，即,当x0时,当0 x1时,当1x时,65,谢谢观赏,2019-5-22,1.定义：如果随机变量X的分布函数为F(x)对于每一x可以表示为,其中 f(x)0,则称X为连续型随机变量，函数f(x)为随机变量X的概率密度函数，简称为密度函数.,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,66,谢谢观赏,2019-5-22,2.连续型随机变量的分布函数F(x)性质(1).连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。(2).对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即PX=a=0。事实上，设X的分布函数为F(x)，则PX=a=F(a)-F(a-0)而F(x)为连续函数，所以有F(a-0)=F(a)，即得：PX=a=0.这里PX=a=0，而事件X=a并非不可能事件。就是说，若A是不可能事件,则有P(A)=0；反之，若P(A)=0，A并不一定是不可能事件。,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,67,谢谢观赏,2019-5-22,（3）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有 PaXb=PaX b=Pa X b=PaXb,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,68,谢谢观赏,2019-5-22,3.密度函数f(x)的性质：,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,(1).,(2).,反之，满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。几何意义：曲线y=f(x)与x 轴之间的面积等于1,69,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,(3).,几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率Px1Xx2等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积,(4).若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x)。,这是因为，当f(x)连续时，F(x)可导，所以在f(x)的连续点处，F(x)=f(x).,(5).概率密度f(x)的物理意义 由性质4 在f(x)的连续点x处有,70,谢谢观赏,2019-5-22,4概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系：(1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为,(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F(x).,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。,71,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,例1:设随机变量X具有概率密度,求:(1)常数c的值；(2)P(-1X1).,解:(1)由于,，解得 c=3/8.,(2)P(-1X1)=,72,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,例2:确定常数A，B使得函数,为连续型随机变量X的分布函数，并求出X的概率密度及概率P-1X2。,解:由分布函数的性质知,所以 B=1.又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2,73,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,于是X分布函数为：,74,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，其中a,b为两个参数,且ab,记为 XR(a，b).若XR(a，b)，则容易计算出X的分布函数为,1均匀分布 设连续随机变量X的密度函数为,75,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,f(x)及F(x)的图形分别如下:,76,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,例1:某公共汽车站从上午7时起,每隔15min来一趟车,一乘客在7：00到7：30之间随机到达该车站，求(1)该乘客等候不到5min乘上车的概率;(2)该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率.,解:设乘客于上午7点过X分到达该车站，则X服从区间(0,30)上的均匀分布,X的密度函数为,(1),(2),77,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,例2:设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧1100欧。求R的概率密度及R落在950欧1050欧的概率。解:按题意，R的概率密度为,故有,78,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,注(1).均匀分布的特性：若XR(a，b)，对于任意的区间(c，c+l)(a，b)，则,就是说在同样长的子区间内概率是相同的，这个概率只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位置。(2).我们现在把一个区间a，b上随机地选取一个点P的直观概念加以精确化。简单地说就是所选取的点P的坐标X在a，b上是均匀分布的。,79,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 指数分布,2.指数分布 如果连续型随机变量X的密度函数为,其中o为常数，则称X服从参数为的指数分布,记为 XE().服从指数分布的随机变量X的分布函数为,80,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 指数分布,f(x)及F(x)的图形,81,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 指数分布,例：设打一次电话所用的时间(单位:min)服从参数为0.2的指数分布,如果有人刚好在你前面走进公用电话间并开始打电话(假定公用电话间只有一部电话机可供通话),试求你将等待(1)超过5分钟的概率,(2)5分钟到10分钟之间的概率.,解:,令X表示电话间中那个人打电话所占用的时间,X服从参数为0.2的指数分布,X的密度函数为,(1),(2),82,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,验证f(x)是一个合理的概率密度函数:显然，f(x)0；下面验证,3.正态分布（1）定义1：设随机变量X的概率密度为,其中，（0）为常数，则称X服从参数为,2的正态分布,记为XN(,2).,83,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,对于积分，作代换，则,因为,所以,84,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,(2)正态密度函数f(x)的几何特征 因为,得：驻点：x=,为函数的极大值点；拐点：x=.作图如下,85,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,所以曲线关于x=对称，这表明对于任意ho，有 P-hX=PX+h；当x=时取到最大值,X离越远，f(x)的值越小，表明对于同样长度的 区间，当区间离越远，X落这个区间上的概率越 小。,在x=处曲线有拐点，又由于，所以曲线以x轴为水平渐近线。,86,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,如果固定，改变的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数所确定，称为位置参数。如果固定，改变，由于最大值，可知当越小时图形变得越尖，因而X落在附近的概率越大。,87,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,(3).正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算 若XN(0，1)，则概率密度，X N（0，1）分布称为标准正态分布。如图:,X的分布函数为：,88,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,一般的，通过查表求得.,常用性质:A.对于任意实数x，有(x)+(-x)=1.,一般正态分布的概率计算 若XN(，2)，则X的分布函数为：,89,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,对此积分作代换 s=(t-)/，则,因此计算F(x)时化为求,可查表求得.,一般的，,90,谢谢观赏,2019-5-22,一般正态分布的区间概率,。,。,。,91,谢谢观赏,2019-5-22,设XN（1，4），求 P(0X1.6),解,例,92,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,例：,设X服从N(0,1).借助于标准正态分布的分布函数表计算,(1)P(X2.35);(2)P(X-1.24);(3)P(|X|1.54);,解:,(1)P(X2.35)=(2.35)=0.9906,(2)P(X-1.24)=(-1.24)=1-(1.24)=1-0.8925=0.1075,(3)P(|X|1.54)=P(-1.54X1.54)=(1.54)-(-1.54)=(1.54)-1-(1.54)=2(1.54)-1=20.9382-1=0.8764,93,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,例：,设Y服从N(1.5,4),计算,(1)P(Y3.5);(2)P(Y-4);(3)P(Y2);(4)P(|Y|3).,解:,(1)P(Y3.5)=(3.5-1.5)/2)=(1)=0.8413,(2)P(Y-4)=(-4-1.5)/2)=(-2.75)=1-(2.75)=1-0.9970=0.0030,(4)P(|Y|3)=P(-3Y3)=(3-1.5)/2)-(-3-1.5)/2)=(0.75)-(-2.25)=(0.75)-1-(2.25)=0.7734-(1-0.9878)=0.7612,(3)P(Y2)=1-(2-1.5)/2)=1-(0.25)=1-0.5987=0.4013,94,谢谢观赏,2019-5-22,正态分布的实际应用,分析,然后根据录取率或者分数线确定能否录取,95,谢谢观赏,2019-5-22,解 成绩X服从,录取率为,可得,得,查表得,96,谢谢观赏,2019-5-22,解,查表得,.,解得,故,设录取的最低分为,则应有,某人78分，可被录取。,97,谢谢观赏,2019-5-22,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,例：,某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)X服从N(72,2),且96分以上的考生占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在6080分之间的概率.,解:,=72,2味知,但可由P(X96)=0.023求得,P(X96)=1-(96-72)/)=0.023,P(60X80)=(84-72)/12)-(60-72)/12)=(1)-(-1)=2(1)-1=20.8413-1=0.6826,=12,因此,(24/)=0.977,查表得,24/=2,98,谢谢观赏,2019-5-22,