第三章趋势外推法课件.ppt

1,第3章 趋势外推预测法,基本思想拟合直线法曲线趋势外推法,3/72,某商场某种商品过去9个月的销量,某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料,4/72,5/72,某商场某种商品过去9个月的销量,某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料,6/72,y2004预测,y2005预测,7/72,某商场某种商品过去9个月的销量,y11预测,Y10预测,8/72,y2004预测,y2005预测,某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料,9/72,趋势外推法概述,某一些客观事物（如：经济现象）的发展相对于时间推移，常常有一定的规律。这时，若预测对象变化无明显的季节波动，又能找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势，即可建立其趋势模型：当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来的某个 t 值就可得到相应时序未来值，这就是趋势外推法。,10/72,假设条件：技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去技术的发展，而且在很大程度上决定了其未来的发展。即某项技术在其过去、现在、未来的发展过程中，内、外因相对保持不变。其变化属渐进式变化，而不属于跳跃式变化。,惯性原理,11/72,3.1 直线趋势外推法,适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。,12/72,？,？,13/72,?,二、拟合直线方程法,最小二乘法,离差与离差平方,e,e,最小,拟合程度最好,最小二乘原理,简单讲，使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而求得模型参数的方法。法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。,x=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,代入相应的x，得出的y作为预测值,x 对称编号?,x 的编号的影响：对预测结果没有影响对斜率b没有影响对截距a有影响,拟合直线方程法的特点,只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值都落在拟合的直线上。,22/72,3.2 加权拟合直线方程法,拟合直线方程法的基本思想是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小。离差平方和 是每期的实际值 与该期的预测值 的偏差值的平方和，意味着：中的每一项都有同样的重要性，即无论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权重。实际上，对于预测精度来说，近期的误差比远期的误差更为重要。,23/72,在实践中，要按照时间先后，本着重今轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。由近及远的离差平方和的权重分别为其中，说明对最近期数据赋予最大权重为 1，而后由近及远，按 比例递减。各期权重衰减的速度取决于 的取值。,加权拟合直线方程法,衰减速度越慢,衰减速度越快,？,24/72,加权拟合直线方程法的数学模型,25/72,加权拟合直线方程法的数学模型,？,？,26/72,预测模型为：,30/72,结论分析,由于时间序列线性趋势比较明显，又由于加权系数较大(0.8)，使得，加权与不加权拟合结果相近。加权的重近轻远原则，使其预测结果更接近于实际观察值。,31/72,3.3 拟合直线方程的特殊运用,在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为复杂的问题。例：,某公司19912003年销售额（单位：万元）,34/72,3.3 拟合直线方程的特殊运用,在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为复杂的问题。在某些情况下，可以通过适当的变量变换，将变量间的关系式化为线性的形式。例如：变量满足 的关系，其中，a、b，均为与 t 无关的未知参数，只要令，即可化为 的线性形式。,35/72,同理：对于模型,变换,变换,常用模型分析,36/72,常用模型分析,对于上式两边取对数：,令：,则有：,37/72,常用模型分析,运用拟合直线方程法，可求得：,38/72,某公司19932005年产品的销售额如下表，试预测2006年的产品销售额。,设：该趋势线的模型为：,设：该趋势线的模型为：,预测2006年的销售额：,42/72,3.4 曲线趋势外推预测法,变量间的关系由于受到众多因素的影响，其变动趋势并非总是一条直线方程，往往会呈现出不同的形态的曲线变动趋势。曲线趋势外推法：根据时间序数据资料的散点图走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预测的方法。,43/72,常用的曲线趋势外推预测法,假设曲线趋势外推预测模型为：,44/72,二次曲线趋势外推预测法,二次曲线趋势外推预测法：研究时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由高到低再到高（或由低到高再到低）的趋势变化的曲线外推预测法。由于时间序列观察值的散点图呈现抛物线形状，故也称之为二次抛物线预测模型。二次曲线趋势外推预法的待定系数也可以根据其误差最小的标准确定的。,45/72,1、用最小二乘法确定待定参数,第 t 期的时间序列的观察值,第 t 期的时间序列的预测值,第 t 期的离差,离差平方和,二次曲线外推预测法的模型：,Q值为最小，分别对a、b、c求偏导，并令之为0。,采用正负编号后：,解方程组得：,49/72,例：,某公司19972005年的商品销售收入如下表，试预测该公司2006年的销售收入。,绘制散点图,51/72,计算待定参数，建立预测模型,预测2006年的销售收入：,2、用三点法确定待定系数,思路：在二次曲线模型上选取远、中、近三点坐标作为预测模型待定参数a、b、c的估计值。,54/72,具体做法,使时间序列的总项数 n 为奇数（若为偶数，可删去最初的一个观察期数据）；如果 n 15，则在时间序列的远、中、近三期各取5个数据项，用权数=1，2，3，4，5 由远及近分别赋权并进行加权平均；如果9 n 15，则在时间序列的远、中、近三期各取3个数据项，用权数=1，2，3 由远及近分别赋权并进行加权平均；以此三个加权平均值作为该二次曲线预测模型上远、中、近三点的纵坐标的数值。,即假设远、中、近三期的坐标分别为M1(t1，R)、M2(t2，S)、M3(t3，T)；时间序列总项数 n 为奇数，且中间项为d=(n+1)/2，则当 n 15，取远期5个观察值 y1、y2、y3、y4、y5，其加权平均值为：取中期5个观察值 yd-2、yd-1、yd、yd+1、yd+2，其加权平均值为：取中期近个观察值 yd-2、yd-1、yd、yd+1、yd+2，其加权平均值为：,要对远、中、近三点的横坐标 x1，x2，x3 作权数（1，2，3，4，5）相同加权平均值。,以 15 项观察值作加权平均后三点坐标分别为：,将三点代入二次曲线预测模型：,58/72,关于三点法的几点说明,三点法的特点是不需要数列的全部数据，计算相对而言比较简单。对选取的数据比较敏感，即便是取加权平均值，也会受到一定的影响。一般而言，每一组里的数据相对较多时，模型可能更接近于实际。每一组里的数据要求是奇数，是从计算的角度而言的。此种运算方法在生命曲线趋势预测法里将发挥更大的作用。,59/72,二次曲线外推预测法的特点,二次曲线趋势外推法预测法适用于时间序列数据呈抛物线形状上升或下降，且曲线仅有一个极点（极大值或极小值点）的情况。,60/72,3.5 趋势外推预测模型的识别,图形识别法：这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间 t 为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。,61/72,趋势外推预测模型的识别,差分法：差分是数学中的一个概念。如果对于序列 t 和函数 yt，如果yt=yt yt-1，则称yt为yt 的一阶差分。由于模型种类很多，为根据历史数据正确选择模型，常利用差分法把原序列转换为平稳序列，即利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。将时间序列的差分与各类模型的差分特点比较就可以选择适宜的模型。,一阶向后差分可以表示为：,二阶向后差分可以表示为：,差分法识别标准：,65/72,3.6 生长曲线（S曲线）预测法,技术和经济的发展过程类似于生物的发展过程，经历发生、发展、成熟三个阶段。每一阶段的发展速度是不一样的。一般地，在发生阶段，变化速度较为缓慢；在发展阶段，变化速度加快；到成熟阶段，变化速度又趋于缓慢，按照这三个阶段发展规律得到的事物变化发展曲线，通常称为生长曲线或增长曲线，亦称逻辑增长曲线。由于此类曲线常似“S”形，故又称 S 曲线。现在，S曲线已广泛应用于描述及预测生物个体生长发育及某些技术、经济特性的发展领域中。,1、皮尔模型：,K 为常数（某种耐用品饱和状态时的普及率）,2、林德诺模型,3、龚帕兹模型,67/72,预测步骤,68/72,小结,直线趋势外推预测法加权拟合直线趋势外推法拟合直线方程的特殊运用二次曲线外推预测法生长曲线预测法,补充作业,某公司 19962005年产品销售额如下表所示，试预测2006年的产品销售额。,参考模型：,