二阶系统进行分析课件.ppt

华北科技学院,本章主要内容,1、系统时间响应的性能指标2、一阶系统的时域分析3、二阶系统的时域分析4、高阶系统的时域分析5、线性系统的稳定性分析6、线性系统的稳态误差计算,控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标。确定系统模型后，可用不同的方法去分析系统性能。时域分析法是一种直接在时域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。,时域分析法,3-1 系统时间响应的性能指标,一、典型输入信号,（1）单位阶跃函数,（2）单位斜坡函数,（3）单位加速度函数,（4）单位脉冲函数,（5）正弦函数,1.延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。2.上升时间tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。3.峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。4.调节时间ts：响应到达并保持在终值内所需时间。,二、阶跃响应性能指标,动态性能指标,5.超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值h()之差的百分比，即,稳态性能：由稳态误差ess描述。,华北科技学院,B,动态性能指标,3 动态过程与稳态过程,在典型输入信号作用下,时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成.,(1)动态过程：是指在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡的形式。一个可以实际运行的控制系统,其动态过程必须是衰减的,即系统必须是稳定的。,动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可提供响应速度及阻尼情况等信息,这些信息用动态性能来描述。,(2)稳态过程：统在典型输入信号作用下，当时间t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式。它提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述。,(1)动态性能：通常在阶跃函数作用下,测定系统的动态性能。描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下,动态过程随时间 t 的变化状况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。,(1)稳态性能：稳态误差是描述稳态性能的指标。稳态误差是控制精度或抗扰能力的一种度量。,3-2 一阶系统的时域分析,一、一阶系统的数学模型,传递函数:,结构图：,微分方程:,控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如RC网络：其特点是具有一阶导数。,二、一阶系统的单位阶跃响应,输入r(t)=1(t)，输出,性能指标：延迟时间：td=0.69T 上升时间：tr=2.20T 调节时间：ts=3T(=0.05)或 ts=4T(=0.02),特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为 1/T；3）无超调；稳态误差 ess=0。,输入 r(t)=(t)，输出,特点：1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2)初始斜率为-1/T2；3)无超调；稳态误差ess=0。,三、一阶系统的单位脉冲响应,四、一阶系统的单位斜坡响应,跟踪误差：随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。,输入r(t)=t，输出单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数 T，即存在跟踪误差，数值与时间T相等。稳态误差ess=T，初始斜率=0。,五、一阶系统的单位加速度响应,结论：一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数 线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。,例3.1 某一阶系统如图,（1）求调节时间ts,（2）若要求,解:(1)与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s,(2)要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即 得,ts=0.1s,求反馈系数 Kh。,3-3 二阶系统的时域分析,20,一、二阶系统的数学模型,伺服系统（二阶系统）原理图,绘制控制系统结构图,自然频率,阻尼比,二阶系统标准型及结构图,故得结构图,其中：n自然振荡频率；阻尼比。,输出的拉氏变换为,二、二阶系统的阶跃响应,则方程的根决定了系统的响应形式。,典型二阶系统的特征方程：,特征根(闭环极点)为：,定义阻尼轴：,闭环极点分布,1、欠阻尼二阶系统（0）,衰减系数,阻尼振荡频率,(2)=0，无阻尼,无阻尼时特征根为,则二阶系统无阻尼时的单位阶跃响应,(3)=1，临界阻尼,特征根为,输入为单位阶跃函数,则系统输出,取拉氏反变换,得阶跃响应为,斜率,不同阻尼时的单位阶跃响应曲线,3-3 欠阻尼二阶系统的 动态性能指标,一、动态性能指标计算,1、上升时间 tr,由单位阶跃响应,阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。,令,有,单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。,2、峰值时间 tp,令,根据 tp 的定义，应取,单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。,3、超调量,单位阶跃响应进入误差带的最小时间。,根据定义,4、调节时间ts：,=5,在分母中代入0.8，可以解出ts3.5/n。,(取=2时),包络线,(取=5时),阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间 ts长；过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.7 为最佳阻尼比。,2.参数 对单位阶跃响应性能的影响,例3-1 设系统的结构图如图所示，若要求系统具有性能指标 p=%=20%,tp=1s,试确定系统参数 K 和,并计算单位阶跃响应的特征量 td,tr 和 ts。,解:由图知,系统闭环传递函数为,与传递函数标准形式相比,可得,由与%的关系式解得,再由峰值时间计算式,解得,由于,计算得,若取误差带，则调节时间为,例：,标准形式,即有 2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25,解得 n=5,=0.5,解：闭环传递函数,已知图中Tm=0.2,K=5,求系统单位阶跃响应指标,例：,设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试 确定其开环传递函数。,解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。先确定二阶系统参数，再求开环传递函数。,6 二阶系统性能的改善(两种常用方法),(1)比例-微分控制,开环传递函数为,式中K=n/2,称为开环增益.若令 z=1/Td,则闭环传递函数为,有效阻尼比,上两式表明，比例-微分控制不改变系统自然频率，但可增大系统阻尼比，因此可兼顾系统稳态和动态性能。由于 PD 控制相当于给系统增加一个闭环零点-z=-1/Td,故比例-微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。,实际解题时建议采用定义法推导，而不宜应用上述表达式，因此只有理论意义。,(2)测速反馈控制,图示是采用测速发电机反馈的二阶系统结构图。图中Kt为与测速发电机的测速反馈系数。,相应的闭环传递函数为,与比例-微分控制不同的是：测速反馈会降低系统的开环增益,从而加大系统在斜坡输入时的稳态误差。相同点：同样不影响系统的自然频率，并可增大系统的阻尼比。为了便于比较，将式 改写为,设计测速反馈系统时,可适当增大开环增益,以弥补稳态误差损失；适当选择系数Kt,使t在0.4到0.8间,来满足各动态性能指标。,例3-5 设控制系统如图所示.其中(a)为比例控制系统,(b)为测速反馈控制系统.试确定使系统阻尼比为 0.5 的 Kt 值,并计算系统(a)和(b)的各项性能指标。,解：系统(a)的闭环传递函数为,因而=0.16,n=3.16(rad/s).单位斜坡函数作用下,稳态误差 ess=2/n=1/K=0.1(rad);在单位阶跃函数作用下,动态性能,系统(b)的闭环传递函数为,对比测速反馈控制的闭环传递函数标准形式有n=3.16(rad/s)，且,由,(3)比例-微分控制与测速反馈控制的比较,附加阻尼来源：比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度。,使用环境：比例-微分控制的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要相当的放大作用，为不明显恶化信噪比，要选用高质量的放大器；而测速反馈控制的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件无过高的质量要求，使用场合较广泛。,对开环增益和自然频率的影响：比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均 无影响；测速反馈控制不影响自然频率，却会降低开环增益。,对动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可加快上升时间。在相同阻尼比条件下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。,特点：（1）引入比例微分控制，使系统阻尼比增加从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性（2）零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，显著提高快速性。（3）不影响系统误差，自然频率不变。,由上所述可知：1)速度反馈使增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；2)速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例微分控制；3)系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益。,3-4 高阶系统的时域分析,在控制工程中，几乎所有的系统都是高阶系统。对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，其动态性能指标的确定是较复杂的。工程上常采用闭环主导极点的概念降阶为一、二阶系统进行分析，从而得到高阶系统动态性能指标的估算公式。,1 高阶系统的单位阶跃响应,图示系统闭环传递函数,2 闭环主导极点,如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其它闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，其在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。其它的极点统称为非主导极点。,（1）主导极点在动态过程中起主要作用；（2）在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统进行分析。（3）偶极子：如果闭环零、极点相距很近，则这样的零、极点称为偶极子。偶极子的影响可以忽略。,例3-5 某系统的闭环传递函数为,试近似计算系统的动态性能指标。,解：有三个闭环极点，开环零、极点分布如图所示。,主导极点是，其他两个极点可忽略，近似为一阶系统。,T=0.67s，,例3-6 系统闭环传递函数,试估计系统的性能指标。,解：闭环零、极点分布如图。s1、z1构成偶极子。,系统近似为二阶系统,对应的性能指标,3-5 稳定性分析,55,稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。,一、线性系统的稳定性概念,稳定性:系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。,大范围稳定系统：无论扰动引起的初始偏差多大，扰动取消后，系统都能足够准确的恢复到初始平衡状态。小范围稳定系统：若扰动引起的初始偏差小于某范围，系统才能在扰动取消后恢复到初始平衡状态。,稳定的线性系统必然在大小范围内都能稳定。,设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若，则系统稳定。,线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部。,一、线性系统的稳定性概念,系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。,单摆,上面所述稳定性概念，实则是指平衡状态稳定性，由俄国学者李雅普诺夫于1892年首先提出，一直沿用至今。,a稳定平衡点d不稳定平衡点,线性控制系统的稳定性：,若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定,简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。,线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。,2 线性系统稳定的充分必要条件,特征方程,若系统输入量为单位脉冲(t),其拉氏变换为1，特征 根互异,闭环系统特征方程的所有根必须具有负实部。或者，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。,线性系统稳定的充要条件是：,判别系统稳定性的基本方法：,稳定判据产生的依据和思路只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。,劳斯赫尔维茨判据,1、赫尔维茨稳定判据,系统闭环稳定的充分必要条件：1)特征方程各项系数均大于零，即 ai02)赫尔维茨行列式全部为正，即,可以证明：在特征方程各项系数均大于零时，赫尔维茨奇次行列式全为正，则赫尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。,顺序主子式,判据之二：林纳德奇帕特判据,系统稳定的充分必要条件为：,1、系统特征方程的各项系数大于零，即,2、奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。,例：单位负反馈系统的开环传递函数为：,试求开环增益的稳定域。,解：,求系统的闭环特征方程,特征方程的各项系数,系统稳定的充分必要条件,0,2、劳斯判据,劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：,当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。,例3.4 设系统特征方程为 s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。,解：列劳斯表,第一列元素符号变化两次，因此系统不稳定。且在s右半平面有两个正实部根。,注意两种特殊情况的处理：1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。,例3.5 设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定 判据判断系统的稳定性。,解：列劳斯表 S4 1 1 2S3 2 2 0s2(取代0)2s1 2-4/s0 2,第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定。并且在s右半平面上有两个极点。,例3-8 判断下述系统的稳定性,特征方程式：,解：劳思阵列：,构成新行,由辅助方程,求导,因劳思表第一列数值有一次符号变化，故本例系统不稳定，且有一个正实部根。如果解辅助方程 可以求出产生全零行的特征方程的根为2和j。倘若直接求解给出的持征方程，其特征报应是2，j，表明劳思表的判断结果是正确的。,5 劳思稳定判据的应用,(1)判别系统的稳定度,即系统的特征根是否全部位于垂线 s=-a 之左侧;,(2)确定系统中一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,例3-9 设比例-积分控制系统如图所示。其中 K1为与积分器时间常数有关的待定参数。已知=0.2,n=86.6,试用劳思判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于垂线s=-1之左,问K1值范围又应取多大?,解：由图可写出系统的闭环传递函数为,闭环特征方程：,代入已知的=0.2与n=86.6,得,列出相应的劳思表：,令劳思表第一列各元为正，得K1取值范围为：,当要求系统的闭环极点全部位于 s=-1 垂线之左时，可令 s=s1-1代入原特征方程，得到如下新特征方程,整理得,相应劳思表,令劳斯阵列表中第一列各元为正，即可得到使全部闭环极点位于s=-1垂线之左的K1 取值范围为：,如果需确定系统其他参数，例如时间常数对系统稳定性的影响，方法是类似的。一般来说，这种待定参数不能超过两个。,3-6 线性系统的误差分析,一、稳态误差的定义,由图所示，误差定义有两种方式：输入端、输出端 1)e(t)=r(t)-c(t)，无法量测 2)e(t)=r(t)-b(t)单位反馈时两种定义相同。,稳态误差是稳态响应的希望值与实际值之差，即稳定 系统误差的终值。,如果函数 sE(s)除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析，即sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标原点)，则稳态误差可由拉氏变换的终值定理来求取,二、稳态误差计算,上式表明，影响稳态误差的因素有：系统型别、开环增益、输入信号的形式和幅值。以下讨论不同型别系统在不同输入信号作用下的稳态误差计算。,3 阶跃输入作用下的稳态误差及静态位置误差系数,（R为幅值常数）,阶跃输入:,定义:静态位置误差系数为,对于0型系统：,对于I型（及更高型）的系统：,这些系统可称为一阶(或更高阶)无差度系统。,4 斜坡输入作用下的稳态误差及静态速度误差系数,（R为斜率常数）,斜坡函数:,定义:静态速度误差系数为,对于 0 型系统：,对于I型系统,对于型（及更高型）的系统？-由同学回答。,例 3-12 设一非单位反馈系统，其 G(s)=10/(s+1)，H(s)=Kh，输入信号 r(t)=1(t)。试分别确定当Kh 为 1 和 0.1 时，系统输出端的稳态位置误差 ess。,解:由于系统的开环传递函数为,故本例为 0 型系统，其静态位置误差系数 kp=K=10Kh，算出输入端的稳态位置误差为,系统输出端的稳态位置误差，可由ess=ess/Kh算出，当 Kh=1 时,当 Kh=0.1 时,此时，系统输出量的希望值为：r(t)/Kh=10。,5 加速度输入作用下的稳态误差及静态加速度误差系数,式中R为加速度常数,则有,加速度输入函数:,定义：静态加速度误差系数,对于 0、I 型系统：,对于型（及更高型）的系统：,对于型系统,表3-1 输入信号作用下的稳态误差,例：具有测速发电机内反馈的位置随动系统，试计算输入分别为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时系统的稳态误差。解：系统的开环传递函数为,本例1型系统，对于在阶跃信号、斜坡信号、加速度信号作用下，可知系统稳态误差系数为：,物理意义：1）单位阶跃位置信号作用，电动机的稳态输出必是一个恒定的角位移；,2）单位斜坡速度信号作用，电动机的输出是恒速运转，则要求电动机的电枢电压是一个恒定值；3）单位加速度输入信号，系统稳态也应当作等加速运动，则要求电枢电压等速变化，导致误差随时间线性增长。,例:设单位反馈系统开环传递函数为 G(s)=1/Ts，输入信号分 别为：r(t)=t2/2 r(t)=sin t，求稳态误差。解：,错误！,原因：终值定理的应用条件：要求 sE(s)在原点处有唯一极点外，在s右半平面及虚轴上解析，即 sE(s)的极点均位于s左半平面，包括坐标原点，才能应用终值定理。可以采用拉氏反变换方法。,于是，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的 阶次、开环增益K以及输入信号的形式。,2、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数,3、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数,4、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数,例 3.8 控制系统如图所示。,求r(t)=1(t)+2t，n(t)=-1(t)时系统稳态误差。,解：r(t)独立作用时：Kp=,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2。,n(t)独立作用时（可判别系统是稳定的）,对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之前的前向通路增益、增加扰动作用点之前的前向通路积分环节数。,终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。,例3.9 系统输入r(t)=(+t+t2/2)1(t)，求0 型、型、型系统的稳态误差。,解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：,6、动态误差系数,动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。,误差传递函数在s邻域展开成泰勒级数为：,其中 C0，C1，C2，为动态误差系数。,解：利用,习题3-9（2）,解：,1：令,3.,2：,3：令,注意角度的转换。,例3-15 设单位反馈控制系统的开环传递函数为,若输入信号为r(t)=5sin5t，试求系统的稳态误差。,解：因为r(t)=5sin5t，用动态误差系数,稳态误差,解2：用拉氏反变换,7、扰动作用下的稳态误差,由于闭环系统是稳定的，故稳态下,取拉氏反变换，稳态误差同解1。,设,例3-15 设比例控制系统如图3-36所示。图中，R(s)R0/s 为阶跃输入信号；M为比例控制器输出转矩，用以改变被控对象的位置；N(s)=n0/s为阶跃扰动转矩。试求系统的稳态误差。,解：,例3-16 设电动机转速控制系统如图所示。其中，输入信号r(t)0，负载扰动n(t)-t。试计算该系统的稳态误差。,解：系统为1型系统，对于阶跃输入的误差为零，系统在扰动 作用下的输出端误差为,8.减小或消除稳态误差的措施,1、增大开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。2、在系统前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。,扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道的积分环节数之和决定了系统响应扰动作用的型别。如在扰动作用点之前的前向通道或主反馈通道中设置多个积分环节，可消除扰动信号作用下的稳态误差。,上述方法的缺陷：串联积分环节或增大开环增益会降低系统的稳定性。因此有如下两种方法：3、采用串级控制抑制内回路扰动；当控制系统存在多个扰动信号，且控制精度要求较高时，宜采用串级控制方式，可显著抑制内回路的扰动影响。4、采用复合控制。当系统存在强扰动时，特别是低频强扰动，则一般的反馈 控制方式难以满足高稳态精度的要求，此时可采用复合控制方式，如前馈+反馈控制。,例3-17 如果在例3-15系统中采用比例-积分控制器，如图3-41所示，试分别计算系统在阶跃转矩扰动和斜坡转矩扰动作用下的稳态误差。,扰动作用点之前有一个积分环节，所以系统能克服阶跃转矩扰动。（1）阶跃扰动的系统稳态误差为零。（2）斜坡转矩扰动存在常值稳态误差。在扰动作用下的系统误差表达式为：,解：,当 时,当 时,月 球 车,二、复合控制系统的误差和稳定性分析,3.等效传递函数,型变为型。,型变为型。,结论：复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性。,2017.7 制作,