二逻辑函数及其简化课件.ppt

第二章 逻辑函数及其简化,2.1 逻辑代数 2.1.1 基本逻辑2.1.2 基本逻辑运算2.1.3 真值表与逻辑函数2.1.4 逻辑函数相等2.1.5 三个规则 2.1.6 常用公式2.1.7 逻辑函数的标准形式2.2 逻辑函数的简化2.2.1 公式化简法2.2.2 卡诺图化简法,作业：补2.1、补2.2、2.1(1)(2)(3)、2.2(1)(2)、2.3(1)(4)、2.4(1)(2)、2.5(1)(3)(10)、2.6(1)2.7(1)、2.8(1)(3)(5)2.9(1)(8),第2章 逻辑函数及其化简,布尔代数：1849年，英国数学家乔治布尔首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法.开关代数：1938年，克劳德香农将布尔代数应用到继电器开关电路的设计。逻辑代数：随着数字技术的发展，布尔代数成为数字逻辑电路的分析与设计的基础。,本章主要内容,简单介绍逻辑代数的基本公式、重要定理、常用公式。介绍逻辑函数及其表示方法。重点讲述：应用逻辑代数简化逻辑函数的方法代数法和卡诺图法。,2.1 逻辑代数,2.1.1 基本逻辑在二值逻辑中，最基本的逻辑：与逻辑（逻辑乘)或逻辑、(逻辑加)、非逻辑。(逻辑反),、,1、与逻辑,F,E,A,B,与逻辑可以用逻辑表达式表示为F=AB,例：与逻辑关系可以得出这样一种因果关系：只有当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关合上）全部具备时，这一事件（如灯亮）才会发生。这种因果关系称为：与逻辑关系,图 与门的逻辑符号,实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图所示。实现了F=AB的功能。,2、或逻辑,F,E,A,B,或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B,或逻辑关系可得因果关系：只要在决定某一事件（如灯亮）的各种条件（如开关合上）中，有一个或几个条件具备时，这一事件（如灯亮）就会发生。,或门的逻辑符号,实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图所示。实现了F=A+B的功能。,3、非逻辑,F,E,A,R,非逻辑的逻辑表达式为,通常称A为原变量，为反变量。,非逻辑关系可得因果关系：事件（如灯亮）发生的条件（如开关合上）具备时，事件（如灯亮）不会发生；反之，事件发生的条件不具备时，事件发生。,图 2-8 非门逻辑符号,实现非逻辑的单元电路称为非门，其逻辑符号如图所示。实现了 的功能。,上述三种基本逻辑可用逻辑代数来描述在逻辑代数中，用字母A、B、C、P来表示逻辑变量，如：开关、灯这些逻辑变量在二值逻辑中只有0和1两种取值，以代表逻辑变量的两种不同的逻辑状态。（表示开关的断/开，灯的灭/亮）,2.1.2 基本逻辑运算,最基本的逻辑运算有三种：逻辑加、逻辑乘、逻辑非1.逻辑加（或运算）P=A+B意义：A或者B只要有一个为1，则函数值P就为1表示或逻辑关系，电路上用或门实现或运算,运算规则：000 011101111一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A,逻辑加的运算和二进制加法规则是不同的,逻辑变量:用字母等标识符表示输入取值：逻辑0和逻辑1仅表示相互对立的两种逻辑状态；不代表数值大小，运算结果：只有逻辑0、逻辑1两种可能,逻辑加,2.逻辑乘（与运算）P=AB意义：只有A和B都为1时，P才为1表示与逻辑关系，电路上用与门实现与运算,运算规则：一般形式：000 A1=A01=0 A0=010=0 AA=A11=1,逻辑乘,3.逻辑非（非运算）意义：函数值为输入变量的反表示非逻辑关系，电路上用非门实现非运算运算规则：一般形式：,4.复合逻辑运算（1）与非逻辑表达式：先“与”运算，再“非”运算真值表：由真值表可见：只要输入变量中有一个为0，输出就为1,逻辑符号,（2）或非逻辑表达式：先“或”，后“非”真值表：由真值表可见：只有输入变量全为0，输出才为1,（3）与或非逻辑(p18)表达式：顺序：A、B“与”，C、D“与”，再“或”，“非”真值表：,（4）同或逻辑和异或逻辑同或：A和B的值相同时，P才为1表达式：真值表：,运算规则：一般形式：00=1 A0=01=0 A1=A10=0 A=011=1 AA=1,同或逻辑,异或：A和B取值相异时，P才为1表达式：真值表：,运算规则：一般形式：,异或逻辑,由上分析可见：同或与异或逻辑正好相反，因此：AB=同或逻辑称为：异或非,对于两变量来说，若原变量相同，则取非后的反变量也相同，反之亦然。AB=,若A和B相同，则 必与B相异（A与 相异），反之亦然。AB=B=A,求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。,第一步：由逻辑命题列真值表。,（0）,（0）,（0）,（1）,（1）,（1）,2.1.3真值表与逻辑函数(P20),输入变量取值为1用反变量表示;取值为0用原变量表示,*方法一:(P21),挑出函数值为1的项,将每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项,将这些乘积项作逻辑加,称为与或表达式,方法二:(P21),挑出函数值为0的项,将每个函数值为0的输入变量取值组合写成一个或项,将这些或项作逻辑乘,称为或与表达式,输入变量取值为1用原变量表示;取值为0用反变量表示,第二步：,由真值表写逻辑函数表达式。,例2-1(P22),有A、B、C个输入信号，当个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。,解：根据题意可得到如表2-1-13所示的真值表：,“与-或”式:(取1值),“或-与”式：(取0值),例2-1(P22),2.1.4 逻辑函数相等定义：如果函数F和函数G的任一组状态组合都相同则称：F和G是等值的/相等的记为：F=G,判断两个逻辑表达式是否相等的方法有：,1、列表法（P23）若逻辑函数 F 和 G 的真值表相同，则FG；反之，若FG，则它们具有相同的真值表。,2、利用逻辑代数的公理；定理和规则证明。,例22 设试证明：F=G所以：F=G即证明了：,F和G所具有的逻辑功能完全相同，但逻辑电路的结构形式不同。,逻辑代数中最基本的公式,以此推广得到摩根律的一般形式:,调换律：同或、异或逻辑的特点还表现在变量的调换律同或调换律为：若AB=C则必有:AC=B,BC=A异或调换律为:若则必有,2.1.5 三个规则,1 代入规则任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A的地方都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立因为逻辑函数和逻辑变量一样，只有两种可能的取值（0和1）所以代入规则是正确的。,作用：可将基本等式中的变量用某一逻辑函数来替代，从而扩大了等式的应用范围。例23 已知等式A(B+E)=AB+AE，试证明将所有出现E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。注意：所有出现被代替变量的地方都代之以同一函数,2 反演规则/互补规则/德摩根定理将逻辑函数F中所有的 可得原函数F的反函数或称为：补函数意义：运用反演规则可以较方便地求出反函数例24/例25（P26）注意：运算符号的先后顺序,互换,例1：,例2：,(直接去掉反号),不属于单个变量上的非号应保持不变。其实反演规则就是摩根律的推广。,例3：,按反演规则可直接写出：,若用摩根律则先对原函数两边取非，得：,3.对偶规则将逻辑函数F中所有的 可得原变量F的对偶式例如：注意：F的对偶式和F的反函数是不同的，求对偶式时不需要将原变量和反变量互换。注意：运算符号的先后顺序,互换,变量不变,如果函数F=G，则F*=G*例如：F=A(B+C)G=AB+AC由式（2135），可知F=G根据对偶规则，有F*=A+BC G*=(A+B)(A+C)由式（2135），可知:F*=G*本节式（2125）式（2142）与式（2125）式（2142）互为对偶式。因此，这些公式只需记忆一半即可。,2.1.6 常用公式,证明：称为：吸收律意义：如果两个乘积项，除了公有因子（如A）外，不同因子恰好互补则这两个乘积项可合并为一个由公有因子组成的乘积项根据对偶规则，有：,证明：意义：如果两个乘积项，其中一个乘积项的部分因子（如AB中的A）恰好是另一个乘积项（如A）的全部，则该乘积项（AB）是多余的根据对偶规则，有：,证明：意义：如果两个乘积项，其中一个乘积项 恰好是另一个乘积项的补（如A），则该乘积项是多余的。根据对偶规则，有：,推论：意义:如果两个乘积项中的部分因子恰好互补而这两个乘积项中的其余因子（如B和C）都是第三乘积项中的因子，则这个第三乘积项是多余的。根据对偶规则，有：,证明：,2.1.7 逻辑函数的标准形式,1.最小项表达式逻辑函数的表达式不是唯一的如：p28:2-1-48式相同点：都是与或表达式不同点：下式中每一个乘积项都包含了全部输入变量，每个输入变量或以原变量形式或以反变量形式在乘积项中出现，并且仅仅出现一次。这种包含了全部输入变量的乘积项称为：最小项,最小项？包含了全部输入变量的乘积项，只有一组变量取值才能使该乘积项的值为1，其余任何变量的取值都使该乘积项的值为0。即：包含了全部输入变量的乘积项等于“1”的机会最小。例如：,全部由最小项相加构成的与或表达式称为：最小项表达式标准与或式标准积之和式,包含n个变量的函数，共有2n个不同取值组合，有2n个最小项。例如：3个变量有23个最小项,A B C 最小项 编号,1 1 1 m7,1 1 0 m6,1 0 1 m5,1 0 0 m4,0 1 1 m3,0 1 0 m2,0 0 1 m1,0 0 0 m0,例如：3个变量有23个最小项,为了便于叙述和使用函数最小项表达式，对最小项编号：记为：mi给每个变量赋予一个二进制的位权值2i根据各个变量的位权值和变量取值求出对应的十进制号码mi因此，函数的最小项表达式书写起来将十分方便例如：,任何一个函数都可以变换成最小项表达式通常采用的方法是：将非标准与或式中的每一个乘积项，利用 将所缺的变量逐步补齐，展开成最小项表达式例补充：由真值表求最小项表达式例：,0 0 0 0,0 0 1 0,0 1 0 1,0 1 1 0,1 0 0 1,1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 1 0,根据真值表可得：,如果函数表达式不是一个简单的与或式则首先将其变换成与或表达式，再展开成最小项表达式。,2.最大项表达式又称为：标准或与式标准和之积式最大项：包含全部变量的和项，每个变量仅出现一次（原变量或反变量）。例如：,最大项？包含全部输入变量的和项，只有一组变量取值才能使该和项的值为0，其余任何变量的取值都使该和项的值为1。即：最大项（和项）等于“1”的机会最大。例如：,A B C 最小项 编号 最大项 编号,1 1 1 m7 M7,1 1 0 m6 M6,1 0 1 m5 M5,1 0 0 m4 M4,0 1 1 m3 M3,0 1 0 m2 M2,0 0 1 m1 M1,0 0 0 m0 M0,如：3变量的最大项,n个变量的函数，共有2n个最大项。只有一组变量取值使其为0，而对于其余(2n-1)组变量取值均使最大项为1,为了便于叙述和使用函数最大项表达式可以对最大项编号，记为：Mi对最大项编号？给每个变量赋予一个二进制的位权值2i根据各个变量的位权值和变量取值求出对应的十进制号码。例如：因此，函数的最大项表达式书写起来将十分方便。例如：,任何一个函数都可以变换成最大项表达式通常采用的方法是：将非标准或与式中的每一个和项，将所缺的变量逐步补齐，展开成最大项表达式,如果函数表达式不是一个简单的或与式则首先将其变换成或与表达式，再展开成最大项表达式例如：补充：由真值表求最大项表达式例如：,真值表,最大项表达式是真值表中使函数值为0的各个最大项相与。,结论：任一个逻辑函数可用最小项表达式表示，也可以用最大项表达式表示。若将一个n变量函数的最小项表达式改写为最大项表达式时，其最大项的编号都不是最小项的编号。,2.最小项与最大项之间的关系,变量数相同，编号相同的最小项和最大项之间存在互补关系，即,例如：,2.2 逻辑函数的简化P32,最简:(1)乘积项(或逻辑相加项)最少。,(2)每项中变量数最少,化简方法:,(1)公式法(利用公理;定理和规则),(2)卡诺图法,(3)列表法,2.2.1 公式法（代数法）,运用逻辑代数的基本公式和常用公式化简逻辑函数1.合并项法：2.吸收法：3.消去法：4.配项法：,一、与或式化简,1、合并项法，利用定理,例1：,例2：,3、消去法，利用定理,例3,2、吸收法，利用定理,4、配项法，利用,及,例4：,例5:,例1:,二、或与式化简 P33,例2:,2.2.2 图解法（卡诺图法）,1.什么是卡诺图卡诺图：将真值表转换成方格图的形式,用卡诺图表示最小项变量的取值组合按循环码的规律来排列。卡诺图法：利用卡诺图对逻辑函数进行化简,一、用卡诺图表示最小项,0和1组成的二进制数对应最小项的编号,CD,AB,F3,00,01,00,01,10,10,11,11,m0,m4,m8,m12,m1,m5,m9,m13,m2,m6,m10,m14,m3,m7,m11,m15,CD,AB,F4,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m8,m16,m24,m2,m10,m18,m26,m4,m12,m20,m28,m6,m14,m22,m30,CD,AB,F4,00,01,11,10,00,01,11,10,m1,m7,m15,m23,m3,m9,m17,m25,m5,m11,m19,m27,m7,m13,m21,m31,E=0,E=1,F5,DE,ABC,00,01,11,10,000,001,011,010,110,111,101,100,m0,m1,m2,m3,m4,m20,m24,m28,m8,m5,m9,m13,m17,m21,m25,m29,m6,m10,m14,m18,m22,m26,m30,m16,m7,m11,m15,m19,m23,m27,m31,m12,2.用卡诺图表示逻辑函数的方法（1）把逻辑函数表达式变换成最小项表达式再填图将构成逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，则可以得到该函数的卡诺图。,（2）直接观察法填图：,例1:,00,01,10,11,0,1,A,1,1,1,1,BC,AB,CD,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,F,例2:,直接观察法填图：,3.利用卡诺图合并最小项的规律由于卡诺图变量取值组合按循环码的规律排列，使处在相邻位置的最小项都只有一个变量取值不同，因此，在卡诺图中处于相邻位置的最小项均可以合并成一项，合并项由没有变化的那些变量组成,用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）作出所要化简函数的卡诺图（2）圈出所有没有相邻项的孤立1格主要项（3）找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格，从它出发把相邻1格圈起来（包括2i个1格），构成主要项（4）余下没有被覆盖的1格均有两种或两种以上合并的可能，可以选择其中一种合并方式加圈合并，直至使所有1格无遗漏地都至少被圈一次，而且总圈数最少。,图 2-19 最小项合并规律,00,01,10,11,0,1,AB,C,F4,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F3,1,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,AB,C,F6,1,1,1,1,1,1,AB,CD,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,F,例2:,00,01,10,11,0,1,AB,C,F7,1,1,1,1,1,1,1,1,F7=1,AB,CD,F8,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,CD,AB,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F9,CD,AB,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F10,【例 2-2】,求,的最简与或式。,解：画出F的K图。如图2-21所示。,图 2-21 例2-2的卡诺图,画圈化简函数。写出最简与或式。本例有两种圈法，都可以得到最简式。按图2-21(a)圈法：,按图2-21(b)圈法：,该例说明，逻辑函数的最简式不是惟一的。,几个概念主要项/素项/本原蕴含项：定义：在卡诺图中，将2i个相邻1格进行合并，合并圈不能再扩大，这样圈得的合并项称为主要项。,举例：,必要项/实质素项/实质本原蕴含项：定义：主要项圈中至少有一个“特定”的1格没有被其他主要项覆盖。举例：,多余项/冗余项：定义：主要项圈中所包含的1格均被其他的主要项所覆盖。举例：,多余项,用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）作出要化简函数的卡诺图（2）圈出所有没有相邻项的孤立1格主要项（3）找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格，从它出发把相邻1格圈起来（包括2i个1格），构成主要项（4）余下没有被圈的1格均有两种或两种以上合并的可能，可以选择其中一种合并方式加圈合并，直至使所有1格无遗漏地都至少被圈一次，而且总圈数最少。,画圈合并时，应遵循以下原则（化简准则）：（1）每个圈尽可能大，圈内包含的1格数应为2i（2）所有1格至少被圈过一次（3）每个圈中至少有一个1格为本圈所独有（不被其他圈所覆盖）,在不同的圈法中，应选取采用最少的圈数、将余下的最小项全部圈入的圈法。,对卡诺图中所有的0格进行加圈合并，可以得到：最简或与式。原理和化简方法及步骤与圈1格方法相同。区别为：由2i个0格构成的圈，由圈内取值不变的变量相或（相加项）来表示（以原变量表示变量取值0，以反变量表示变量取值1）所有的相加项圈相与（乘），构成最简或与式。,CD,AB,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,F(A,B,C,D)=M(3,7,11,12,13,14,15),解:,例：求函数F的最简或与式,(2)、圈“0”所得的逻辑函数表达式,AB,CD,F13,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,非完全描述的逻辑函数：具有任意项的函数合理地利用任意项，常能使逻辑函数的表达式进一步简化。在化简时，任意项可以作为1格，也可以作为0格。化简过程中，已对任意项赋予了确定的输出值。例217 化简函数(p43),(a)不利用任意项,(b)利用任意项,解填写卡诺图，画包围圈,化简结果为：,合理利用任意项，能使逻辑函数的表达式进一步化简。,说明：任意项产生的输出在原函数中没有定义。但化简后，任意项的输出均有了定义：圈过的输出定义为1，没圈的输出定义为0。由于任意项的输入不会出现，所以对函数结果没有影响。,