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中级宏观经济学 第13章 经济增长理论第13章 经济增长理论对经济高速增长的追求是经济学家们的一致理想。人们十分清楚，只有持续的经济增长才能为不断增长的人口提供一个不断提高的生活标准。18世纪后期，以Malthus(1798)为代表的悲观论者认为，由于土地的不可再生性，它对经济增长会带来制约。如果人口增长超过由土地制约的经济增长潜力，那么人口增长就会被战争或者各种自然灾害，如饥饿或传染病所限制。但幸运的是，Malthus的预言并没有出现。在过去的两个世纪中，世界人口增长明显，而世界经济增长更为迅速，并且超过了人口增长的速度。但是，各国间经济增长的差距非常悬殊。据世界银行统计，在20世纪下半叶的几十年中，人均GNP的年平均增长率最高的国家达到7%，而最低的国家则为-13>.3%。我们知道，福利的增加和生活质量的提高靠的是经济增长的累积。人均产量增长率的一个微小差异，在经过较长时间的积累后，就会使人均收入水平形成显著差异。如果人口数量不变，经济平均年增长率为1%，人均收入翻一番的时间为70年，但如果平均年增长率达到3%，人均收入翻一番的时间就缩短至24年，如果平均年增长率达到10%，翻一番的时间只需要7年。这种差异的显著影响引起了人们的高度兴趣与关注。一个较为典型的国家就是阿根廷。1985年，阿根廷的人均收入与比利时、荷兰、德国相仿，高于当时的奥地利、意大利、挪威、西班牙、瑞典和瑞士。阿根廷经济的高速增长导致大量移民从欧洲涌向阿根廷。但从20世纪30年代以后，阿根廷经济增长停滞，到20世纪末，它已被那些过去远不如它的国家远远地甩在后面，欧洲国家的人均收入远远超过它数倍至十几倍。在21实际初的经济危机中，这个过去以粮食高产引以为豪的国家，居然出现了大量的饥民。经济增长如此重要，以及各国经济增长之间存在着的如此差异，引起了经济学家的研究兴趣。Kuznets(1933)是对经济增长进行数量分析的开拓者，他认为经济正在与工业革命有关。在英国、美国、德国等那些工业革命出现较早的国家中，现代经济增长同资本主义作为主要经济体制的出现是相一致的。这种观点不仅出现在经济学家中，也出现在社会学家中。例如德国思想家韦伯（Weber,1958）认为，宗教和经济之间存在着一种决定性关系，而资本主义特别适合在信奉新教价值观的国家中产生和发展。Weber认为，新教鼓励利润创造，认为这是一项高尚的活动，同时新教强调节俭和自律，这对资本积累至关重要。从制度角度研究各国之间经济增长差异的理论成果不断涌现，最具有代表性之一的North(1973)在一些列具有开创性的分析中，强调对产权的法律和制度界定是欧洲出现现代经济的根本。North说“有效率的经济组织是增长的关键，西欧有效率的经济组织的发展是西方兴起的原因。有效率的经济组织要求建立一个制度安排和财产权利，它们能形成激励，使个人经济努力转化为使私人报酬率接近于社会报酬率的活动。”经济增长理论被正式纳入宏观经济学研究范围，并且与经济周期理论一起成为宏观经济学中两个最主要的研究方向，起因于Harrod(1939)和Domer(1947)所作的开创性研究。在Harrod-Domer模型中，要想获得经济增长的均衡状态，劳动力增长率就必须等于储蓄率和资本-产出比率的乘积。这个来源于里昂惕夫型生产函数(Leontief,1941)的苛刻条件极大地限制了哈罗德-多马模型的解释力。通过假设一个资本和劳动力可以相互替代的新古典生产函数，Solow(1956)和斯旺(Swan,1956)构建了一个更加一般的经济增长模型(通常被称为新古典增长模型)。不过，无论是Harrod还是Solow，他们都是以凯恩斯式的消费理论作为基础，即假设一个外生给定的储蓄率。随后，Cass(1965)、Koopmans(1965)扩展了Ramsey(1928)的研究成果，获得了内生的储蓄率，从而为新古典增长理论打下了坚实的微观基础，该模型后来被称为拉姆齐-卡斯-库普曼模型。但就理论而言，新古典增长模型的一个缺陷是只有在假设外生给定的技术进步前提下才能得到稳定的经济增长。但是，技术进步的源泉在哪里？Romer(1986)、Lucas(1988)开创的内生增长理论为这个关键问题提供了一些初步的答案，从而在20世纪80年代末又掀起了一股沉寂多年的研究经济增长理论的热潮。本章主要研究索洛模型、拉姆齐-卡斯-库普曼模型、戴蒙德模型，以及由卢卡斯和罗默开创的内生经济增长模型。13.1 索洛模型一、索洛模型的假定与框架索洛模型关注四个变量：产出（）、资本（）、劳动（）、以及代表“知识”或“劳动的有效性”（）。在任何时候，经济拥有一定量的资本、劳动和知识，并且对这些要素进行有效的组合，就能够得到产出。因此，生产函数一般采用以下的形式： （13.1.1）式中表示时间。在这个生产函数中，有两点需要说明：第一：时间并不是直接被引入生产函数，而是通过、和引入，那是因为只有当生产投入发生变化时，产出才随着时间的变化而变化，这种变化最为明显的是表现在存在技术进步的时候，这也就是为什么要引入知识变量的缘由。第二，与以乘积的形式引入。在这里，被称为有效劳动，并且以这种方式引入的技术进步被视为劳动扩张型或哈罗德中性。界定如何进入的方式与模型的其他假设结合在一起，将意味着资本-产出比例被最终确定下来。下面我们先讨论索洛模型中关于生产函数的核心假设，然后分别讨论这些假设与三种生产投入要素（资本、劳动和知识）在时间演变上的关联性。索洛模型有关生产函数的重要假设是：生产函数关于两个自变量（资本与有效劳动）是规模报酬不变的。这就是说，如果两个自变量乘以任何非负的常数c，就会使产出以相同倍数改变，即： 0 （13.1.2）规模报酬不变的假设可以被视为两个假设的结合：一是假设经济规模足够大，以致专业化的收益已被全部利用。在一个较小的经济中，会存在进一步专业化的充分可能性，使产出的增长率可能会大于资本与劳动数量的增长率。二是假设除资本、劳动和知识以外的其他投入相对不重要，那么童谣倍数的资本和劳动投入就不会生产出同样倍数的产出。然而，无数发达国家经济增长的实践证明，自然资源的可利用性显然并不是增长的主要约束。由于有了规模报酬不变的假设，就允许我们对生产函数作如下改变：设式（13.1.2）中的，便得： （13.1.3）在这以公式中，是单位有效劳动的资本量，并且等于（单位有效劳动的产出）。我们定义， EMBED Equation.3 ，以及=。这样，我们就可以把式（12.1.3）写成 （13.1.4）式（13.1.4）表示我们把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数。这个模型会使我们观察的注意力集中在的行为上，而不是考虑生产函数的两个变量与的行为上。例如，我们可以通过把每个工人的平均产出写成或 EMBED Equation.3 ，并通过决定与的行为来决定的行为。假设生产函数满足，。由于等于ALf（K/AL），即资本的边际产量等于正好等于。因此，为正，且为负的假设意味着资本的边际产量为正，但它随着资本的增加而下降。此外，F（·）被假设满足稻田条件（Inada，1964）。这个条件表明，在资本存量充分小时，资本的边际产量十分大，而当资本存量变大时，资本的边际产量会变得十分小。其作用是确保经济的路径不发散。一个典型的生产函数是柯布-道格拉斯函数。这一生产函数有如下形式： 01 （13.1.5）由于这个生产函数是对实际生产函数的一个良好的近似，并且这个生产函数易于分析，因此是十分有用的。我们通过检验可以证明，柯布-道格拉斯生产函数具有不变的规模报酬。我们将资本和劳动两种要素同时乘以可以得到： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （13.1.6）我们再将两个投入要素都除以AL，得： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （13.1.7）式（13.1.7）意味着。这就可以直观地检验出这个份额方程为正，当趋于0时，趋于无穷大，并且。接着我们考察索洛模型中关于资本、劳动和知识的存量随时间变化而变化的假设。如果资本、劳动和知识的初始水平给定，并且劳动和知识以不变的增长率增长，即：= （13.1.8） EMBED Equation.3 （13.1.9）这里，与是外生的参数，而变量上的一点表示关于时间的一个导数。变量的增长率是指变化的速率，即X的增长率是指。因此，式（13.1.8）意味着的增长率不变，且等于，而式（13.1.9）则意味着的增长率不变，且等于。我们知道，一个变量的增长率等于自然对数的变化，即等于。这里是的函数，且是的函数。这样，我们可以利用链式法则写成下式： EMBED Equation.3 （13.1.10）若将一个变量的增长率等于期对数的变化率的结论应运用于式（13.1.8）和（13.1.9），其结论是和的对数变化率不变，并且他们分别等于和，就有： （13.1.11） （13.1.12）式中和为0时刻的和的值。给方程两边取指数，则有： （13.1.13） （13.1.14）也就是说和各自以指数形式增长。在一个封闭的经济中，产出可以分割为消费和投资。投资的产出份额是外生的且不变的，即投资的一单位产出可获得一单位的新资本。此外，现有资本以速率折旧，因此有： （13.1.15）尽管对、和没有任何限制，但其和仍假设为正。由上述分析可见，索洛模型也是一个非常简化的模型，其中许多在现实经济中存在的特征都被简化了，如果设只存在一种单一的产品，不存在政府的干预，就业的波动被忽略，生产正好可用具有三种投入要素的生产函数来描述，并且储蓄率、折旧、人口增长和技术进步都保持不变。人们往往会把这些假设视为缺点，但有时，这种简单的模型反而容易被人理解。二、索洛模型的动态平衡在索洛模型中，三个投入要素有两个，即劳动和知识被视为是外生的。也就是说，索洛模型将资本行为作为分析经济行为基本特征的要素。由于经济一边是随着时间而增长的，因此分析每单位有效劳动的资本存量比分析那些难以调整的资本存量会更有意义。由于，我们可以利用链式法则得到： （13.1.16）由于就是，由式（13.1.8）和（13.1.9）可知，和分别为和。则由式（13.1.15）给出。将它们代入式（13.1.16），则可得： EMBED Equation.3 （13.1.17）最后，根据由给定的条件，我们可以得到以下方程： （13.1.18）方程（13.1.18）就是索洛模型基本公式。这一方程表明，每单位有效劳动资本存量的变化率由一下两项的差组成：第一项是为每单位有效劳动的实际投资，即每单位有效劳动的产出乘以该产出的投资份额。第二项为持平投资，即为使保持在现有水平上所必须进行的投资。为阻止下降而需要进行一定量的投资的理由是：第一，现有资本正在折旧，这些资本一定要不断地被替代以保持资本存量不至于下降。这个折旧量就是式（13.1.18）中的项。第二，有效劳动的数量正在上升。正式因为如此，即使进行足够的投资使资本存量（）保持不变，也不足以使每单位有效劳动的资本存量（）保持不变。相反，由于有效劳动数量正以的速率增长，资本存量必定也要以的速率稳定增加，才能使保持不变。这个资本存量就是式（13.1.18）中的。图13.1.1表明了实际投资与持平之间的关系。从图中可以看出，当每单位有效劳动的实际投资大于持平投资时，在上升；而当实际投资小于持平投资时，在下降；当二者相等时，保持不变。图中表示实际投资与持平投资相等的值。图13.1.1 实际投资与持平投资同时，索洛模型意味着，无论经济的起点在何处，总会收敛于一个平衡增长路径。在这一路径中，模型的每个变量都以一个不变的速率增长，而每个工人的平均产出率只能由技术进步率惟一地决定。三、储蓄率变化的影响最有可能影响索洛模型参数的政策因素是储蓄率。政府可以通过税率的变化和政府购买政策的变化来影响产出中用于投资的份额。因此，要理解索洛模型的变化，必须探索储蓄率变化对模型所产生的效应。图13.1.2 用于投资的储蓄率增加的效应从图13.1.2中可见，的增加把实际投资线向上移动了，从而造成的增加，从增加至。然而，是不会立即从跳跃到的。在水平上，当源于储蓄增加而导致的投资不断增加时，实际投资会大于持平投资，这时为正，因此开始持续上升，直至达到的水平。图13.1.3的上面三个图反应了以上的过程。图中表示储蓄率增加的时刻。依据假设，在时刻跳跃，并且在以后保持不变。由于的跳跃使实际投资以一个正的数量大于持平投资，出现由0开始的跳跃。值逐渐由上升，随后之间返回至0。图13.1.3 储蓄率增长的效率接下来我们讨论每个人的平均产出所受的影响。我们知道，等于。当不变时，以的增长率，即以速率增长。当增加时，的增长既起因于的增长，也起因于的增加。这时，的增长率大于。然而，当达到时只有的增长对的增长产生作用，因而，的增长率恢复到。这一过程说明，储蓄率的永久性增长对每个工人平均产出增长的影响只是暂时性的。图13.1.3的第四和第五部分表明了工人的平均产出是怎样对储蓄率做出反应的。每个工人的产出增长率初始为，在时刻向上跳跃，然后返回其初始水平。因而每个工人的平均产出的变化路径是：开始上升，并且上升至高于其处在平衡路径上的水平时，开始逐渐返回到一个较高的平衡路径上。总之，储蓄率的变化具备水平效应，但不具备增长效应。但这并不影响平衡路径上每个工人的平均产出增长率。确实，在索洛模型中，只有技术进步增长率的变化具有增长效应，所有其他变化只会产生水平效应。现在我们把家庭消费引入模型。从前面的分析可知，每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出乘以该产出用于消费的份额。由于在处呈非连续变化，而并不发生这种变化，因此每单位有效劳动的消费在初始阶段发生向下跳跃。随着的上升以及仍处在较高水平上，消费逐渐上升，其情景如图12.2.3最后一部分所示。下面我们考察消费与之间的关系。设为均衡增长路径上单位有效劳动的消费，等于单位有效劳动的产出减去单位劳动的投资。在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资。因此，我们可以得到一下方程： （13.1.19）由于由以及模型的其他参数、和决定，我们可以得出：=，因而从式（13.1.19）可以得到： EMBED Equation.3 （13.1.20）我们知道，增加会提高，因而的增加十分会在长期内提高或降低消费则取决于（即资本的边际产量）是否大于或小于。这是因为，当上升时，每单位有效劳动的投资的增加必定会等于与的乘积。如果小于，那么增加资本所获得的产出的增加就不足以把资本存量维持在一个较高的水平上。在这种情况下，消费就会下降以便保持较高的资本存量水平。如果大于，就可以有相当多的产出将保持在一个较高的水平上，消费就会下升。图13.1.4 平衡增长路径上的产出、投资与消费图13.1.4展示了以上的分析。我们知道，消费等于产出减去持平投资，因此等于与之间的距离。在图12.1.4a中，小于（），因此即使当经济已达到新的平衡增长路径时，储蓄率的增加也会降低消费。在图12.1.4b中，大于（），因而的增长会在长期内提高消费。在图12.1.4c中，正好等于（），即在k= k*处的斜率与线平行。在这种情况下，的边际变动在长期内不会对消费产生影响，并且在各种平衡增长路径上，消费式中处在其最大的可能水平上。这里，的值就是这名的资本存量的黄金律水平。我们至今所讨论的问题交点就是探讨何处是黄金律资本存量的最佳位置。在索洛模型中，储蓄率是外生的，人们没有更多理由去预期处在平衡增长路径上的资本存量会等于黄金律水平。四、经济增长因素分析在索洛模型中，每个工人平均产出的长期增长只依赖于技术进步。就短期来说，增长则可能来源于技术进步，也可能来源于资本积累。因此，就短期来说，我们就须区分导致增长的不同因素。由埃伯默维茨（Abramovitz，1956）和Solow（1957）开创的增长因素分析法为处理这一问题提供了一种分析方式。我们仍然引出式（13.1.1）的生产函数。同样，从这一生产函数中我们可以得到下面公式： （13.1.21）式（13.1.21）中和分别表示和。将该式两边同时除以Y(t),并改写右边的项，则可得到： （13.1.22）上式中，是在t时刻产出对劳动的弹性；是t时刻产出对资本的弹性；。两边同时减去，并约定，我们就可以得到每个工人平均产出增长率公式： （13.1.23）式（13.1.23）把每个工人平均产出的增长分解成每个工人平均资本增长的贡献和残值项R(t)，我们称这残值项为索洛剩余，它被解释为是对技术进步贡献的度量，但实际上，它反应了除资本积累贡献之外的所有增长来源。上述有关增长因素分析的基本框架可用多种方式扩展（如Denison,1967）。最普遍的扩展是考虑各类不同的资本与劳动，并对投入质量的变化进行调整。增长因素分析已被应用在许多问题的研究上，最为广泛的是用于研究生产力增长为什么趋慢。不少研究表明，自20世纪70年代以来发达国家生产力增长放慢的原因可以归结为：工人技能的缓慢增长，石油危机的影响，以及创新活动的放慢和政府管制的影响等。13.2 无限期界模型与代际交替模型（宏观经济学微观基础的两个重要模型）我们在讨论了索洛增长模型后，有必要继续介绍两个与索洛模型有密切关系的模型，一是Ramsey(1928)、Cass(1965)与Koopmans(1965)发展的以他们的名字命名的无限期界模型；另一个是由Diamond(1965)发展的代际交替模型。索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不予解释。拉姆齐-卡斯-库普曼模型与索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中家庭效果最大化和厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外生的了。将储蓄看成是内生的变化有两个好处，一是可以直接表明索洛模型中有关经济增长理论的核心问题并不依赖于储蓄不变的假定；二是建立在微观层次上的模型可以使我们对福利水平进行评价。一、无限期界模型（一）拉姆齐问题拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。我们下面讨论的模型基本上是拉姆齐模型。模型的假设条件如下：（1）存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为。厂商在竞争性要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场出售产品。与索洛模型相同，厂商将取做给定的，以速率外生地增长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润归于家庭。（2）同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以速率增长。家庭的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将拥有的资本租借给厂商。家庭拥有数量为的初始资本其中是经济中的资本初始量，为家庭数量。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。设家庭具有以下效用函数： （13.2.1）上式中，是在t时刻家庭每个成员的消费。是瞬时效用函数。是经济的总人口，是每个家庭成员人数。是时刻家庭的总瞬时效用。是贴现率，越大，则家庭对未来消费的估价就越小。瞬时效用函数可以采用如下的形式： （13.2.2）式（13.2.2）表现了使经济收敛于平衡的增长路径，其是著名的相对风险厌恶不变的效用函数，这是因为该函数的相对风险厌恶系数（）是，因此独立于。由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态度并不直接相关，但也决定了家庭将消费在不同时期的转移意愿：越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果接近于零，这样，效用对于来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获得的报酬率之间的差额。根据上述假设，接下来我们分析厂商与家庭的行为。1、厂商行为厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。我们知道，资本的边际产品为。由于市场是竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在时刻，真实利率为： （13.2.3）劳动的边际产品为，它也等于。根据上述生产函数的紧凑形式，它可写成。因此在时刻，真实工资是： （13.2.4）这样，每单位有效劳动的工资是： （13.2.5）2、家庭行为假设家庭对于和的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设每个家庭有个成员，在时刻其劳动总收入为，其消费支出为。在初始时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的，或等于。因此，家庭预算为： （13.2.6）在许多情况下，对式（5-6）进行求解是困难的。因此，我们可以用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们对式（13.2.6）整理如下： （13.2.7）可以写出从到的积分形式作为一种极限。这样，式（13.2.7）就等价于：0 （13.2.8）这样，在时刻，家庭资本持有量为： （12.2.9）上式中，表示在s时刻家庭初始财富对其总财富的贡献。在时刻，家庭的储蓄是（以是负值）；则表明从时刻到时刻该储蓄值的变动状况。式（12.2.9）表达式是与式（12.2.8）的大括号中的表达式的乘积。因此，我们可以把预算约束写成：0 （12.2.10）式（12.1.10）就是著名的非蓬齐博弈条件（No-Ponzi-game condition）。蓬齐博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久地滚动这些债务。也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费现值超过其终生资源现值。从式（12.2.6）或式（12.2.10）中可以看出，这里的预算是排除这样一种计划的。理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。我们将 定义为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费等于。家庭的瞬间效用等于： （12.2.11） 我们把式（12.2.11）以及我们在前面已提到的代入目标函数式（12.2.1）和式（12.2.2），得到： （12.2.12）上式中，。我们再来讨论式（13.2.6）的预算约束。在时刻，家庭总消费等于每单位有效劳动的消费乘以家庭有效劳动数量。同理，在时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资乘以，其初始资本持有量等于0时刻每单位有效劳动的资本量乘以。因此，我们可以把式（13.2.6）家庭预算约束改写成下式： （13.2.13）由于等于，将这一结果代入上式，同时两边除以，我们可以得到下式： （13.2.14）最后，由于与成比例，我们就可以把式（12.2.10）预算约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成:0 （13.2.15）我们研究家庭的基本问题就是在式（13.2.14）的预算约束条件下，如何选择的路径去实现如式（13.2.12）所表达的终生效用最大化。由于消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。因此，我们可以利用目标函数式（12.2.12）和预算约束式（13.2.14）来构造拉格朗日函数： （13.2.16）在每个时点家庭选择，这样就会形成无限多个。对每一单个，其一阶条件是： （13.2.17）家庭行为的特征实际上就是由式（13.2.17）和预算约束式（13.2.14）来刻画的。为了理解式（13.2.17）对消费行为的含义，我们可以对这一公式展开进一步的分析。首先给公式两边取对数： （13.2.18）式（13.2.18）中利用了的定义。我们注意到，对于每个，式（13.2.18）两边相等，因此给两边求关于的导数后也相等。这个条件就是： （13.2.19）这里我们利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概念。由式（13.2.19）我们可以求解出，从而得到： （13.2.20）式（13.2.20）利用了的定义。由于（指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费）等于，因此的增长率等于的增长率加的增长率。从式（13.2.20）中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以的速率增长。因此，式（13.2.20）表明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个工人的消费将下降。越小，随着消费的变化，其边际效用的变化越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。方程（13.2.20）就是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程（Euler equation），也就是连续时间的随机形式。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条件，因此这一条件也叫做凯恩斯-拉姆齐规则（Keynes-Ramsey rule or condition）。直觉上，欧拉方程描述了给定时，必须随时间变化而变化。如果不按照式（13.2.20）演化，那么家庭就会在不改变终生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值等于初始财富与未来收入现值之和。当被选择得太低，沿满足式（13.2.20）路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路径是可能的。当确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，这种路径反而成为不可行。（二）拉姆齐模型的动态分析在对模型进行了静态分析后，我们进一步对模型进行动态分析。在进行动态分析时，一个简便的方法是分析模型中的两个重要变量和的动态演化过程。1、的动态变化由于假定全部家庭相同，因此式（13.2.20）中所描述的的演化不仅适合单个家庭，也适合于整个经济。由于，我们可以把式（13.2.20）改写成： （13.2.21）当等于时，等于零。设代表在时的的水平。当 时， ，这时是负的，当小于时，为正的。图13.2.1 的动态变化图12.2.1展现了这一过程。箭头表示的运动方向。如果，上升；如果，则下降。在时， ，表明对于这个值，不变。2、的动态变化与索洛模型一样，等于实际投资减去持平投资。由于假设不存在折旧，持平投资就是。实际投资就是产出减去消费，即。因此就有： （13.2.22）对于既定的，的的水平是由给出的。当消费等于实际产出与持平投资线的差额时，等于零。这个值关于是递增的，一直可以增至，（即的黄金律水平），接着关于则会下降。当超过或获得的水平时，开始下降；当小于该水平时，则开始上升。对于充分大的，持平投资超过总产出，在此条件下，对于一切的正值，是负的。这些信息归纳在图12.2.2中，箭头表明了的运动方向。我们可以把图13.2.1和图13.2.2的信息结合在图12.2.3中，箭头表明了与的运动方向。在轨迹的左边与轨迹的上方，为正，为负。因为如果在上升，则下降，因而箭头指向上方与左边。图的其他部分的箭头依据同样的推理推出。在与曲线上，与中只有其中一个正在变化。假如，在处在的轨迹上，同时又处在轨迹上方，不变，而下降，这样，箭头就指向左方。最后，在点处，与等于零，在这里不存在由这点开始的变动。 图13.2.2 的动态变化 图13.2.3 和同时运行的动态变化紧接着上述问题，我们自然会提出另一个更为重要的问题，那就是这种经济的均衡是否代表着一个可期望的结果。微观经济学和第一福利定理告诉我们，如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡是帕累托最优的，也就是说，在不使其他人不恶化的条件下，使任何人得到改善是不可能的。由于第一福利定理在上述模型中成立，均衡就可视为是帕累托有效的。并且，由于所以家庭拥有相同的效用，意味着分散化均衡在对所以家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效用。为了更清楚地理解这点，假设存在下面这面这种情况：一个社会计划者可对每个时点的产出在消费和投资之间进行分配，并且其目标也想使代表性家庭的最终效用最大化。除了不把与的路径取为固定值外，计划者考虑的问题都由的路径决定，反过来后者则由式（13.2.22）决定。这个问题等同于单个家庭所面临的问题。式（13.2.20）和式（13.2.21）的连续时刻消费同样适用于社会计划者。在 时减少数量为的，并把该收入进行投资，这便可允许计划者在时刻将增加。因此，沿着由计划者选择的路径，必须满足式（13.2.21）。最后，像家庭的最优化问题一样，那些要求资本存量为负的路径必定会以他们不可行的理由被排除，并且那些引致消费倾向于零的路径也会以它们无法使家庭效用最大化而被排除在外。3、资本积累的黄金律水平索洛模型与拉姆齐-卡斯-库普曼模型的平衡增长路径之间的惟一显著差异是，拥有资本存量大于黄金律资本水平的平衡路径在拉姆齐模型中是不可能的。我们知道，资本积累的黄金律可由以下条件描述： （13.2.23）这是可最大化稳定状态每单位资本消费量的条件。它首先由费尔普斯（Phelps,1961）引入。黄金律的主要福利含义是，它是界定资本/劳动比率的一个值，超过该值，则资本积累并不是帕累托最优的值。这样，从通过减少资本存量从而最大化稳定状态消费的角度考察，每个人都可获得福利改善。这是由于资本存量已变得如此之大，以致其边际生产力小于那个为日益增长的人口提供现存资本/劳动比率所必需的产出量的边际生产力。这样一个经济具有过度积累的资本，并且被认为是动态无效率的。现在我们引入修正的黄金律资本存量概念。修正的黄金律被定义为： （13.2.24）这个关系表明，长期资本/劳动比率，由此而形成的资本边际物质产品与真实利率，由时间偏好率与人口增长率之和决定。很显然，这时的收敛于一个低于黄金律水平的资本量。二、代际交替模型（一）代际交替中的两期寿命戴蒙德模型也称为代际交叠模型，它与拉姆齐模型一起被称为是以微观为基础的宏观经济学基本模型。这是Diamond(1965)在阿莱(Allais,1947)、Sanuelson(1958)早期研究成果基础上建立的。戴蒙德模型与拉姆齐-卡斯-库普曼模型之间的主要差异是存在着人口的新老交替，而不是一个数量固定的永久性生存的家庭。在这一模型中，新的人口不断出生，老的人口不断消亡。为了简化分析，模型假设每个人只活两期，即年青期和老年期。代表时期出生的人。如果人口以速率增长，则。由于个人只生活两个时期，因此在时期，存在个正处于他们生命第一时期的个人，并且存在个正处在其生命第二时期的个人。每个人在其年轻时供给一单位的劳动，并且将其所得到的劳动收入在第一时期的消费与储蓄之间进行分配。在第二时期，个人只是简单的消费其获得的储蓄与利息。设与代表年轻与年老年代人在时期的消费。这样，在时期出生的人的效用依存于与。因此，我们再次假设不变相对风险厌恶效用函数为：+ 0，-1 （13.2.25）我们知道，这个函数是为了增长所需要的。由于生命是有限的，我们不再假设以确保终生效用不再发散。如果0，则个人给第一时期的权重大于第二消费时期，如果0，则情形相反。同时我们假设-1，以确保第二消费时期的权数为正。厂商的生产假设与前面相同。一个社会中存在着众多厂商，每个厂商具有生产函数，具有不变的规模报酬并满足稻田条件，并且再次以外生速率增长。市场是竞争性的，因此劳动与资本可获得其边际产出，厂商获得零利润。不存在折旧。真实利率与单位有效劳动的工资由和确定。最后，存在一些初始的资本存量，它们由一切老年个人均等地持有。这样，在初始时期内，由老年人拥有的资本与年轻人供给的劳动被结合起来生产产出。老年人消费其资本收入与现存财富，然后他们死亡并在模型中消失。年轻人则把他们的劳动收入分配在消费和储蓄上。他们把其消费带入下一时期，因此在时期内资本存量等于时期年轻人的数量乘以这些个人的储蓄-。这种资本与下一代的年轻人供给的劳动相结合，并且这个过程不断延续。根据上述假设，我们来分析戴蒙德模型中的家庭行为。我们知道，在时刻出生的人的第二期消费如下公式： （13.2.26）当上式的两边同时除以并且把移到左边，我们可以得到如下的预算约束： （13.2.27）这个条件表明，终生消费的现值等于其初始财富（为零）加上终生劳动收入的现值（即）。在式（13.2.27）的预算约束下，个人按式（13.2.25）最大化其效用。求解这个最大化问题用两种方式：第一种方式是沿用拉姆齐模型中的欧拉方程进行推导。由于戴蒙德模型是关于离散时间的，因此欧拉方程的推导较之拉姆齐模型更为容易。设想如果个人将消费减小了较小的数量，接着利用新增的储蓄与资本收入把提高了。这种改变并不影响个人终生消费流的现值。因此，如果个人正在进行最优化，效用生效用；如果成本大于收益，个人则通过作出相反的改变而增加效用。与对终生效用的边际贡献分别是与。我们假设趋于零，变动的边际成本就趋于 EMBED Equation.3 ，并且效用收益接近。正如我们刚才所描述的，当个人正在进行最大化时，它们是相等的。因此，最大化要求： EMBED Equation.3 = （13.2.28）同时两边消去并同时乘以，得： （13.2.29） （13.2.30）这个条件与预算约束描述了家庭中个人的行为。式（12.2.30）与拉姆齐模型中的欧拉方程类似，它意味着个人消费是否随着时间的变化递增或递减，这种递增或递减取决于实际报酬大于还是小于贴现率。公式中的决定了个人如何对和之间的差异作出反应，这种反应直接造成了消费行为的变化。第二种方式是构造拉格朗日函数去求解这个最大化问题： （13.2.