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2023/3/21,复合材料性能预报与设计,主讲人：吴林志 哈工大复合材料与结构研究所,主要参考书,复合材料细观力学 杜善义、王彪编著固体本构关系 黄克智、黄永刚编著Micromechanics of defects in solids Toshio Mura,主要内容,细观力学的发展概况夹杂理论初步复合材料有效弹性模量,Eshelby(1957,1959,1961)的三篇文章Mura(1982,1987)的专著,细观力学的发展概况,代表性工作,自洽理论(Hill,1965;Budiansky,1965)广义自洽理论(Christensen and Lo,1979)Mori-Tanaka方法(Mori and Tanaka,1973)微分法(Mclaughlin,1977)二阶上下限(Hashin and Shtrikman,1963)高阶上下限(Torquato,1991),夹杂理论初步,本征应变的定义弹性问题的基本方程弹性场的一般表达式Green函数弹性场的Eshelby解非均匀体问题,本征应变,1.本征应变的定义,本征应变是一个广义概念，是指所有非弹性应变，例如热膨胀应变、相变应变、初始应变、塑性应变、失配应变等。,本征应力,本征应力是由本征应变所引起的自平衡内应力，它不同于由作用于物体的外载荷所引起的应力。,1.本征应变的定义,如图1所示，当材料内部区域的温度升高度时，外部区域的限制将导致区域D内的热应力ij。热膨胀将组成热膨胀应变,(1-1),式中，ij是Kronecker Delta，而是线热膨胀系数。当区域不受外部约束，可以自由膨胀时，热膨胀应变就由方程(1)给出。,图1.1夹杂,1.本征应变的定义,当本征应变在均匀材料D的有限区域内给定，而在区域D-内为零时，被叫做夹杂。这里，夹杂 与基体D-的弹性模量相同。当夹杂的弹性模量与基体的弹性模量不同时，被叫做非均匀体(inhomogeneity)。此时，应力场将由非均匀体扰动。对于非均匀体问题，扰动的应力场可由虚构的本征应变表示。,2.弹性问题的基本方程,当自由弹性体D承受一个给定的本征应变分布时，可通过基本方程给出任意点处的弹性场。这里所说的自由弹性体是指不受任何外来的表面力和体积力。,Hookes law,对于小变形问题，总应变场ij是弹性应变场eij和本征应变场ij之和,(2-1),2.弹性问题的基本方程,总应变ij必须是相容的,(2-2),弹性应变与应力通过Hookes law联系在一起,(2-3),(2-4),或者,2.弹性问题的基本方程,式中，Cijkl是四阶弹性模量张量，有如下关系,(2-5),在区域D-内本征应变为零，此时方程（2-4）可表示为,(2-6),(2-7),方程（2-3）的逆可表示为,式中，C-1ijkl是弹性柔度张量。,2.弹性问题的基本方程,对于各向同性材料，方程(2.3)和(2.7)可以表示为,(2-8),(2-9),式中，和是Lame常数，而是Poissons ratio。,平衡条件,计算本征应力时，需假定材料D不受外载（体力和表面力）作用。如果上述条件得不到满足，那么应力场可以通过自由体的本征应力问题与相应的边值问题的叠加得到。,2.弹性问题的基本方程,平衡方程,(2-10),无外力作用的边界条件,式中，nj是弹性体D边界上的外单位法向量。方程（2.11）是有限弹性体的边界条件。对于无限弹性介质，相应的边界条件为,(2-11),(2-12),2.弹性问题的基本方程,将方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得,(2-13),和,由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征应变对平衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。,(2-14),2.弹性问题的基本方程,相容条件,应变张量ij有6个独立的应变分量，而位移矢量ui有3个分量。它们通过几何方程（相容条件）联系在一起。然而，相容方程一般是指由相容条件所导出的如下方程,式中，pki是置换张量，被定义为,(2-15),(2-16),3.弹性场的一般表示,在下面的推导中，考虑无限弹性介质D内含一夹杂，且夹杂内具有本征应变*ij的一般情况。这样做的目的：既是为了数学上处理简单，又是接近于实际。对于一般的复合材料，增强或增韧相的细观几何尺寸远小于复合材料的宏观尺寸，这样将复合材料作为无限大弹性体处理具有足够的精度。,对于给定的本征应变*ij，所要求解的基本方程为,(3-1),Fourier积分变换,三维空间内函数的Fourier积分变换及反变换分别为,函数导数的Fourier积分变换为,3.弹性场的一般表示,对方程（3.1）进行Fourier积分变换后可得,在推导中用到了关系式(ix),l=il。方程（3.2）表示三个方程，用于确定三个未知量i。引入符号,(3-4),(3-2),(3-3),3.弹性场的一般表示,我们可将方程（3.2）写成,求解方程（3.5）可得,(3-6),(3-5),3.弹性场的一般表示,式中，Nij是如下矩阵的代数余子式,而D()是()的行列式。注意有如下关系式,(3-8),(3-7),(3-9),3.弹性场的一般表示,D()和Nij()可显式表达为,对方程（3.6）进行Fourier反变换，并根据几何方程和本构关系，我们有,(3-11),(3-12),(3-10),3.弹性场的一般表示,式中，,将本征应变变换,(3-13),代入到方程（3.12）中，经整理后可得,(3-14),3.弹性场的一般表示,(3-15),当Green函数被定义为,(3-16),3.弹性场的一般表示,此时，（3.15）式中的位移分量为,式中,(3-18),(3-17),有时，Green函数也称作基本解。对于应变和应力分量，相应的表达式可写为,(3-19),4.格林函数,在前面，Green函数被定义为,在x点沿xj方向施加一个单位力，在x点沿xi方向的位移,(4-1),容易证明：,4.格林函数,下面证明，Green函数满足如下基本方程,(x-x)是三维Delta函数。（4.2）式类似于平衡方程,(4-2),相当于位移,相当于体积力,根据Green函数定义，我们有,(4-3),4.格林函数,式中，,由于Nkm是的代数余因子，所以我们有,(4-4),另一方面，Dirac Delta函数可以定义为,(4-6),(4-5),将（4.5）和（4.6）两式代入方程（4.3）中，可发现（4.2）成立。,4.格林函数,对于各向同性材料，Green函数可以表示为,(4-7),经过推导，我们可得,(4-8),式中，,(4-9),5.Eshelby 解,无限均匀介质内含一椭球夹杂，且椭球夹杂内的本征应变场为常数。当本征应变是热膨胀应变时，相应问题的解由Goodier（1937）给出。对于一般的本征应变问题，Eshelby(1957,1959,1961)给出了相应问题的解析解。夹杂内部和外部弹性场的解不同。Eshelby工作最有价值的结果是夹杂内部弹性场的解。,5.Eshelby 解,对于目前的问题，由位移场的表达式可得,(5-1),式中，由如下方程描述,(5-2),而Green函数为,(5-3),5.Eshelby 解,公式推导,(5-4),(5-5),5.Eshelby 解,(5-6),5.Eshelby 解,经过推导后，我们有,(5-7),式中，,(5-8),l为单位矢量,(5-9),5.Eshelby 解,内部弹性场,(5-4),当点x位于夹杂内时，（5.7）式的积分可以被进行。如图1.2所示，体积元可以被表示为,(5-10),式中，d是中心位于点x的单位球的表面元，而,(5-11),5.Eshelby 解,(5-12),对变量积分后可得,式中，r(l)是如下方程的正根,(5-14),(5-13),即,5.Eshelby 解,(5-15),式中，,(5-16),引入,5.Eshelby 解,此时，方程（5.12）可以化为,(5-17),应变分量为,(5-18),方程（5.18）的积分是与x无关的。因此，我们得到一个重要结论：夹杂内的应变场是常数。根据Routh(1895)的工作，上面的表面积分可化为一些简单的积分。,5.Eshelby 解,(5-19),(5-20),式中，,其它系数可以通过（1,2,3），(a1,a2,a3)和(l1,l2,l3)的同时置换得到。,5.Eshelby 解,(5-21),(5-22),可将方程（5.18）写成,其中，,5.Eshelby 解,椭球夹杂：Eshelby(1957,1959)立方体夹杂：Chou(1975)圆柱夹杂：Wu and Du(1995),所有其它的非零分量可以通过轮流置换得到。不能通过轮流置换得到的分量为零。如,Sijkl称为Eshelby张量。,(5-23),6.非均匀体问题,考虑无限均匀弹性介质内含一椭球非均匀体的问题。无穷远处施加外载荷，研究非均匀体所引起弹性场的扰动。,6.非均匀体问题,扰动应力场是自平衡的,(6-1),边界条件,(6-2),本构关系可表示为,(6-3),6.非均匀体问题,Eshelby（1957）指出：通过在椭球夹杂内选取适当的本征应变场，外加载荷作用下椭球非均匀体引起的扰动应力场可以由本征应力表示。这一等效性被称为等效夹杂方法。使用等效夹杂法，我们可以用本征应力场来模拟扰动应力场。,考虑无限均匀弹性介质内含一相同形状的椭球夹杂，椭球夹杂与周围基体具有相同的弹性模量，且夹杂内具有本征应变场。对于目前的问题，本构关系可以写成,(6-4),6.非均匀体问题,式中，,上面所给出的非均匀体和夹杂问题等效的充分、必要条件为,(6-6),(6-5),或,在前面所介绍的本征应变问题中，扰动应变可以由本征应变表示。当外加应力场是均匀的应力场时，可以证明本征应变场也必须是均匀的。,(6-7),6.非均匀体问题,由上一节可知,式中，Sijkl是Eshelby张量。将（6.8）式代入（6.7）式中可得,(6-8),由方程（6.9）可以解出所有本征应变分量。代入方程（6.8）中确定扰动应变场，代入方程（6.4）求得扰动应力场。,(6-9),复合材料有效弹性模量,基本概念自洽理论(Hill,1965;Budiansky,1965)广义自洽理论(Christensen and Lo,1979)Mori-Tanaka方法(Mori and Tanaka,1973)微分法(Mclaughlin,1977)二阶上下限(Hashin and Shtrikman,1963)高阶上下限(Torquato,1991),复合材料有效弹性模量,对于含夹杂非均匀介质，影响其有效弹性模量的因素可分为两类。一类是非均匀体中每一组份材料的弹性常数。另一类是非均匀体内部的细观结构特征，它包括夹杂的形状、几何尺寸、在基体中的分布和夹杂间的相互作用。目前理论对第一类因素考虑较详细，而对第二类因素却考虑不充分，如自洽理论、广义自洽理论和微分法仅考虑了夹杂的形状，而没有充分考虑材料的其它细观因素。在夹杂的体积份数以及夹杂与基体弹性模量相差较大时，这些理论已不能很好地预报非均匀体的有效弹性模量。尽管有效场理论考虑了夹杂的形状、几何尺寸和在基体中的分布，但由于在推导时所作的假定过多，因此这一方法也具有一定的局限性。,复合材料有效弹性模量,有关非均匀体特性的研究最早可追溯到Maxwell(1873)和Rayleigh(1892)对含球夹杂非均匀介质有效电传导系数的计算。但在这一领域所做的开拓性工作应归功于Eshelby、Hill、Budiansky、Roscoe、Hashin和Shtrikman等。,所谓含夹杂非均匀介质的有效特性就是非均匀体在宏观上表现的整体特性。一般情况下，它依赖于非均匀体的所有细观结构细节和每相材料的力学特性。因此，对其求解只能在一些近似假定下进行。,1.基本概念,代表性单元的几何尺寸介于夹杂尺寸和复合材料宏观尺寸之间。代表性单元内应含足够数量的夹杂，且夹杂的发布是均匀的。,代表性单元,有效特性的存在条件,对于含夹杂复合材料，夹杂的分布在宏观上应是均匀的，可以是随机分布，也可以是周期分布。,1.基本概念,为了下面的分析，我们首先给出含夹杂非均匀介质有效弹性模量和柔度的定义。对于宏观上统计均匀的含夹杂非均匀介质，其有效弹性模量和柔度可写为,(1-1),式中，ij(x)和ij(x)分别为非均匀体内的体平均应力场和应变场。,(1-2),2.自洽理论,Hill的工作,A self-consistent mechanics of composite materials,小写黑体字母表示二阶张量，大写字母表示四阶张量 二阶张量与91向量对应，而四阶张量与9 9矩阵对应 对于四阶张量，前两对下表对应于矩阵的行，可以互换；后两对下表对应于矩阵的列，也可以互换,对于四阶张量A，其逆定义为,其中，I是四阶单位张量，定义为,（2.1）,基本概念及关系式,2.自洽理论,考虑均匀弹性介质含一椭球夹杂的情况。这里，夹杂和基体的四阶弹性模量张量分别由L1和L表示，而四阶弹性柔度张量由M1和M表示。无穷远处作用着均匀的变形场，由于夹杂的存在，夹杂周围存在扰动的弹性场。平均应力场与均匀应变场间存在如下关系,（2.3）,（2.2）,2.自洽理论,引入整体约束张量L*和M*，满足,（2.4）,这里，*和*实际上是扰动应力场和应变场。当L*确定后，我们就可以给出夹杂内应变场或应力场与宏观应变场或应力场的关系。（2.4）式可以进一步写为,（2.5）,还可以写为,（2.6）,2.自洽理论,方程（2.6）建立了夹杂内应变场或应力场与平均应变场或应力场的关系。,接下来，考虑Eshelby的本征应变问题。均匀弹性介质内含一椭球夹杂，夹杂内具有一本征应变场e，夹杂的弹性模量与基体的弹性模量相同，都为L。根据Eshelby（1957）的结果，夹杂内的扰动应变场和扰动应力场可以表示为,（2.7）,由于上式对于所有本征应变场都成立，所以有,由方程（2.8）可以看出，整体约束张量L*和M*是由Eshelby张量表示的。反之，我们可以用整体约束张量L*和M*来表示Eshelby张量,(2.9),2.自洽理论,(2.8),引进一个与Eshelby张量S对偶的张量T，令,(2.10),则有如下关系式,由前面的关系式（2.8）-（2.10），我们有,(2.12),2.自洽理论,(2.11),由方程（2.12）不难发现，四阶张量P和Q与四阶弹性模量张量具有相同的对称性。,自洽理论,含夹杂复合材料是统计均匀的。夹杂与基体相分别由下标1和2表示。c1和c2分别表示1相和2相的体积分数，这样有关系,(2.13),2.自洽理论,每一相的应变场、应力场与宏观平均应变场、应力场有如下基本关系,(2.14),这意味着极化应力和应变的平均为零。方程（2.14）可以进一步表示为,(2.15),2.自洽理论,根据自洽理论的基本假设，可推得,(2.16),由方程（2.14）可以得到,(2.17),反之亦然。有趣的是，夹杂与基体存在着某种对称关系，对夹杂成立的关系式，对基体也有与之对应的关系式。方程（2.15）和（2.16）可以重新表示,(2.18),2.自洽理论,由方程（2.14）和（2.18）可推得关于张量L和M的一对方程,(2.19),张量L*和M*是L和M的函数，公式（2.19）使用起来比较复杂。下面，给出不含L*和M*的表达式,(2.20),2.自洽理论,由方程（2.20），我们可以容易推得,(2.21),这是一个较为简单的公式，在以后的推导中将使用它。,(2.22),下面，引入集中相因子张量概念，A1和A2是对应变，B1和B2是对应力,这样,(2.23),2.自洽理论,由方程（2.19）和（2.22）可得,(2.24),当夹杂体积分数较小时，（2.20）式可以表示为,(2.25),上述公式有时由如下公式替代,(2.26),各向同性介质内含球夹杂,2.自洽理论,假定夹杂为球形，夹杂与基体都为各向同性材料，且夹杂分布是均匀的。此时，方程（2.21）可退化为如下一对标量方程,(2.27),式中，,(2.29),无量纲参数和是Eshelby张量中的参数。对于球夹杂，Eshelby张量可以表示为,(2.28),(2.30),至此，我们给出了含球夹杂复合材料有效弹性模量的公式。这是一个非线性方程，需要联立求解。,2.自洽理论,Dudiansky的工作,考虑弹性基体V内含N-1相弹性介质，N-1相弹性介质分布是均匀的，且不同相之间的界面结合是完好的。每相介质的体积分数定义为,(B.1),有效弹性模量的推导,为了确定有效剪切模量G*，考虑一个大的立方体材料，它的边平行于坐标轴。在立方体表面上施加一均匀的纯剪切载荷。相应的剪应变在立方体内不是均匀的，但是假定,2.自洽理论,式中，是剪应变xy在立方体内的均值。由Hill（1963）工作易知，,(B.2),这样，立方体内的弹性应变能由下式给出,(B.3),(B.4),2.自洽理论,但是，根据每相材料的剪切模量Gi(i=1,2,N)，我们有,式中，,(B.5),(B.6),是剪应变在第i相介质内的体积平均。比较（B.4）和（B.5）可推得,2.自洽理论,由方程（B.7）可知，确定立方体有效剪切模量的关键是建立每相介质内剪应变场与宏观应变场或应力场的关系。Eshelby(1957)已经证明：对于含单椭球夹杂无限均匀介质，当无穷远处作用均匀载荷时，夹杂内部的应变场为常数。对于目前的问题，有如下结果,(B.7),(B.8),2.自洽理论,式中,(B.9),而*是复合材料的Poisson比。将（B.8）式代入（B.7）式中，可推得,(B.10),对于有效体积模量，有类似的关系式,(B.11),2.自洽理论,式中,(B.12),方程（B.9）和（B.10）与关系式,(B.13),提供了用于求解有效剪切模量和体积模量的关系式。对上述两个方程进一步推导可得,(B.14),(B.15),2.自洽理论,另一种求解方法,对于剪切加载情况，如果Eshelby的夹杂被认为是埋在复合材料内的，由Eshelby的结果，可以给出第i相介质的平均剪应变为,(B.16),由于复合材料的平均应变可以表示为,(B.17),所以我们可以直接得到（B.13）式的结果。同样，我们也可直接导出（B.14）的结果。,2.自洽理论,结果讨论,由于自洽模型仅考虑了单夹杂与周围有效介质的作用，因而当夹杂体积份数或裂纹密度较大时，这一模型预报的有效弹性模量过高(含硬夹杂)或过低(含软夹杂)。特别是当夹杂与基体的弹性常数相差较大时，这一偏差更加显著，如对于微裂纹随机取向的非均匀体，当微裂纹密度为9/16时，自洽模型预报的有效杨氏模量为零,2.自洽理论,不同结果的比较,3.广义自洽理论,在这一节中，以Christensen和Lo的工作为基础，我们介绍广义自洽理论所给出的含夹杂非均匀介质有效弹性模量的表达式。如图所示，含球夹杂非均匀介质可以简化为三相介质，其中基体壳将球夹杂与外部的有效介质分开。在广义自洽模型中，球夹杂半径与基体壳外边界半径比为夹杂的体积分数，且外部有效介质的弹性模量就是所要求的含夹杂非均匀介质的有效弹性模量。,自洽模型,广义自洽模型,三相模型,3.广义自洽理论,与自洽模型相比，广义自洽模型似乎更合理一些。作者认为其主要原因有两点：由于广义自洽模型考虑了夹杂、基体壳和有效介质间的相互作用，因而使得相的“比重”处于平衡，即有效介质内不仅仅含有夹杂，而且夹杂周围还附有一层适当的基体；广义自洽模型放宽了相之间的界面约束。应该指出的是，自洽模型比广义自洽模型在实际使用中具有很大的灵活性。,另一个与自洽理论相关的模型是“三相模型”。这一模型是将广义自洽模型中的夹杂核和基体壳作为一个非均匀的椭球夹杂来处理的。Herve和Zaoui采用这一模型研究了含夹杂非线性复合材料的有效弹性模量。应该指出的是，尽管自洽模型具有一定的局限性，但其优势是显著的，如在研究各向异性、非线性等问题时其求解过程相对来说是简单的。,3.广义自洽理论,含单向圆柱夹杂非均匀介质的有效横观剪切模量,考虑含单向圆柱夹杂非均匀介质的有效弹性模量问题。在这里，单向圆柱夹杂是无限长的，当外部施加的边界条件不沿纤维方向变化时，目前的问题可以转化为二维平面应变问题。对于含单向圆柱夹杂非均匀介质，其在宏观上表现为横观各向同性，有5个有效弹性常数。Hashin和Rosen2.13使用所谓的复合材料柱模型确定了其中的4个有效弹性常数，而对于第五个有效弹性常数，即横观剪切模量，他们仅给出了相应的上下限。,3.广义自洽理论,在广义自洽模型中，内部为圆柱夹杂、中间相为基体圆柱壳，外部为等效的均匀介质。由于模型具有极对称性，因此采用极坐标系来研究目前的问题。根据Savin的工作，模型中每一相区域内的位移场可表示为,1）在外部的等效介质区域,(3.1),3.广义自洽理论,2）在基体圆柱壳区域,(3.2),3）在圆柱夹杂区域,(3.3),3.广义自洽理论,式中，,(3.4),这里，上标是星号的量对应于等效介质，下表为的量对应于基体，而没有上下标的量相应于圆柱夹杂。,(3.5),根据应力分量及位移分量在圆柱夹杂与基体以及基体与等效介质界面上的连续性条件，我们可以得到确定待定常数的8个方程,3.广义自洽理论,(3.6),(3.7),(3.8),3.广义自洽理论,根据Eshelby的结果，我们可以导出,(3.9),(3.10),式中,而,(3.11),3.广义自洽理论,将以上各式代入（3.9）式可得,(3.12),(3.13),由方程（3.5）-（3.8）可以求得8个待定常数。令a3=0，并经过冗长的推导、整理，我们可以得到如下表达式,其中,3.广义自洽理论,(3.14),在公式（3.14）中夹杂的体积分数Vf=(a/b)2。对于夹杂稀疏分布的情况，即趋于零，有效剪切模量同样可以简化为,(3.15),3.广义自洽理论,含球夹杂非均匀的有效弹性模量,如图所示，含球夹杂非均匀介质可以简化为三相介质，其中基体壳将球夹杂与外部的有效介质分开。在广义自洽模型中，球夹杂半径与基体壳外边界半径比为夹杂的体积分数，且外部有效介质的弹性模量就是所要求的含夹杂非均匀介质的有效弹性模量。,考虑含球夹杂非均匀介质的有效剪切模量。为了方便起见，引入球坐标系，坐标原点设在球夹杂中心，球夹杂半径和基体壳外边界半径分别为a和b。这样，球夹杂的体积分数Vf=(a/b)3。令位移场u具有如下形式,3.广义自洽理论,且,(3.16),(3.17),通过验证可以发现，方程（3.16）给出的位移场是图所示模型在无穷远处作用均匀剪应力的位移场。根据Love，图中不同区域的位移场系数和可表示为,1）在外部的等效介质区域,(3.18),3.广义自洽理论,3）在球夹杂区域,(3.20),2）在基体壳区域,(3.19),方程（3.18）-（3.20）中的常数可由两个界面的位移及应力连续性条件确定。应力及位移连续性条件12个，需要确定8个未知常数，有4个方程是冗余的。去掉多余的4个方程，剩下的8个界面连续性条件可以表示为,3.广义自洽理论,(3.22),(3.21),3.广义自洽理论,(3.24),(3.23),3.广义自洽理论,应该指出的是，无穷远处的均匀剪应变条件可单独确定常数d1。这样，（3.21）-（3.24）8个方程可确定其余8个待定常数。,为了确定有效剪切模量，我们利用Eshelby给出的结果：对于含单夹杂的均匀介质，在施加位移条件的情况下，应变能由下式确定,（3.25）式所表示的应变能就是模型中储存的应变能。广义自洽理论认为，无穷远处施加位移场的情况下，模型中储存的应变能与弹性常数为等效介质内的应变能相等。由Eshelby，我们有如下关系,(3.25),(3.26),3.广义自洽理论,比较方程（3.25）和（3.26），我们有,当无穷远处作用均匀的剪切变形时，我们容易得到,(3.27),(3.28),3.广义自洽理论,根据（3.18）式及本购方程，可以求得下面的,将上述应力场和位移场代入（3.27）式中可得,(3.29),(3.30),3.广义自洽理论,根据界面连续性条件，我们可以求得所有待定常数。令d4=0，可得,式中，,(3.31),(3.32),3.广义自洽理论,考虑夹杂体积分数较小时的特殊情况。令球夹杂体积分数趋于零，由二项式展开公式，我们可得,且,(3.33),(3.34),4.微分法,这一节中，我们以McLaughlin的工作来介绍微分法。对于含夹杂非均匀介质，根据Hill的工作，非均匀介质的有效弹性模量可以表示为,式中，c1是夹杂的体积分数，L0和L1分别是基体和夹杂的弹性模量，而A1是夹杂的应变集中因子，由下式定义,对于含相似椭球夹杂的非均匀体，当椭球夹杂的体积分数等于V1时，相应非均匀介质的有效弹性模量可表示为L(c1)。相似地，我们定义L(c1+dc1)为夹杂体积分数等于c1+dc1时的非均匀介质有效弹性模量。根据（4.1）式，我们有如下关系式,(4.1),(4.2),4.微分法,式中，E1是椭球夹杂的应变集中因子，即,四阶张量是P由Hill引入的。令(4.3)式中dc1的趋于零，则(4.3)式变为,(4.3),(4.4),(4.5),当c1=0时，L(0)=L0。方程（4.4）和（4.5）给出了一组耦合的非线性微分方程，其解即为两相复合材料的有效弹性模量。,4.微分法,同样，通过考虑复合材料的有效弹性柔度，我们可以类似地得到,式中，,(4.6),(4.7),当c1=0时，M(0)=M0。方程（4.6）和（4.7）给出了一组耦合的非线性微分方程，其解即为两相复合材料的有效弹性柔度。,4.微分法,各向同性球夹杂,考虑各向同性球夹杂均匀分布在各向同性的基体中，这时复合材料在宏观上表现为均匀的各向同性材料。相应得有效弹性模量可以写为,(4.8),或者L=(3,2)。对于四阶张量L1和L0，我们同样可以写成上述形式。对于四阶单位张量I，有关系式I=(1,1)。,根据Hill的定义，四阶张量可以表示为,(4.9),4.微分法,式中,(4.10),是*和*是单调递增函数。,方程（4.5）和（4.6）可以导出关于体积模量和剪切模量一对标量微分方程,(4.11),当c1=0时，*=0和*=0。应该说明的是，Roscoe和Boucher也给出过与（4.10）和（4.11）式类似的关系式。,4.微分法,横观各向同性复合材料,考虑含椭球夹杂复合材料的有效弹性模量，在这里椭球夹杂是由椭圆形成的旋转体，且长短轴之比不变。假定椭球夹杂的长轴均沿x3轴方向，这样复合材料沿轴方向宏观上表现为横观各向同性的。采用Walpole引入，并经Laws完善的符号表示，横观各向同性复合材料的有效弹性模量可表示为,(4.12),其逆可以表示为,(4.13),4.微分法,式中，,(4.14),下面考虑纤维增强复合材料的特殊情况。这时，椭球夹杂的长轴趋于无穷。对于这种情况，Hill和Walpole给出了如下结果,(4.15),式中，,(4.16),是一个关于和的单调递增函数。在这种符号表示系统中，四阶单位张量可以表示为,4.微分法,(4.17),将上述方程代入（4.5）和(4.6)式中，我们可以得到5个独立有效弹性常数的微分方程,(4.18),5.相关函数积分法,含夹杂非均匀体的应变和应力场,描述材料变形的几何方程、受力的平衡方程和边界条件与材料的本构关系共同构成了描述弹性问题的封闭系统。这样，我们就可以采用不同的方法和理论对弹性问题的弹性场进行求解。对于一般的弹性介质，其几何方程、平衡方程及应力-应变关系分别为：,几何方程,平衡方程,(5.1),(5.2),5.相关函数积分法,本构方程,式中，Cijkl是含夹杂非均匀介质的弹性模量。,(5.3),(5.4),将几何方程（5.1）和本构方程（5.3）代入平衡方程（5.2）中可得由位移表示的三维弹性体的控制方程为,很显然，当Cijkl(x)是常数时，（5.4）式就是以位移形式表示的均匀介质的平衡方程。然而，对于含夹杂非均匀体，Cijkl(x)是一个分片连续的函数，并且可分解为,5.相关函数积分法,式中，C0ijkl是基体的弹性模量，而C1ijkl(x)是相对于基体的扰动弹性模量，即夹杂与基体弹性模量之差。,(5.5),(5.6),将方程（5.5）代入方程（5.4）中可得,严格来说，对于一般的有限非均匀体，(5.6)式的偏微分方程是无法求得解析解的。因此，下面仅在一些近似假定下求解(5.6)式。由Mura知，当夹杂远小于非均匀体时，可将非均匀体看作为无限大体，而此时材料内部的弹性场分布具有足够的精度。为此，将无限均匀介质C0ijkl的Green函数作用到（3.6）式的两边，可以得到关于位移场的积分方程为,5.相关函数积分法,式中，,(5.7),(5.8),是外载作用到均匀介质上所产生的位移场，而V为含夹杂复合材料的宏观体积。应该说明的是，方程（5.7）的推导中应用了分部积分法，并利用了应变场在无穷远处为0的条件。,在方程（5.7）中，由于四阶张量C1ijkl(x)具有弹性模量的对称性，因而通过对方程（5.7）微分，整理后可得,5.相关函数积分法,式中，0ij(x)是对应于位移场u0i(x)的应变场，而,(5.9),(5.10),是无限均匀介质中对应于应变场的Green函数。,实际上，（5.9）式是第二类Fredholm积分方程。一般情况下，只能采用近似的方法对其进行求解，但当,的范数小于1时，也可采用叠代法求解，因为此时的级数展开是收敛的。,5.相关函数积分法,对于弹性柔度张量Bijkl(x)，同样存在如下的分解,(5.11),式中，B0ijkl是基体的弹性柔度张量，而B1ijkl(x)是相对于基体的扰动弹性柔度张量，即夹杂与基体弹性柔度张量之差。,从而不难推得,(5.12),由于,5.相关函数积分法,这里，四阶单位张量可以表示为,(5.13),将此式及本构关系一并代入（5.9）式中可得,式中，,(5.14),(5.15),在研究含多夹杂非均匀介质问题时，（5.5）式中的C1ijkl(x)和（5.11）式中的B1ijkl(x)可分别表示为,5.相关函数积分法,(5.16),式中，N表示夹杂的数目，而V(x)表示第个夹杂的区域特征函数，即,(5.17),(5.18),在这里，V表示第个夹杂所占据的区域。这样，方程（5.9）和（5.14）可进一步写为,5.相关函数积分法,(5.19),方程（5.19）和(5.20)给出了含夹杂非均匀介质弹性场的表达式。对于实际的含夹杂非均匀体，按（5.19）和(5.20)式计算其弹性场较为困难，但（5.19）和(5.20)式可用于分析特殊情况下材料内部的弹性场特征。,(5.20),5.相关函数积分法,含夹杂复合材料的有效弹性模量,对于统计均匀的含夹杂非均匀介质（见Hashin），其有效弹性模量将应力场体平均和应变场体平均联系起来。根据定义，应力和应变场在含夹杂非均匀介质宏观体积上的体平均为,这时，非均匀体的有效弹性模量C*ijkl被定义为,(5.21),(5.22),(5.23),5.相关函数积分法,有了方程（5.23）的定义，可采用下面的方法来求解含夹杂非均匀介质的有效弹性模量。对方程(5.19)和(5.20)求体积平均可得,应该说明的是，方程(5.24)和(5.25)右面相应于均匀基体的弹性场0ij(x)和0ij(x)取为均匀的弹性场。对于一般的含夹杂非均匀介质，当夹杂内部的应变场或应力场为一般函数时，方程(5.24)和(5.25)右面的相应体积分是无法解析计算的。因此，在本书所涉及的相关函数积分法中，假定夹杂内部的应变场为常数，且不同夹杂其内部的应变场不同。根据这一假定，方程(5.24)和(5.25)可表示为,(5.24),(5.25),5.相关函数积分法,式中，Cpqmn表示第个夹杂的弹性模量。,(5.26),(5.27),由于这里所考虑的夹杂远小于非均匀体的宏观体积，因此可将非均匀体的宏观体积作为无限大体处理（见Mura）。这样，由Nomura和Chou可得,(5.28),5.相关函数积分法,式中，V表示第个夹杂的体积分数，而A0ijkl是一四阶张量。当近似无限大体是球形或立方形时，其张量为,式中，Iijkl是四阶单位张量，而A0ijkl分量形式为,(5.29),(5.30),(5.31),(5.32),5.相关函数积分法,式中，0和0分别为基体的Lame常数，而A0ijkl的其它分量为零。当近似无限大体是圆柱形时，其张量表达式较为复杂。,将(5.28)式代入(5.26)式中可得,(5.33),(5.34),根据四阶张量函数S0ijkl(x-x)的定义，方程(5.27)可以类似地表示为,5.相关函数积分法,式中，,(5.35),由方程(5.23)、(5.33)和(5.34)可知，在求得含夹杂非均匀介质的有效弹性模量之前，需首先确定 的值。为此，将V(x)乘以方程(5.19)的两边再取体积平均可得,根据(5.10)式及Green函数定义（见Mura，1987），可知四阶张量函数K0ijkl(x)是偶函数。由于V可以被看作无限大体，因此方程(5.35)可以表示成如下形式,5.相关函数积分法,(5.37),式中，V表示V平移矢量-x后的体积，即V=-x+V。由于方程(5.33)的左边是求 的体积平均，因此其结果应与坐标原点的选取无关。当坐标原点取在第个夹杂内时，矢量-x的长度与V的有效尺寸相比是一个小量。这样，体积V可以近似地由V替代，即(5.36)式变为,式中，表示函数 对变量的体积平均，通常称作两点相关函数。需要说明的是，方程(5.36)的推导中采用了变量替换。,(5.36),5.相关函数积分法,(5.38),理论讲，对于任意两个夹杂和，总可以确定 依赖于变量的关系式。由于(5.37)式的积分可以采用数值计算的方法求出，因而不妨假定,式中，Fijkl是一四阶张量。实际上，Fijkl反映了含夹杂非均匀介质细观结构特征，即夹杂的形状、尺寸和分布。当上述细观结构参数变化时，Fijkl也都会发生不同程度的变化。,将(5.38)式代入(5.37)中可得,(5.39),5.相关函数积分法,(5.40),令=1,2,.,n,则方程(5.37)可形成一个6n阶的关于 的线性方程组。由此封闭的方程组可以解出 与0ij的关系。不妨令其表达式为,式中，是一个四阶张量，它与夹杂的体积分数V、第个夹杂弹性模量与基体弹性模量之差C1ijkl和第个与第个夹杂之间两点相关函数积分有关。,(5.41),将(5.40)式代入(5.33)和(5.34)两式中，可以得到含夹杂非均匀介质的有效弹性模量为,5.相关函数积分法,(5.42),应该说明的是，在(3.41)式中出现的四阶张量的逆是按如下的定义给出的。对于任意四阶张量Aijkl，如果它存在逆，那么定义A-1ijkl为它的逆。这里，A-1ijkl满足关系式,方程(5.41)是含夹杂非均匀介质有效弹性模量最一般的表达式。如果清楚含夹杂非均匀介质的细观结构细节，那么我们就可以确定相应的有效弹性模量。下面，我们考虑两种特殊情况。当所有夹杂具有相同的形状和尺寸，并且它们的分布是周期的情况时，方程(5.39)可以通过对的求和被简化为,(5.43),5.相关函数积分法,式中，Vf是夹杂的体积分数，而C1ijkl=C1ijkl。由于夹杂的尺寸与体积V的宏观尺寸相比是极其小的，因此对于统计均匀的含夹杂非均匀介质，非均匀体内部的夹杂数目远大于体积V边界附近的夹杂数目。这样，由(5.39)式可以推断，只要第个夹杂位于非均匀体内部，则求和项 将具有足够精度地趋于一个常量。这样，(5.43)式可以进一步写成如下的形式,在这里，第个夹杂中心将被取作坐标原点，这实际上也是非均匀体的几何中心。将(5.44)式代入(5.32)和(5.34)中可得,(5.44),5.相关函数积分法,(5.45),6.能量方法,考虑N相宏观均匀介质，其中N-1相为夹杂，弹性模量和柔度分别为LI和MI（I=1,2,N-1），而基体弹性模量和柔度分别为L和M。考虑非均匀介质边界作用均匀的应力场0，此时非均匀体的应变能为,同样，非均匀体应变能还可写为,(6.1),