复数复习与小结课件.ppt

数系的扩充与复数的引入,复,习,课,虚数的引入,复,数,复数的表示,复数的运算,代数表示,几何表示,代数运算,几何意义,知识体系,一、本章知识结构,二、标准与大纲的比较,（,1,）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。,（,2,）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形,式的加减运算的几何意义。,（,3,）人教,A,版教材弱化了：,i,的正整数次幂的周期性（隐含于本章复习参考题,B,组,第,2,题中）,共轭复数的概念（在,3.2.2,例,3,（,1,）中给出）,关于复数的模的几何意义（隐含于,3.1.2,练习,4,中）,实系数一元二次方程求解（见习题,3.2 A,组第,6,题）,删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是,在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解。,三、学习目标,1,、在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需,求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人,类理性思维的作用以及属于现实世界的联系,.,2,、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件,.,3,、了解复数的代数表示法及其几何意义,.,4,、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数,形式的加、减运算的集合意义,.,四、重点和难点,重点,:,复数的概念（代数形式、向量表示）以及代数,形式的加、减、乘、除的运算法则，加减的几何意义,.,难点,:,复数相等的条件、向量表示，减法、除法的运,算法则,.,复习过程,数系的扩充,复数的四则运算,复数的几何意义,现在我们就引入这样一个数,i,，把,i,叫做虚数单位，,并且规定：,（,1,）,i,2,?,1,；,（,2,）,实数可以与,i,进行四则运算，在进行四则运,算时，原有的加法与乘法的运算率,(,包括交换率、结,合率和分配率,),仍然成立。,形如,a,+,bi,(,a,b,R),的数叫做复数,.,全体复数所形成的集合叫做复数集，,一般用字母,C,表示,.,1.,复数的概念：,实部,2.,复数的代数形式：,通常用字母,z,表示，即,bi,a,z,?,?,),(,R,b,R,a,?,?,虚部,其中,称为虚数单位。,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,b,a,，,非纯虚数,?,?,0,0,b,a,，,纯虚数,?,0,b,虚数,?,0,b,实数,?,),0,0,(,0,?,?,b,a,，,),0,0,(,0,?,?,b,a,，,实数,非,(,),z,a,bi,a,b,R,?,?,?,复数,3.,复数的分类：,N Z Q R C,4.,规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，,那么我们就说这两个复数相等,R,d,c,b,a,?,若,di,c,bi,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,b,c,a,注：,1),0,0,0,a,bi,a,b,?,?,?,?,?,且,2),一般来说，两个复数只能说相等或不相,等，而不能比较大小了,.,复数,z=a+bi,有序实数对,(a,b),直角坐标系中的点,Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角,坐标系来表示复数的,平面,x,轴,-,实轴,y,轴,-,虚轴,（数）,（形）,-,复数平面,(,简称复平面,),一一对应,z=a+bi,一：复数的几何意义（一）,结论：,实轴上的点都表示实数；虚轴上点除,原点外都表示纯虚数。,复数,z=a+bi,直角坐标系中的点,Z(a,b),一一对应,平面向量,OZ,u,u,u,r,一一对应,一一对应,二：复数的几何意义（二）,x,y,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,我们常把复数,z=a+bi,说成点,Z,或说成向量,规定：相等的,向量表示同一,个复数,OZ,u,u,u,r,x,O,z,=,a,+,b,i,y,Z,(,a,b,),2,2,b,a,?,?,对应平面向量,的模,|,，即,复数,z=,a,+,b,i,在复平面上对应的点,Z(,a,b,),到原点的,距离。,OZ,u,u,u,r,OZ,u,u,u,r,|,z,|,=|,OZ,u,u,u,r,三：复数模的几何意义：,向量,OZ,uuu,r,的模,r,叫做,复数,z,a,bi,?,?,的模,记作,z,或,a,bi,?,.,复数的模其实是实数绝对值概念的推广,？,设,Z,1,=a+bi,，,Z,2,=c+di,(a,、,b,、,c,、,d,R),是任意两,个复数，那么它们的和,：,（,a+bi)+(c+di)=,（,1,）复数的加法运算法则是一种规定。当,b=0,，,d=0,时与实数加法法则保持一致,（,2,）很明显，两个复数的和仍然是一个,。,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。,1,、复数的加法法则：,(a+c)+(b+d)i,复数,即实部与实部,虚部与虚部分别相加,(3),实数加法运算的交换律、结合律在复数,集,C,中依然成立。,),(,2,d,c,Z,),(,1,b,a,Z,Z,y,x,O,设,及,分别与复数,及复数,对应，则,1,OZ,uuu,r,2,OZ,uuu,u,r,a,bi,+,c,di,+,1,(,),OZ,a,b,=,uuu,r,2,(,),OZ,c,d,=,uuu,u,r,向量,就是与复数,OZ,u,u,u,r,(,),(,),a,c,b,d,i,+,+,+,对应的向量,.,探究？,复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过,向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？,1,2,(,),(,),(,),OZ,OZ,OZ,a,b,c,d,a,c,b,d,=,+,=,+,=,+,+,uuu,r,uuu,r,uuu,u,r,复数的加法可按照向量的加法来进行，这就,是,复数加法的几何意义,思考？,复数是否有减法？如何理解复数的减法？,复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足,（,c+di,）,+,（,x+yi,）,=a+bi,的复数,x+yi,叫做复数,a+bi,减去复数,c+di,的差，记作,（,a+bi,）,（,c+di,）,请同学们推导复数的减法法则。,深入探究,事实上，由复数相等的定义，有：,c+x=a,，,d+y=b,由此，得,x=a,c,，,y=b,d,所以,x+yi=(a,c)+(b,d)i,即：,（,a+bi,）,（,c+di,）,=(a,c)+(b,d)i,点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的,减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。,两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，,即,(,),(,),(,),(,),a,bi,c,di,a,c,b,d,i,+,-,+,=,-,+,-,2,、复数的减法,x,o,y,Z,1,(a,b),Z,2,(c,d),复数,z,2,z,1,向量,Z,1,Z,2,符合向量,减法的三,角形法则,.,复数减法运算的几何意义,?,|,z,1,-,z,2,|,表示什么,?,表示复平面上两点,Z,1,Z,2,的距离,类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？,复数减法的几何意义,：,1,2,2,1,OZ,OZ,Z,Z,-,=,uuu,r,uuu,u,r,uuuu,r,结论：复数的差,Z,2,Z,1,与连接两,个向量终点并指,向被减数的向量,对应,.,1.,复数的乘法法则：,2,ac,adi,bci,bdi,?,?,?,),(,),ac,bd,bc,ad,i,?,?,?,?,（,说明,:(1),两个复数的积仍然是一个复数；,(2),复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在,运算过程中把,换成,1,，然后实、虚部分别合并,.,i,2,(3),易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律,即对于任何,z,1,z,2,z,3,C,有,(,),(,),(,),.,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,2,1,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,1,3,(,)(,),a,bi,c,di,?,?,?,2,、定义,:,实部相等,虚部互为相反数,的,两个复数叫做互为,共轭复数,.,思考：设,z,=,a,+,bi,(,a,b,R),那么,复数,z,=,a,+,bi,的共轭复数记作,?,z,z,?,?,z,z,a,bi,?,?,即,?,z,z,?,?,z,z,z,z,z,z,z,z,1,2,1,2,1,2,1,2,?,?,?,?,?,?,另外不难证明,:,2,a,2,bi,?,?,z,z,?,2,2,a,b,?,?,|,|,|,|,Z,Z,Z,Z,?,?,3.,复数的除法法则,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都,乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式,(,分母,实数化,).,即,分母实数化,di,c,bi,a,di,c,bi,a,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),)(,(,),)(,(,di,c,di,c,di,c,bi,a,?,?,?,?,?,2,2,),(,),(,d,c,i,ad,bc,bd,ac,?,?,?,?,?,(,0).,c,di,?,?,2,2,2,2,ac,bd,bc,ad,i,c,d,c,d,?,?,?,?,?,?,复数代数形式的除法实质：,分母实数化,如果,n,N*,有,:i,4n,=1;i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1;i,4n+3,=-i.,(,事实上可以把它推广到,n,Z.,）,设,则有,:,i,2,3,2,1,?,?,?,?,.,0,1,;,;,1,2,_,2,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,事实上,与,统称为,1,的立方虚根,而且对于,也,有类似于上面的三个等式,.,_,?,?,_,?,.,1,1,;,1,1,;,1,;,2,),1,(,2,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,、一些常用的计算结果,问题,1,设复数,z=lg(m,2,2m,2)+,(m,2,+3m+2)i,，试求实数,m,取何值时。,（,1,）,z,是纯虚数；,（,2,）,z,是实数；,1,复数的有关概念,复数,a,+,bi,(,a,b,R,),由两部分组成,，,实数,a,与,b,分别称为复数,a,+,bi,的实部,与,虚部,。,当,b,=0,时,，,a,+,bi,就是,实数,，,当,b,0,时,，,a,+,bi,是,虚数,，,其中,a,=0,且,b,0,时,称为,纯虚数。,背景知识,问题,2,设,x,，yR，并且,(2x,1)+xi=y,(3,y)i,，求,x,，,y,。,解题总结：,复数相等,的问题,转化,求方程组的解,的问题,一种重要的数学思想,转化思想,变式练习,?,1.,若方程,+(m+2i)x+(2+mi)=0,至少有一,个实数根，试求实数,m,的值,.,2,x,?,2.,已知不等式,-(-3m)i,?,10+(-4m+3)i,试求实数,m,的,值,.,2,m,2,m,2,m,误点警示,：,虚数不能比较大小！,2.,复数的代数运算,?,问题,3,复数,等于（,）,?,A.,B.,?,C.,D.,4,5,(2,2,),(1,3,),i,i,?,?,1,3,i,?,1,3,i,?,?,1,3,i,?,?,1,3,i,?,方法点拨,在掌握复数运算法则的,基础上注意以下几点,?,1.,的周期性,n,i,?,2.,2,1,1,(1,),2,1,1,i,i,i,i,i,i,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3.,3,2,2,1,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,2,2,i,?,?,?,?,高考链接,?,1,(06,年陕西卷,),复数,等于,?,A.1,i B.1+i,?,C.,1+i D.,1,i,2,(1,),1,i,i,?,?,?,2.(05,年重庆卷,),?,?,A,B,C,D,2005,1,(,),1,i,i,?,?,?,i,i,?,2005,2,2005,2,?,?,问题,4,设,z,为虚数，且满足,求,|z|,。,9,z,R,z,?,?,?,解法,1,设,z=a+bi(a,bR且,?,b0)，,9,9,z,z,a,bi,a,bi,?,?,?,?,?,2,2,9(,),a,bi,a,bi,a,b,?,?,?,?,?,9,z,R,z,?,?,Q,2,2,2,2,9,9,(,),(,),a,b,a,b,i,a,b,a,b,?,?,?,?,?,?,2,2,9,0,b,b,a,b,?,?,?,?,b,0,?,Q,又,2,2,9,0,a,b,?,?,?,?,2,2,9,a,b,?,?,即,|,z,|,3,?,?,?,解法,2,9,z,R,z,?,?,?,9,9,z,z,z,z,?,?,?,9,9,z,z,z,z,?,?,?,?,?,(,)(,9),0,z,z,zz,zz,?,?,?,2,|,|,9,z,?,?,?,|,|,3,z,?,解题总结,?,解法,1,入手容易、思路清楚，是我,们处理这类问题的常规方法，必,须熟练掌握。,?,解法,2,着眼于整体处理，巧用共轭,复数的性质，对解题方法技巧有,较高的要求。,方法与技巧,共轭复数的性质,1,2,1,2,z,z,z,z,?,?,?,1,2,1,2,z,z,z,z,?,?,?,1,1,2,2,(,),;,z,z,z,z,?,;,z,R,z,z,?,?,?,0;,z,z,?,?,?,0,z,?,时，,z,是纯虚数,2,2,|,|,|,.,|,z,z,z,z,?,?,?,问题,5,已知复数,z=(m,2,+m-,6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的,点位于第二象限，求实数,m,的取值范,围。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,0,6,2,2,m,m,m,m,解：由,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,2,3,m,m,m,或,得,(,3,2),(1,2),m,?,?,?,3,、复数的几何意义,复数,z=a+bi,有序实数对,(a,b),直角坐标系中的点,Z(a,b),x,轴,-,实轴,y,轴,-,虚轴,（数）,（形）,复平面,一一对应,y,x,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,复数的一个几何意义,背景知识,?,复数,z=a+bi,?,点,Z(a,b,）,向量,OZ,u,u,u,r,复数的另一几何表示,C,x,y,B,0,A,问题,6,如图，已知复平面内一个平行,四边形的三个顶点,O,A,B,对应的复,数分别是,0,5+2i,-3+i,，求第四,个顶点,C,对应的复数,.,OC,OA,OB,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,解法,1,向量法,解法,2,几何法,平行四边形对角线互相平分,知识拓展,x,y,o,Z,2,Z,1,Z,1,2,1,2,1,2,z,z,z,z,z,z,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,|,|,2(,),z,z,z,z,z,z,?,?,?,?,?,不,等,相,等,?,如果复数,z,满足,|z+i|+|z,i|=2,，,那么,|z+i+1|,的最小值是（,）,?,A.1 B.,C.2,D.,2,5,问题,7,x,y,o,思想方法,数形结合,方法与技巧,?,掌握一些常见曲线的复数方程，,充分运用复数的几何意义解题，,就可以快速准确的解答有关问题。,0,(1),z,z,r,?,?,1,2,(2),z,z,z,z,?,?,?,1,2,(3),2,z,z,z,z,a,?,?,?,?,1,2,(4),|,|,2,z,z,z,z,a,?,?,?,?,回顾总结,?,1.,两个复数相等的充要条件是实现把复数问,题转化为实数问题的重要途径，也是我们解,决有关的方程、不等式问题的重要依据。,?,2.,在熟练进行复数运算的同时，掌握一些,运算技巧方法，以求快速准确地解答问题。,?,3.,复数的几何表示建立了复数与平面图形、,复数与向量沟通的桥梁，由此我们可以方,便地进行数形转换，寻找更为直观、方便,的解题方法与途径。,作业,?,1.,已知,z,是复数，,z+2i,、,均为实,?,数，且复数,(z+ai)z,在复平面上对应,的点在第一象限，求实数,a,的取值范,围,.,2,z,i,?,?,2,已知复数,z,满足,，,的虚部,为,2,，,?,（,1,）求,z,；,?,（,2,）设,，,，,在复平面对应,的点分别为,A,，,B,，,C,，求,的面,积,.,|,|,2,z,?,2,z,z,2,z,2,z,z,?,ABC,?,