平面图形的面积课件.ppt

第二节 定积分在几何学上的应用,平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 小结、作业,1/31,直角坐标情形,一、平面图形的面积,A,用元素法建立曲边梯形面积A的计算公式：,2/31,妨此可得（图1）的面积：,A,y,x=f(y),（图2）的面积：,（图1）,（图2）,3/31,（图3）的面积：,x,y=f(x),（图3）,4/31,解,先求两曲线的交点。,5/31,另解,选 为积分变量,6/31,解,设椭圆方程为,由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍,以x为积分变量，得,7/31,设曲边梯形的曲边参数方程为,其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到：,2.参数方程情形,8/31,椭圆的面积,9/31,曲边扇形面积元素,曲边扇形的面积公式,3.极坐标方程的情形,10/31,解,由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。,11/31,解,利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，,12/31,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1.旋转体的体积,13/31,旋转体的体积公式,14/31,15/31,解,16/31,另解,17/31,解,18/31,另解,19/31,注,解,20/31,21/31,2.平行截面面积为已知的立体的体积,如果知道了一个立体垂直于某个定轴（记为x轴）的各个截面面积 A(x)，那么，这个立体的体积元素为,立体体积,22/31,解,取坐标系如图所示。,垂直于x轴的截面的面积为,所求立体体积,23/31,另解,以垂直于 y 轴的平面切割立体，得截面面积为,立体体积,24/31,三、平面曲线的弧长,弧长元素（弧微分）基本公式,弧长,25/31,弧长,弧长,26/31,解,星形线在第一象限部分的方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,27/31,另解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,28/31,解,29/31,1、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；,四、小结,2、参数方程给出的平面图形的面积可由直角坐标面积计算公式经积分变量替换得到；,3、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以由极坐标为积分变量；,4、曲边梯形的面积的计算一般以由直角坐标为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由极坐标为积分变量。,30/31,作 业,习题6-2 2-(1)6 8-(1)9 1215-(4)18 19 21 25 29,5、旋转体的体积,绕 轴旋转一周；,绕 轴旋转一周；,（绕非坐标轴直线旋转一周）.,6、平行截面面积为已知的立体的体积。,参数方程；,极坐标方程。,8、求弧长的公式,直角坐标方程；,7、平面曲线弧长元素（弧微分）的基本公式；,31/31,