常数项级数的概念和性质课件.ppt

第八讲 无穷级数,1、常数项级数概念、性质及其审敛法；2、幂级数的概念及其收敛性；3、函数展开成幂级数及其幂级数展开式的应用；4、傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）的概念及函 数展开成傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）；,1、理解常数项级数收敛、发散及和等概念；熟悉级数收敛的必要条件，了解常数项级数的性质，熟悉几何级数和P-级数的收敛性；2、掌握正项级数收敛的充要条件及其审敛准则（比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法）；3、掌握交错级数的莱布尼兹审敛法，熟悉绝对收敛和条件收敛及一般项级数的审敛准则；4、熟悉函数项级数的收敛域、和函数等概念；,基本要求：,5、掌握幂级数的概念及阿贝尔收敛定理，熟悉幂级数的收敛域和收敛半径的求法，了解幂级数的运算性质（包含分析运算性质）；6、掌握泰勒定理，掌握将函数展开为泰勒级数（麦克劳林级数）的方法；7、熟悉函数 为实数）的麦克劳林展开式；8、理解傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）的概念和收敛定理；熟悉将函数展开为傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）的方法；,基本要求：（续）,一、问题的提出,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,第一节 常数项级数的概念与性质,圆的面积,二、级数的概念,1.级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,级数的部分和,思考题,2.级数的收敛与发散:,对于级数我们关心的是级数是否收敛,即:和是否存在?,思考题,级数的收敛与发散:,举例,解,收敛,发散,发散,发散,综上,结果:,练习：判断级数敛散性,由图可知,P-级数,解,由图可知,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,证明,三、基本性质,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,注意：,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,故:级数发散。,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,四、收敛的必要条件,级数收敛的必要条件:,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,均发散.,讨论,作业,P444 习题10-1 1、（1）（4），3、（1）（3），,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,练习：判断级数敛散性,练习：判断级数敛散性,练习,练习,