空间几何体的表面积与体积课件.ppt

9.5空间图形的有关计算,空间几何体的结构,一、观察下列几何体并思考：具备哪些性质的几何体叫做棱柱?,A,B,C,D,A1,A1,B1,B1,C1,C1,D1,A,B,C,A1,B1,C1,D1,E1,A,B,C,E,D,1、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各叫做棱柱的侧面。,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。,侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。,2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、,三棱柱,四棱柱,五棱柱,3、棱柱的表示法(下图),用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1。,二、棱锥的结构特征,观察下列几何体,有什么相同点？,1、棱锥的概念,有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。,这个多边形面叫做棱锥的底面。,有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。,相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。,2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、,3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD。,三、圆柱的结构特征,矩 形,O1,O,1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。,（1）旋转轴叫做圆柱的轴。,（2）垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面。,（3）平行于轴的旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。,（4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。,2、表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。,O,O1,3、圆柱与棱柱统称为柱体。,四、圆锥的结构特征,直角三角形,S,A,O,1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。,（1）旋转轴叫做圆锥的轴。,（2）垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。,（3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。,（4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。,2、圆锥的表示,用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。,3、圆锥与棱锥统称为锥体。,五、棱台的结构特征,B,C,A,D,S,B1,A1,C1,D1,棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。,1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。,2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台,3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如右图，棱台ABCD-A1B1C1D1。,六、圆台的结构特征,1、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。,2、圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO,3、圆台与棱台统称为台体。,七、球的结构特征,O,球心,半径,A,B,1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。,（1）半圆的半径叫做球的半径。,（2）半圆的圆心叫做球心。,（3）半圆的直径叫做球的直径。,2、球的表示：用表示球心的字母表示，如球O,七、简单几何体的结构特征,在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？,几何体表面积,提出问题,正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和,因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积,引入新课,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？,探究,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,h,棱柱的展开图,正棱柱的侧面展开图,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱锥的展开图,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱锥的展开图,侧面展开,正棱锥的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱锥的展开图,侧面展开,正棱台的侧面展开图,棱柱、棱锥、棱台的表面积,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和,例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因为BC=a，,所以：,因此，四面体S-ABC 的表面积,交BC于点D,解：先求 的面积，过点S作，,典型例题,求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋转体的面积该如何求呢?,思考,圆柱的表面积,圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的表面积,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的表面积,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么,圆台的侧面展开图是扇环,三者之间关系,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？,解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：,答：花盆的表面积约是999,典型例题,课堂练习,1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.2、一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60，求圆台的表面积.变式：求切割之前的圆锥的表面积3、面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？4、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积,柱体、锥体、台体的表面积,知识小结,圆台,圆柱,圆锥,作业布置,书本P30 A组附加题:圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.,柱体、锥体、台体的体积,、长方体的体积,等底等高柱体的体积相等吗？,2、柱体的体积,定理：等底等高柱体的体积相等,祖恒原理,将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？,思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？,3、锥体的体积,定理：等底等高锥体的体积相等,等底等高的棱柱和棱锥体积的关系,4、台体的体积,例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？,求此棱柱挖去圆柱后的体积和表面积,引申:.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的体积。,侧面展开图,直观图1,直观图2,引申2:已知正四棱台两底面的边长,和棱台体积,求棱台的高.,球的表面积和体积,柱、锥、台体积的关系,知识探究（一）:球的体积,思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？,思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么？,思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？,思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？,思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的体积，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？,O.,问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.,问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.,知识探究（二）:球的表面积,思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？,思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？,思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于什么？,思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗？,思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？,球的表面积等于球的大圆面积的4倍,例1.钢球直径是5cm,求它的体积.,定理:半径是R的球的体积,变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?,球内切于正方体,侧棱长为5cm,例2 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.,变式3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.,两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上,小结,1.一种方法:“分割,求和,取极限”的数学方法.,2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观点.,3.一个公式:半径为R的球的体积是,4.解决两类问题:两个几何体相切和相接,作适当的轴截面,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是。,练习一：,习题（考察球、台体体积公式）,20,