大学物理薛定谔方程.ppt
第2章 薛定谔方程,2.1 薛定谔方程的建立,2.2 无限深方势阱中的粒子,2.3 势垒穿透,2.4 一维谐振子,一.薛定谔方程,式中 m粒子的质量 U粒子在外力场中 的势能函数（所处条件）2拉普拉斯算符,2.1 薜定谔方程的建立,（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。,（1）它是一个复数偏微分方程；其解波函数 是一个复函数。,说明：,（2）它的解满足态的叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,（4）它是非相对论形式的方程。,二.定态薛定谔方程,常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。,自由运动粒子U=0,氢原子中的电子,这时波函数 可以用分离变量法分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。,例如：,以一维运动的情况为例，波函数可写成,将其代入薛定谔方程,得,两边除以，得,=E(常数),可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：,一个是变量为t 的方程,其解为,（A 是待定复常数；E 有能量量纲,是粒子 的能量）,（2）,（1）,一个是变量为x 的方程,可以把它先解出来：,其解(x)与粒子所处的条件（外力场U）有关。,即定态时，概率密度可以用(x)2来表示，(x)称为定态波函数，,对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题，只须解定态薛定谔方程（2）式，再乘上（1）式 即可得总波函数(x,t)。,由上面可以看出:,上面（2）式是(x)满足的方程，称为定态薛定谔方程。,例.一维自由运动微观粒子的波函数。,其定态薛定谔方程为,二阶常系数 常微分方程,E 是能量（动能）,令，P 是动量。,它有两个特解:,所以，有一定能量和一定动量的一维自由运动 微观粒子的波函数有如下两个解:,得,沿+x 方向的单色平面波,沿-x 方向的单色平面波,动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。,在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。,2.2 无限深方势阱中的粒子,一.一维无限深方势阱中粒子的波函数与能量,金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围 称为束缚态。,作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深方势阱中运动：,按照一维定态薛定谔方程,（）,（这是一个理想化的模型）,它的势能函数为,由于在 I、III 两区的 U(x)，显然应=0;=0，否则方程就无意义了。,由于 区的 U(x)=0，因此该区薛定谔方程为,令,则有,这也说明粒子不可能在这两个区域出现，,（）,A、k 可由波函数应满足的条件来决定：,有限、单值、连续,这一方程的通解为波动解,(可将此通解代入上面方程证明之),由于,而在I、III 两区，所以有,可得,式中 是整数。,上两式相加得,记作,式中 也是整数。,-偶函数,-奇函数,所以有,仍利用,即 ka=(2n+1)，n=0,1,2,3,（2）,将（1）（2）写成一个式子，为,ka=n，n=1,2,3,4,5,6,所以有,为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如,可得,因为,ka=n，n=1,2,3,4,5,6,于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为,这些波函数也称为能量本征函数。,每个能量有确定值的状态称为粒子的能量本征态。,En,呈驻波状,1.能量只能取分立值,2.当 m 很大（宏观粒子）时，,讨论:,按经典理论粒子的“能量连续”；,但量子力学束缚态能量只能取分立值（能级）,能量连续，量子 经典。,3.最低能量不为零（称零点能）,2.3 势垒穿透,设微观粒子有一定能量 E(设0 E U0)，,我们也应分区求解其波函数：,金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的是一个高度有限的势垒。,下面考虑这样的势场：,区：,（E U,是波动解）,令,第二项是 x=0 势垒处反射的波。,区：,令,“有限”要求 D=0，,（E U,是衰减解）,按经典力学粒子不可能在 区出现！,按量子力学粒子仍有可能在 区出现！,可以想见，原来在区的粒子也可以在势垒的另一边 区出现！这在经典物理是不可想象的！,若势能曲线 如图所示：,有一个有限宽度的“势垒”。,这称为“量子隧道效应”。,区是波动解，,区是指数解，,区也是波动解，但是只有向+x方向的波；没有向-x方向的反射波了。,例如，放射性核的 粒子衰变,扫描隧穿显微镜,若 m、a、(U0 E)越小，则穿透率 T 越大。,实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。,计算结果表明（不证），粒子的穿透率为,经典物理：,量子物理：,x=a 很小时，P 很大，使 E也很大，,*怎样理解粒子通过势垒区?,粒子能量就有不确定量E。,E+E U0,可以有：,粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。,只要势垒区宽度 x=a 不是无限大，,粒子有波动性，遵从不确定关系，,从能量守恒的角度看是不可能的。,以至,谐振子不仅是经典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型。,如：,黑体辐射、,分子振动，,若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能,m 粒子的质量k 谐振子劲度系数,谐振子的角频率,2.4 一维谐振子,零点，,则一维线性谐振子的势能可以表示为：,晶格点阵振动。,1.势能,2.谐振子的定态薛定谔方程,3.谐振子的能量,n=0,1,2,解定态薛定谔方程得,有,能量特点：,(1)量子化，等间距：,(2)有零点能：,(3)当n 时，,对应原理。,能量量子化能量连续,（宏观振子能量相应n 1025，E 10-33J）,4.谐振子的波函数,Hn是厄密（Hermite）多项式，,最高阶是,5.概率密度,波函数,概率密度,线性谐振子 n=11 时的概率密度分布：,经典谐振子在原点速度最大，停留时间短，,振子在两端速度为零，,粒子出现的概率小；,出现的概率最大。,概率密度的特点：,(1)概率在E U 区仍有分布,隧道效应,例如基态位置概率分布在 x=0 处最大，,(3)当n 时，,经典振子在x=0处概率最小。,符合对应原理。,量子概率分布,(2)n小时，概率分布与经典谐振子完全不同,经典概率分布，,
