线性代数课件：线性方程组-第1节--线性方程组.ppt

第 3 章 线性方程组,线性方程组是线性代数的基础内容之一对于一,般的线性方程组，我们需解决以下三个问题：,1如何判别线性方程组是否有解？,2在有解的情况下，解是否唯一？,3在解不唯一时，解的结构如何？,在第1章中我们研究了方程个数与未知量个数相等,的情形，克拉默法则对上述三个问题中的部分给出,回答：,有唯一解，并且解可以用行列式之比表示；对齐次线,性方程组，当系数行列式等于零时，齐次线性方程组,克拉默法则在理论上是一个非常完美的结果，但,它只对方程个数与未知量个数相等的且系数行列式不,为零的线性方程组有效，所以应用范围有局限性，鉴,于此，在这一章中我们要讨论如何解一般的线性方程,当方程组的系数行列式不等于零时，线性方程组,有无穷多解,对于其他问题则没有作出解答,组,第 3.1 节 高斯消元法,高斯消元法的证明,举例,解方程组的步骤,3.1.1 高斯消元法的证明,在本节，我们讨论一般的线性方程组的解法，,一般的线性方程组是指形式为,（1）,的方程组,所谓方程组(1)的一个解就是指由 n 个数,当,组成的有序数组,分别用,代入后，,(1)中每个等式都变成恒等式,称为它的解集合,的解，或者说，求出它的解集合,有相同的解集合，它们就称为同解的方程组,方程组(1)的解的全体,解方程组实际上就是找出它全部,如果两个方程组,系数矩阵,常数项向量,未知数向量,令,则线性方程组（1）的矩阵形式为,当,时，线性方程组（1）称为齐次线性方程组，,否则，称为非齐次线性方程组,矩阵,称为方程组（1）的增广矩阵.,显然，线性方程组与其增广矩阵是一一对应的,在第2章矩阵运算知道，对线性方程组进行初等,变换是不会改变其解的,现在我们用矩阵来证明这个,结论,化为(S,t)，则 Ax=b 与 Sx=t 是同解方程组,定理3.1.1 若将增广矩阵(A,b)用初等行变换,由定理3.1.1，我们可以得到一般线性方程组的解,法：,用矩阵的初等行变换把增广矩阵化为阶梯形，求,出阶梯形矩阵所表达的方程组的解，即得原方程组的,解,这个方法称之为高斯（Gauss）消元法,下面举例利用高斯消元法来求解一般的线性方程,组,例1 解线性方程组,3.1.2 举例,例2 解齐次线性方程组,解,例3 解非齐次线性方程组,解,用高斯消元法解线性方程组的过程中，当增广矩,阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，得到相应的阶,梯形方程组，并用回代的方法来求解,其实，回代的,过程也可用矩阵来表示出来，,这个过程实际上就是对,阶梯形矩阵进一步化简，使其最终化成一种特殊的矩,阵，从这种矩阵中就可直接解出方程组的解,看例1的,阶梯形矩阵,初等行变换,这个矩阵所对应的阶梯形方程组是：,将此方程组中含 x4 的项移到等号的右端，得,即可得原方程组的一般解,因此，这种方法在求解线,性方程组时比较简单，比较方便,可见，上述的这种,阶梯形矩阵在求解线性方程组的过程中起着重要的作,用,将这种阶梯形矩阵取个名称，即称为行简化阶梯,形矩阵，下面给出这种阶梯形矩阵的定义,定义3.1.1 一个行阶梯形矩阵若满足下列两,个条件，则称之为矩阵的行简化阶梯形矩阵,(1)每个非零行第一个非零元素为1；,(2)每个非零行第一个非零元素所在列的其他,元素都为0,都是行简化阶梯形矩阵，在位置的元素可取任意,如,值，包括零值,例4 将下列矩阵化为行简化阶梯形矩阵,解,容易证明：,简化阶梯形矩阵；,（1）任意阶梯形矩阵都可以用初等行变换化成行,位矩阵,（2）可逆矩阵化成的行简化阶梯形矩阵一定是单,3.1.3 解方程组的步骤,通过上面的三个例子，可归纳出解线性方程组,的高斯消元法的一般步骤，现归纳如下：,Step1 将方程组的增广矩阵化为行简化阶梯形,矩阵；,Step2 将行简化阶梯形矩阵非零首元所在列的,未知量称为基本未知量（元），设为 r 个，其余未,知量称为自由未知量（元），共有 n r 个（n 是,未知量的个数）；,Step3 求行简化阶梯形矩阵所对应的线性方程,组的解，把此方程组含有自由元的项移至方程的右,端，得到用自由元表达的基本元，这就是方程组的,一般解；,Step4 为得到所有解的矩阵形式，可以把n r,个自由元依次令为（任意）常数 k1,k2,kn r,对应地解出基本元，即可写出方程组的所有解的矩,阵形式,例5 求解线性方程组,解,例6 求齐次线性方程组的通解,解,