线性常系数齐次递推关系确定一个数列课件.ppt

,第二章 递推关系与母函数,2.1 递推关系 2.2 母函数2.3 Fibonacci 数列2.5 母函数的性质2.6 线性常系数齐次递推关系2.7 关于线性常系数非其次递推关系2.8 整数的拆分,2.1 递推关系,Hanoi塔问题：这是组合数学中的一个著名问题。,n个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上，请设计一种方法并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。,首先要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。,当n=2时，,第一步把A柱的小圆盘移到B柱；,第二步把A柱的大圆盘移到C柱；,第三步把B柱的小圆盘移到C柱，即完成移动。,假定n-1个盘子的转移算法已经确定，对于一般n个圆盘的问题，,首先把A柱上面的n-1个圆盘移到B柱；,然后把A柱最下面的圆盘移到C柱；,最后把B柱的n-1个圆盘移到C柱，即完成移动。,令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。,因此有：,从这个递推关系式可以逐项递推得到所有的h(n)。,根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最后将B的n-1个盘子转移到C上。,下面我们利用母函数来得到h(n)的通项表达式。,假设序列h(n)对应的母函数为H(x)，即,因此有,或者利用,x2:,x3:,x4:,+),同样可以得到：,假设,下面我们用幂级数展开的方法得到h(n).,利用待定系数法容易得到A=1，B=-1，即,即,2.2 母函数,母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。这套方法的系统叙述，最早见于Laplace在1812年的名著概率解析理论。,我们来看如下的例子：两个骰子掷出6点，有多少种选法？,注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则，共有2+2+1=5种不同选法。,或者，第一个骰子除了6以外都可选，有5种选法，一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选法，按乘法法则有51=5种。,但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就不胜其烦了。,设想把骰子出现的点数1,2,6和t,t2,t6对应起来，则每个骰子可能出现的点数与(t+t2+t6)中t的各次幂一一对应。,若有两个骰子，则,其中t6的系数为5，显然来自于,这表明，掷出6点的方法一一对应于得到t6的方法。,故使两个骰子掷出n点的方法数等价于求,中tn的系数。,这个函数f(t)称为母函数。,母函数方法的基本思想：,把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。,再来看下面的例子：,若令a1=a2=an=1，则有,这就是二项式展开定理。,比较等号两端项对应系数，可以得到恒等式：,比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：,中令x=1 可得,又如在等式,两端对x求导可得：,再令x=1 可得,类似还可以得到,还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子已可见函数(1+x)n在研究序列C(n,0),C(n,1),C(n,n)的关系时所起的作用。,定义：对于序列a0,a1,a2,，函数,称为序列a0,a1,a2,的母函数。,例如函数(1+x)n就是序列C(n,0),C(n,1),C(n,n)的母函数。,如若已知序列，则对应的母函数可根据定义给出。反之，如果已经求出序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。,2.3 Fibonacci数列,Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题，数列的本身有着许多应用。,有雌雄兔子一对，假定过两月便可繁殖雌雄各一的一对小兔。问过了n个月后共有多少对兔子？,设满n个月时兔子对数为Fn，其中当月新生兔数目设为Nn 对，上个月留下的兔子数目设为On对，则,但是注意到 On=Fn-1，Nn=On-1=Fn-2，因此有,利用这个递推关系很容易可以得到：,下面我们利用母函数来计算Fn的通项表达式。,设Fn的母函数为G(x)，则,x3:,x4:,+),方程1-x-x2=0的两个根设为：,则有,利用待定系数法易有,因此有,即通项表达式为：,2.5 母函数的性质,设序列ak,bk对应的母函数分别为A(x),B(x)。,则下面的两个性质显然成立：,(1)A(x)=B(x)当且仅当 ak=bk。,(2)若A(x)+B(x)=c0+c1x+c2x2+，则ck=ak+bk。,性质1：若 则 B(x)=xlA(x)。,证:,则,例4 已知,性质2：若bk=ak+l，则,则,例5 已知,性质3：若bk=a0+ak，则,1:,x:,x2:,xk:,+),则,例6 已知,性质4：若bk=ak+ak+1+，则,1:,x:,x2:,+),性质5：若bk=kak，则,性质6：若bk=ak/(1+k)，则,则,例7 已知,性质7：若ck=a0bk+a1bk-1+ak-1b1+akb0，则,1:,x:,x2:,+),令,例8 已知,则,线性常系数递推关系,2.6 线性常系数齐次递推关系2.7 线性常系数非齐次递推关系,2.6.线性常系数齐次递推关系,确定一个数列an的最常用的方法是：,(1)给出一般项an的表达式;,(2)得到该数列的母函数;,(3)建立数列所满足的递推关系。,一个r-阶递推关系定义为：有正整数r 以及一个r+1元函数F，使得对所有nr,有关系式,这样若已知这个数列的前r项a0,a1,ar-1(称为初始条件)，则可以通过递推关系逐项确定整个数列。,定义：如果序列an满足,如果b(n)=0，则称为齐次的，,否则称为非齐次的。,其中 都是常数，,则(1)称为一个k阶线性常系数递推关系，,(2)称为初始条件。,先考虑二阶线性常系数齐次递推关系，即,令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+，则,因此有,与分母相对应的方程 x2+bx+c=0 称为特征方程，它的根,称为特征根。,这样G(x)可以表示为：,(1)如果r1r2，则,下面要根据特征根来进行分类讨论。,因此通项表达式为：,其中常数A,B可以利用待定系数法确定，或者利用初始条件(A+B=a0,Ar1+Br2=a1)来确定。,(1)如果r1r2，且是一对共轭复根，则可以假设,这样就有：,定义两个新的待定常数：,则通项表达式为：,其中k1,k2由初始条件决定。,(2)如果r1=r2，则可以令r=r1=r2=-b/2，,因此通项表达式为：,其中常数C,D可以利用初始条件来确定。,例如，若已知a0,a1，则,例1 求解递推关系：,特征方程为,因此通项表达式可以设为：,解得特征根为,代入初始条件有,因此通项表达式为：,例2 求解递推关系：,特征方程为,因此通项表达式可以设为：,解得特征根为,代入初始条件有,因此通项表达式为：,例3 Fibonacci数列：,特征方程为,因此通项表达式可以设为：,解得特征根为,代入初始条件有,因此通项表达式为：,例4 求解递推关系：,特征方程为,因此通项表达式可以设为：,解得特征根为,代入初始条件有,因此通项表达式为：,接下来讨论一般的k阶线性常系数齐次递推关系：,类似的，令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+，则,+),整理得,其中右端是次数不超过k-1次的多项式，设为P(x)。,定义,为特征方程，它在复数域内刚好有k个根，即,其中k1+ki=k。这些根称为特征根。,这样，等式左边的函数可以表示为：,即,(1)如果所有特征根都互不相同，则,下面同样要根据特征根来进行分类讨论。,因此通项表达式为：,其中常数A1,A2,Ak可以利用初始条件来确定。,(1)如果有一对共轭复根(重数都为1)，重复以前的讨论，不妨假设这一对共轭复根是,则an的通项表达式中对应于,的项为：,其中常数A1,A2和通项表达式中的其他常数一起由初始条件来决定。,(2)如果有重根，不妨假设a1是m重根，则母函数中对应于a1的项可以表示为,因此通项表达式中对应于a1的部分为：,注意到C(j+n-1,n)=C(j+n-1,j-1)是n的j-1次多项式，因此这部分也可以表示为,例5 求下列n阶行列式的值dn：,特征方程为,根据行列式的性质有：,这是一个二重根，因此通项表达式可以设为：,解得特征根为,代入初始条件有,因此n阶行列式的值为：,例6 计算Sn=1+2+n。,显然有 Sn-Sn-1=n，但这不是一个齐次递推关系。,注意到 Sn-1-Sn-2=n-1，两式相减有,再次利用 两式相减得,这是一个三阶线性常系数齐次递推关系。,特征方程为,解得特征根为,这是一个三重根，因此可以设,代入初始条件有,因此有：,例7 计算Sn=12+22+n2。,显然有 Sn-Sn-1=n2，Sn-1-Sn-2=(n-1)2，两式相减有,再次利用 两式相减得,特征方程为,解得特征根为,这是一个四重根，因此可以设,再次利用 两式相减得,代入初始条件有,因此有：,例8 求解递推关系：,特征方程为,因此通项表达式可以设为：,解得特征根为,代入初始条件有,因此通项表达式为：,2.7 线性常系数非齐次递推关系,对于一个k阶线性常系数非齐次递推关系：,与一般的线性问题类似，它的通解可以表示为特解与对应的齐次问题通解的和，即,其中an*是非齐次递推关系的一个特解，而an是对应的齐次递推关系,的通解。,关于齐次递推关系的通解，我们已经讨论完全了。,因此关键在于如何得到非齐次递推关系的一个特解。,下面我们针对一些特殊的右端项来讨论如何得到特解。,例10 求递推关系：,的一个特解。,假设有如下形式的特解,代入原递推关系，并整理后可得,因此有,因此可以得到一个特解,解得,(1)一般来说，当右端项b(n)是n的k次多项式时，特解形式也可以设为k次多项式，即,其中系数Ai由代入非齐次递推关系后确定。,例11 求递推关系 的一个特解。,假设有如下形式的特解,代入原递推关系，并整理后易有,但这是不可能的！,问题出在当1是原递推关系的特征根时，若把特解设为多项式，代入递推关系后，最高次会被消去。,回到上例，因此1是一重特征根，因此特解设为,代入原递推关系，并整理后可得,(2)当右端项b(n)是n的k次多项式时，若1是递推关系的t重特征根，则特解的次数要提高t次，即,易有A=B=7/2，即一个特解为：,例12 求递推关系：,的一个特解。,假设有如下形式的特解,代入原递推关系有,化简得42A=4216，即A=16。,因此可以得到一个特解,例13 求递推关系：,的一个特解。,注意到2是递推关系的一个特征根，因此2n是对应齐次递推关系的解，即若把特解设为A2n，则代入递推关系后，左端为0，无法解出A。,代入原递推关系有,化简求得A=-2。,因此可以得到一个特解,因此可以设特解形式为：,(3)当右端项b(n)是常数乘以sn的形式时，若s是递推关系的t重特征根，则特解形式可以设为,其中系数A由代入非齐次递推关系后确定。,注意这包含了s不是特征根的情形，即t=0.,把上面三种情况综合在一起，我们有下面的结论：,若右端项b(n)=f(n)sn，其中f(n)是n的k次多项式，s是递推关系的t(t=0,1,2,)重特征根，则特解形式可以设为,例14 求递推关系：,的通解。,显然特征根为-5,2，-7不是特征根，因此特解可设为,代入原递推关系解得,注意到对应齐次递推关系的通解为A(-5)n+B2n，因此原递推关系的通解为,其中A,B由初始条件确定。,例15 求递推关系：,的通解。,显然特征根为-5，2，2是1重根，因此特解可以设为,代入原递推关系解得,注意到对应齐次递推关系的通解为A(-5)n+B2n，因此原递推关系的通解为,其中A,B由初始条件确定。,例16 求Sn=12+22+n2。,显然Sn满足Sn-Sn-1=n2，这是一个非齐次递推关系。,由于1是递归关系的1重特征根，因此在设特解时需要把右端非齐次项中的多项式次数提高一次，即设,另一方面，对应齐次递推关系的通解为常数，因此Sn应该是一个三次多项式，即可设为,常数A,B,C,D代入初始条件即可确定。,同样的技巧可以用来计算Sn=13+23+n3等。,叠加原理：设右端项b(n)有如下形式：,则非齐次递推关系的一个特解为,其中ai是右端项为bi(n)时对应的特解。,例17 求递推关系：,的一个特解。,根据叠加原理，问题变为求当右端项分别为424n和2n时的特解，而这前面已经计算过了。因此特解为,2.8 整数的拆分,所谓正整数拆分即把正整数分解成若干正整数的和。,相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。,整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。,拆分可以分为无序拆分和有序拆分；不允许重复的拆分和允许重复的拆分。,例9 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出那几种重量？有几种可能方案？,从右端的母函数知可称出从1克到10克，系数便是方案数。,例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2种：,5=2+3=1+4。,类似的，称出6克的方案也有2种：6=2+4=1+2+3。,例10 求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。,以x4为例，其系数为4，即4拆分成1，2，3之和的允许重复的拆分数为4：,4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2。,注意邮票允许重复，因此母函数为：,例11 若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚，问能称出那几种质量？各有几种方案？,即可称出1至19克的质量，不同的方案数即为对应项前面的系数。,母函数为：,例12 把整数N无序拆分成整数a1,a2,an的和，且不允许重复，求不同的拆分数。,的不同解的个数。,这个问题对应于求不定方程,令bN表示不同的拆分数，则其对应的母函数为：,特殊的，当ai=i时，对应的母函数为：,例13 把整数N无序拆分成整数a1,a2,an的和，允许重复，求不同的拆分数。,的不同解的个数。,这个问题对应于求不定方程,令bN表示不同的拆分数，则其对应的母函数为：,特殊的，当ai=i时，对应的母函数为：,例14 把整数N无序拆分成奇整数的和，允许重复，求不同的拆分数。,这相当于在上例中把ai取成奇数，因此拆分数对应的母函数为：,例15 把整数N无序拆分成2的幂次的和，求不同的拆分数。,这相当于把N拆分成1,2,4,8,的和，但不允许重复。因此拆分数对应的母函数为：,例16 把整数N无序拆分1,2,m的和，允许重复，求不同的拆分数。若要求m至少出现一次呢？,若无要求，由例13可知其母函数为：,若要求m至少出现一次，则拆分数对应的母函数为：,这个等式的组合意义很明显：整数n拆分成1到m的和的拆分数减去拆分成1到m-1的和的拆分数，即为至少出现一个m的拆分数。,显然有,设bN表示N剖分成不同正整数和的剖分数，则其对应的母函数为：,定理1 整数剖分成不同整数的和的剖分数(不允许重复)等于剖分成奇数的剖分数(允许重复)。,设bN表示N剖分成重复数不超过2的正整数之和的剖分数，则其对应的母函数为：,定理2 N剖分成其他数之和但重复数不超过2，其剖分数等于它剖分成不被3整除的数的和的剖分数。,定理3 N被剖分成一些重复次数不超过k次的整数的和，其剖分数等于被剖分成不被k+1除尽的数的和的剖分数。,定理4 对任意整数N，它被无序剖分成2的幂次的和的剖分方式一定唯一。,例17 若有1、2、4、8、16克的砝码各一枚，问能称出那几种质量？有几种可能方案？,这说明用这些砝码可以称出从1克到31克的质量，而且方案都是唯一的。,实际上这说明整数的二进制表示是唯一的。,2.9 Ferrers图像,一个从上而下的n层格子组成的图像，mi为第i层的格子数。,当mimi+1，即上层的格子数不少于下层的格子数时，称之为Ferrers图像，如下图：,每一层至少有一个格子。,绕虚线轴旋转所得的图仍然是Ferrers图像。这样的两个Ferrers图像称为一对共轭的Ferrers图像。,(1)整数n拆分成k个数的和的拆分数，与数n拆分成最大数为k的拆分数相等。,因为整数n拆分成k个数的和的拆分可以用一个k行的图像表示。所得的Ferrers图像的共轭图像最上面一行有k个格子。例如：,利用Ferrers图像可以得到一些关于整数拆分的结果：,24=6+6+5+4+3 5个数，最大数为6,24=5+5+5+4+3+2 6个数，最大数为5,理由和(1)相类似。,因此，拆分成最多不超过m个数的和的拆分数的母函数是：,(2)整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，与n拆分成最大不超过m的拆分数相等。,正好拆分成m个数的和的拆分数的母函数为,(3)整数n拆分成互不相同的若干奇数的和的的拆分数，与n拆分成自共轭的Ferrers图像的拆分数相等。,设整数n拆分为n=(2n1+1)+(2n2+1)+(2nk+1)，其中n1n2nk。,构造一个Ferrers图像，第一行第一列都是n1+1格，对应于2n1+1，第二行第二列都是n2+1格，对应于 2n2+1，依此类推。,这样得到的Ferrers图像一定是自共轭的。,反过来，自共轭的Ferrers图像也可以对应到一些不同奇数的和。,例如17=9+5+3对应的Ferrers图像为：,(4)正整数n剖分成不超过k个数的和的剖分数，等于将n+k剖分成恰好k个数的剖分数。,不超过k层的Ferrers图像的每一层加上一个格子，一一对应到一个刚好k层的Ferrers图像。,2.11 指数型母函数,考虑n个元素组成的多重集，其中a1重复了n1次，a2 重复了n2次，ak重复了nk次，n=n1+n2+nk。从中取r个排列，求不同的排列数。,若r=n，即考虑n个元素的全排列，则不同的排列数为：,但是对于一般的r，情况就比较复杂了。,先看一个具体的问题：假设有8个元素，其中a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次。从中取r个组合，其组合数为cr，则其对应的母函数为：,从x4的系数可知，从这8个元素中取4个组合，不同的组合数为10。,这10个组合可从下面的展开式中得到：,其中4次方项表示了所有从8个元素中取4个的组合方案。,例如 表示一个a1三个a3的组合，表示两个a1两个a3的组合，依此类推。,接下来讨论从这8个元素中取4个的不同排列总数。,以两个a1两个a3组合为例，不同排列数为4!/(2!2!)。,同样一个a1三个a3的不同排列数为4!/(1!3!)。,依此类推可以得到不同的排列总数为：,为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数,从右边很容易可以看出，取2个的排列数为9，取3个的排列数为28，取4个的排列数为70依此类推。,定义：对于序列a0,a1,a2,，函数,称为序列a0,a1,a2,对应的指数型母函数。,这样，对于一个多重集，其中a1重复n1次，a2 重复n2次，ak重复nk次，从中取r个排列的不同排列数所对应的指数型母函数为：,例18 求下列数列的指数型母函数：,例19 由1，2，3，4四个数字组成的五位数中，要求数1出现次数不超过2次，但不能不出现；2出现次数不超过1次；3出现次数最多3次，可以不出现；4出现次数为偶数。求满足上述条件的数的个数。,设满足上述条件的r位数个数为cr，则其对应的指数型母函数为：,由此可见满足条件的5位数共215个。,例20 求由1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数，要求其中3，7出现的次数为偶数，其他1，5，9出现次数不加限制。,设满足上述条件的n位数个数为cn，则其对应的指数型母函数为：,因此,例21 7个有区别的球放进4个有标志的盒子里，要求1，2两个盒子必须有偶数个球，第3个盒子有奇数个球，求不同的方案个数。,这相当于从1234这4个数中取7个做允许重复的排列，即每个数字对应于每个球所放的盒子的序号。,这样的排列数所对应的指数型母函数为：,因此,例22 r个有标志的球放进n个不同的盒子里，要求无一空盒，问有多少种不同的分配方案？,这相当于从1到n这n个数字中取r个做允许重复的排列，即每个数字对应于每个球所放的盒子的序号。,这样的排列数所对应的指数型母函数为：,要求无一空盒即相当于要求每个数字至少出现一次。,因此,