第六讲幂级数课件.ppt
三、幂级数及其收敛性,(1)形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,为幂级数的系数.,称,令,则幂级数化为,不失一般性，下面讨论幂级数,(2)幂级数的收敛半径与收敛域,任何幂级数在0都收敛。,由例1知其收敛域是一个区间。,定理 1.(Abel定理),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,在,的一切 x,该幂级数也发散.,点发散,则对满足不等式,收敛,发散,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家,近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中,他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,证:设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0,使,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.,也收敛,下面用反证法证之.,假设有一点,满足,且使级数收敛,级数在点,的 x,原幂级数也发散.,则对一切满足不等式,则由前可知,也应收敛,与所设矛盾。,证毕,设,发散,讨论：在界点处函数项级数是否有相同敛散性？,答：在界点处级数可能收敛，也可能发散，在两个界点处的敛散性未必相同，要单独讨论.,因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，,后来遇到的全部是发散点.,起初只遇到收敛点，,定义1,若幂级数,在,这个R称为幂级数,的收敛半径，而把开区间（-R,R）称为收敛区间。,幂级数在(,+)收敛，,规定,R=0；,幂级数仅在 x=0 收敛，,R=。,(1)幂级数的收敛域是区间；,(2)幂级数,在(a,b)内收敛，,在(a,b)外发散，,例3.设,在,处收敛，,则此级数在,处收敛性如何？,（A）条件收敛,（B）绝对收敛,#2012022801,（C）发散,（D）太难确定了,例3.设,在,处收敛，,则此级数在,处收敛性如何？,解:令,设级数,的收敛半径为R。,收敛，,由阿贝尔定理,1.已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径性质为,思考,#2012022802,幂级数 由它的系数数列 所确定，,故其收敛半径R也应由 唯一确定,定理2.若,的系数满足,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,则,证:,1)若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,即,时,因此级数的收敛半径,2)若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若,则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数,因此,因此,注意（1）缺项的幂级数不能直接用此定理,解决：,（ii）用一般级数收敛域求法,（i）作变换,（2）也可以由根值法求收敛半径,对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x=1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1.求幂级数,例2.,的收敛半径.,解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由比值,例3.,的收敛域.,解:令,级数变为,当 t=2 时,级数为,此级数发散;,当 t=2 时,级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,例4.,求下列幂级数的收敛域.,解:(1)令,级数变为,于是,的收敛区间为,解:(1)令,级数变为,于是,级数,在,收敛，,2.在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,它的收敛半径?,思考,#2012022803,2.在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在?,答:不能.,因为,当,时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明:,比值判别法成立,根值判别法成立,三、幂级数的性质,1.四则运算性质,其中,设有幂级数 与，它们的收敛半径分别为 与，记，且.则,(1),(2),说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,2.幂级数的和函数的分析性质,(4.8),性质1 幂级数 的和函数 在其收敛域I上连续.即有 或,(4.7),性质2 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并且可以逐项积分，即有,逐项求极限,性质3 幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导，并且可以逐项求导，即有,并且逐项求积或逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径.,(4.9),反复应用上述结论可得，幂级数 的和函数 在其收敛区间 内具有任意阶导数.,你发现这三条性质的条件有什么不同吗？,逐项求极限、逐项积分是在收敛域I上；,而逐项求导限制在收敛域区间(-R,R)内.,例1.,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发,散,例2.求级数,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及,收敛,因此由和函数的连续性得:,而,及,解:级数的收敛半径 R+.,例3.,则,故有,故得,的和函数.,因此得,设,例4.,解:设,则,而,故,内容小结,1.求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求.,乘法运算.,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十一章,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1.,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2.,若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,证:设 f(x)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,第三步 判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,例1.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,例2.将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,类似可推出:,(见P281页),例3.将函数,展开成 x 的幂级数,其中m,为任意常数.,解:易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数 m,推导,则,为避免研究余项,设此级数的和函数为,称为二项展开式.,说明：,(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.,(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理.,由此得,对应,的二项展开式分别为,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:因为,把 x 换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,例5.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,得,例6.将,展成,解:,的幂级数.,例7.将,展成 x1 的幂级数.,解:,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,当 m=1 时,思考与练习,1.函数,处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级,数”有何不同?,提示:后者必需证明,前者无此要求.,2.如何求,的幂级数?,提示:,例3 附注,备用题 1.,将函数展开成 x 的幂级数,解:,x1 时,此级数条件收敛,因此,2.将,在x=0处展为幂级数.,解:,因此,
