第2章功和能机械能守恒课件.ppt

2.4 功和能 机械能守恒,1.能量转换与守恒定律，保守力与耗散力；2.由势能函数确定保守力场。,1.变力做功，保守力的势能表达式；2.质点（系）的动能定理、功能原理、机械能守恒定律 及其应用。,掌握：,了解：,一、力的功,1.恒力的功,力对物体做功：,力 对质点做功：,如果 与位移 有一定夹角时：,变力 推动质点运动（位移）做功？,2.变力的功,方法：将曲线分割成许多小段。每段位移为：,每段质点受力近似看成恒力：,每段恒力做功为：,将每段功相加，得力做功的近似值：,取：,令，得到：,变力做的功等于力沿曲线的线积分！,.功是过程量，与力和路径有关。,.功为标量，没有方向，但有正负。,功的微分形式（元功）：,说明,.力与参照系无关，但位移与参照系有关，故力做功 与参照系有关。,.合力的功等于各分力的功的代数和。,.直角坐标系,.自然坐标系,元功：,ab的功：,元功：,ab的功：,.平均功率：,瞬时功率：,瞬时功率等于力与物体速度的标积!,例：一人从10m深的水井把10kg的水匀速提上来，由于桶 漏水，每升高1m漏0.2kg，问把水提到井口需做功多 少？（不计桶重）,解：建立如右图所示的坐标系。,则力做的功：,质点质量的变化：,m=10-0.2y（kg）,拉力：,F=mg=(10-0.2y)g（N）,yo,例：劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为m的 小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触，今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止，求 此过程中外力做功。,解：以手开始提的位置为原点建立竖直向上的坐标系oy。,拉力做功为：,得：,小球脱离地面时提升距离h为：,解：沿x轴由(0,0)(2,0)，此时y=0，dy=0，则：,例：质点所受力，求质点由(0,0)(2,4)点的过程中力做功：先沿x轴由(0,0)(2,0)点，再平行 y轴由(2,0)(2,4)点；沿连接(0,0)、(2,4)的直线；沿 抛物线y=x2由(0,0)(2,4)点。（单位为国际单位）,由原点至(2,4)的直线方程为y=2x，则：,因y=x2，则：,由(2,0)(2,4)：,解：小球在力 的作用下作圆周运动。在自然坐标系中：,例：小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上 均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成角。求：的功，重力的功。,二、质点的动能定理,在ab过程总功：,对物体做功,速度变化,动能定理：外力对质点做的功等于质点动能的增量。,在自然坐标系中,区别：功为过程量，动能是状态量。,.动能定理提供了一种计算功的简便方法。,.功与动能跟参考系有关，具有相对性。,说明：,.功与动能的区别和联系：,联系：功是动能变化的量度。,.动能定理适用于惯性系。,.动能定理的微分形式：,功率：,解：以钉为对象，以木板上界面为原点建立如图oy坐标系。,例：用铁锤钉钉子，设木板对钉子的阻力与钉子进入深度 成正比。第一次击打钉子钉入的深度为1.0cm，第二次 击打力度与第一次相同。问第二次钉子进木板的深度？,钉所受阻力为：f=-ky（k为比例系数）,锤两次击打力度相同，对钉做功相同：,阻力对钉做功：,设第二次钉钉子的深度为h，对两过程应用动能定理：,k为正常数，为质点的位矢。该质点从 处被释 放，由静止开始运动，求它到达无穷远时的速率。,例：一个质量为m的质点，仅受到力 作用，式中,解：设无穷远处质点的速率为V，根据动能定理，有：,例：如图，初始时按住质量为M的绳子，使之静止垂在桌 外的长度为b，绳子总长度为L。当松手后绳子下滑，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。,由动能定理得：,解：方法1动能定理。以桌面为原点建立oy坐标系。设t时刻绳下垂长为y，该段绳的质量为m，绳速为v，绳全部离开桌面时的速率为vL。,下滑过程重力做功：,而：,重力所做元功：,方法2牛顿定律,由牛顿定律得：,三、保守力做功与势能,万有引力、重力、弹性力等做功表达式？,1.万有引力做功,以M处为原点o，t时刻引力做元功为：,AB引力做功：,物体由。,o,有心力,力做功不满足上式：非保守力（耗散力）,只与始末位置有关，与路径无关！,重力功：,引力功：,弹力功：,保守力：,势能函数,保守力做功等于势能增量的负值！,令，则：,要人为选取零势能点，势函数才能唯一地表示各点势能！,将r1改写成r0，r2改写为r，则任意位置r处的势能为：,重力势能（地面为零势能点）：,弹性势能（弹簧原长为零势能点）：,引力势能（无穷远为零势能点）：,在保守力场中，质点的动能与势能可以相互转化。,保守力作正功时（A0）：,保守力作负功时（A0）：,AB过程保守力做功,2.物体在某一位置的势能只有相对意义，随零势能点位置 的不同而不同。两个位置的势能之差有绝对意义。,1.势能是属于以保守力相互作用的物体系统共有的能量，是相互作用能。,3.保守力做功与势能关系的微分形式：,说明：,例：质量为m的物体处在距地面 2R 处。求地面为零势能点 时的势能。（R为地球半径）,得：,距地面 2R 处的势能：,另法：以无穷远为零势能点的引力势能：,取Ep(R)=0，得：,解：由，引力势：,以弹簧原长为零势能点的弹性势能：,解：以平衡位置为原点o 建立ox坐标系，设平衡时弹簧伸长量设为x0。有：,例：如图，劲度系数为k的轻弹簧下挂质量为m的物体。求 势能零点位于平衡位置o处时系统的势能。,则x处的系统总势能：,取Ep(x0)=0，得：,四、保守力与势能的关系,功与势能的微分关系：,在直角坐标系：,梯度算符：,1.质点在轨道上任一位置时，曲线显示出 系统所具有的势能值；2.势能曲线上任一位置处的斜率的负值，即为质点在该处 所受的保守力；如：一保守系统的质点沿x方向作一维运动，则有：3.势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零；4.受力为零的位置称为平衡位置。势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置；势能曲线有极小值的位置点是稳定平衡位置。,势能曲线*,弹性势能：,弹性势能曲线,五、质点系动能定理,n个质点组成的质点系 mi，,各质点速度为,质点系的动能：,第i质点受力为：,外力,第i质点应用动能定理有：,质点系的动能定理,注意：先求每个质点的功，再求总功。不能先求合力再求功。因各质点的元位移不同，不能作为公因子提到求和符号之外。,即：一般内力做功总和,注意：一对内力所做功之和等于力与相对位移的标积，不一定等于零。,一对内力有：,两质点间元功之和为：,相对位移,即有：,将内力做功分为保守内力做功与非保守内力做功，即：,非保守内力功,保守内力功,六、质点系的功能原理,既然：,系统的机械能:,表明：系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力 的功之和。,质点系的功能原理,七、机械能守恒定律 能量转换与守恒定律,对于功能原理：,若：,则：,系统的机械能守恒,或：,孤立系统中非保守内力不做功时，系统的动能与势能 可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但 系统的总机械能为恒量。,非保守内力做功会使系统的机械能发生变化！,孤立系统中机械能增加或减少时，就有等量的非机械能减少或增加，从而保持系统的总能量（机械能与非机械之和）不变。,四、能量转换和守恒定律,对于孤立系统：,则功能原理为：,能量转换和守恒定律,摩擦内力做功：,例：如图，质量为M的卡车载质量为m的木箱以速率v沿平 直路面行驶，因故紧急刹车车轮立即停止转动，卡车滑 行距离L后静止，木箱相对卡车滑行了l 距离。已知木箱 与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为1、2。求L 和l。,解：视卡车与木箱看作质点系。,据质点系动能定理，有：,外力F做功：,对木箱应用动能定理：,例：如图，质量为M的滑块置于斜面底端A处，斜面倾角 高度为h。今有质量为m的子弹以速度v0水平射入滑块 并留在其中，且使滑块沿斜面滑动，摩擦系数为。求 滑块滑出顶端时的速度大小。,解：子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒，设滑块得到的初速度为v1有：,令滑块滑出顶端时的速度为v2，取A点为重力势能零点，由功能原理有：,联立上式得：,例：打桩机锤的质量m，将长L、质量M、半径r的桩打入地下，其侧面单位面积受泥土阻力为k。求：桩由于自重下沉深度h1；在桩稳定后，将锤升至距桩顶端h处让其自由下落击桩，若锤与桩发生完全非弹性碰撞，第一锤使桩下沉深度h2；若桩已下沉 l 时，锤再一次下落击桩后反弹起h，此时已非完全非弹性碰撞，桩的下沉深度h3。,解：取桩和地球为系统，桩初始位置的质心为势能零点，由功能原理：,桩下沉距离：,锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为v，由动量守恒定律有：,锤下落的末速设为v0：,联立上式得桩再次下沉的深度：,第一锤能使桩下沉深度设为h2，下沉过程由功能原理：,联立上式得桩下沉深度：,再次击桩时的碰撞是一般非弹性的，碰后锤的速率v1为：,对桩下沉过程中再次应用功能原理，得：,桩的速率设v，由动量守恒有：,例：如图，质量m长 l 的绳放在水平桌面上，绳与桌面间摩 擦系数为。求：绳下垂段 l0 至少多长时，绳开始下 滑；当绳全部离开桌面时绳的速率v。,解：绳下垂部分的重力大于桌面的静摩擦力，绳开始下滑：,当下垂绳长为y时，桌面对绳的摩擦力为：,以桌面为重力势能零点，由功能原理有：,摩擦力做功：,解：取AB弹簧+地球为系统。弹簧原长为l，取原长时A位置为原点建立ox系，此处为重力与弹力势能零点。A的平衡位置为x0。,例：如图，用弹簧连接质量分别为m1和m2的木板A和B。求 对A至少需施加多大的压力F，才能因突然撤去它使 跳起过程中提拉起B？,初态,初态：,末态：,因机械能守恒：,