第6章-线性变换和特征值课件.ppt

第六章 线性变换和特征值,6.1 n维空间的线性变换6.2 方阵的特征值和特征向量 6.3 相似矩阵与矩阵的对角化 6.4 实对称矩阵的对角化 6.5 二次型及其标准形 6.6 奇异值分解简介 6.7 应用实例 6.8 习题,6.1 n维空间的线性变换,定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x,按照一定的对应法则T，总有Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T 为从集合X到集合Y的映射，记为 或，称y是X在映射T下的像，x是y在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作。,定义6.2 设 是实数域上的向量空间，T是一个从 到 的映射，若映射T满足 1)2)则称T为从 到 的线性映射，或称线性变换。线性映射就是保持线性组合的映射。,例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 即 都是 的线性映射。证：利用矩阵的数乘及乘法运算，是 的映射。显然有 及 即T是 的线性映射。,例6.2 向量空间V中的恒等变换 是线性变换。证明：设，则有 所以恒等变换E是线性变换。,6.2 方阵的特征值和特征向量,6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算 定义6.3 设 是 阶方阵，若存在数 和 维非零列向量，使得（6-1）成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向量 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将（6-1）式变形为(或)（6-2）,满足这个方程的 和 就是我们要求的特征值和特征向量。（6-2）式是含个 方程的 元齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是（6-3)记作（6-4）称 为方阵A的特征多项式，方程 称为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程的根。由于 是 的 次多项式，所以方程 在复数域内有 个根（重根按重数计算）。,矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤：第一步：求特征值。先通过行列式（6-4）的计算，写出其特征多项式，这一步的难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需要很大的计算工作量；第二步：并进行因式分解 然后求出特征方程 的全部根 这就是A的所有特征值；第三步：把每个特征值 分别代入方程，求齐次线性方程组 的非零解，它就是A对应于特征值 的一个特征向量（不是惟一的）。,例6.4 求矩阵 的特征值和特征向量。解：A的特征多项式 所以A的全部特征值为 对于特征值 解齐次线性方程组，即 可得它的一个基础解系,所以 都不为 零）是A对应于特征值 的全部特征向量。对于特征值，解齐次线性方程组，得它的一个基础解系，所以 是A对应于特征值8的全部特征向量。,6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质 性质1 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值。性质2 设 是矩阵A的 个特征值，则 1)2)称 为矩阵A的迹，记为,性质3 设 为方阵A的特征值，则 1）当A可逆时，是 的特征值 2）是A的伴随矩阵 的特征值 3）是 的特征值；进而有矩阵A的 次多项式 的特征值为,例6.5 设矩阵 1)求及的特征值；2)进一步求矩阵的特征值。解：1）由A的特征方程 可得A的全部特征值为1，2，-1。的特征值为，即-2,13,-8。,2）解法1：先计算，令，求出特征方程 的根即可。解法2：因为 所以A可逆，为对应于A的特征值 的特征向量，则 又 所以 从而矩阵 的特征值为，即,定理6.1 设 为方阵A的互不相同的特征值，分别为对应于特征值 的特征向量，则 线性无关。推论 矩阵A的 个互不相同特征值所对应的 组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。,6.2.3 特征值和特征向量的MATLAB求法 MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向量各步骤的函数。这三个步骤是：（1）用f=poly(A)可以计算方阵A的特征多项式系数向量f；（2）用lamda=roots(f)可以求特征多项式f的全部根lamda（表示为列向量）；（3）用函数p=null(lamda*I-A)直接给出基础解p,将n个特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩阵。,取例6.4为典型，解题的程序ea604为 A=3,2,4;2,0,2;4,2,3;f=poly(A),r=roots(f),r=real(r)B1=r(1)*eye(3)-A;B1=rref(B1,1e-12),p1=null(B1,r)B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,r)B3=r(3)*eye(3)-A;p3=null(B3,r),程序运行的结果为：f=1.0000-6.0000-15.0000-8.0000(特征多项式系数向量)r=8.0000(三个特征根即特征值,后两个是重根)-1.0000+0.0000i(微小虚数可用r=real(r）去除)-1.0000-0.0000i,实际上MATLAB已经把求特征根和特征向量的步骤集成化，其中也包括了处理计算误差的功能，所以一条命令就解决问题了。这个功能强大的子程序名为eig(特征值英文是eigenvalue,特征向量英文是eigenvector)，调用的形式是：p,lamda=eig(A)输出变元中的lamda是特征值，p是特征向量。把例6.4的系数矩阵A代入，即可得到：,6.3 相似矩阵与矩阵的对角化,定义6.4 设A和B是 阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得，则称矩阵A与B相似，把A变成 的变换称为相似变换，可逆矩阵P被称为把A变成B的相似变换矩阵。相似矩阵具有以下性质。设矩阵A与B相似 1)2),3)A与B的迹相同 4)若A可逆，则B必可逆，且 也相似 定理6.2 设矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值.推论 若 阶方阵A与对角矩阵 相似，则 是矩阵A的全部特征值。此时，必存在可逆矩阵P，使得，称为把矩阵A对角化，也称矩阵A可对角化。,定理6.3 阶方阵A可对角化的充分必要条件A是有 个线性无关的特征向量。证明：必要性 设 阶方阵A可对角化，则存在可逆矩阵 使，从而 即 于是有，所以 是方阵A的特征值，是对应于特征值 的特征向量。由于矩阵P可逆，det(P)0，必线性无关。,充分性 设 是A的 个特征值，是与之对应的 个线性无关的特征向量，令，则有 即 所以方阵A可对角化。推论 若 阶方阵A的特征值互不相同，则方阵A一定可对角化。,例6.7 判断矩阵 能否对角化？解：由 得A的特 征值为 求得 对应的特征向量，再求 对应的特征向量。把 作行阶梯变换，得到 相当于方程组 它只有一个线性无 关的特征向量,即A总共只有两个线性无关的特征向量，所以A不能对角化。,用MATLAB解此题时，要检验特征向量组的秩，判断独立的特征向量数。故程序如下：A=-1,1,0;-4,3,0;1,0,2,p,lamda=eig(A),rp=rank(p)运行的结果是：由于特征向量组的秩为2，说明只有两个线性无关的特征向量，因此不能对角化。,6.4 实对称矩阵的对角化,定理6.4 实对称矩阵的特征值必为实数。定理6.5 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量必正交。证明：设A为n阶实对称矩阵，是矩阵A的两个不同的特征值，是矩阵A对应的特征向量，即 因为 于是 由于，所以，即 正交。,定理6.6 设A为n阶对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得 这里 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。推论1 设A为n阶实对称矩阵，是A的 重特征值，则A必有 个对应于特征值 的线性无关的特征向量.推论2 实对称矩阵一定可对角化.推论3 n阶实对称矩阵A，存在n个正交单位特征向量。,n阶实对称矩阵对角化的步骤 第一步：解特征方程，求出A的全部互不相等的特征值 它们的重数依次为 第二步：求出矩阵A的特征值 对应的特征向量，得到 个线性无关的特征向量；第三步：将每个特征值 对应的 个线性无关的特征向量正交化、单位化，这样得到n个两两正交的单位特征向量；第四步：令，P是正交矩阵，使得。必须注意：中对角元素的排列次序与P中列向量的排列次序要一致。,例6.10 设解：当 时，即 解得 单位特征向量可取为,解得 为任意常数。基础解系中的两个向量恰好正交,只需单位化,可得两个单位正交的特征向量,从而得到正交矩阵 有 本例用MATLAB解时的程序为：A=4,0,0;0,3,1;0,1,3;p,lamda=eig(A)程序运行的结果与笔算的相同，为：,6.5 二次型及其标准形,6.5.1 二次型的概念 定义6.5 含有n个变量 的二次齐次函数：(6-10)称为n元二次型，简称二次型。为实数时，称 为实二次型；为复数时，称 为复二次型。本章书仅讨论实二次型。,令，则二次型（6.10）可写成 用矩阵形式表示为（6-11）其中,例 6.13 写出下列二次型的矩阵 解：由已知的二次型系数，得矩阵元素为：故得的 矩阵为,6.5.2 二次型的标准形及惯性定理 定义6.6 若秩为r 的二次型 通过可逆线性变换x=Cy 可化为只含平方项的二次型，即(6-12)那么，此二次型称为 的标准形，标准形中所含平方项的个数等于二次型 的秩.例6.15 设二次型 分别作下列二个可逆线性变换，求新二次型.,1)=2)解：1）将线性关系直接代入并化简、整理,2）由于 因此，此例表明：二次型 的标准形不是唯一的。,*实二次型的规范形的定义：对秩为r的实系数二次型，设它通过可逆线性变换x=Cy化为下面的标准形：其中()0，若再作如下的可逆变换：则上面的标准形可进一步化为如下的形式：这个二次型称为实二次型的规范形，显然它是唯一的.,定理6.7（惯性定理）设秩为r的实二次型，通过可逆线性变换，可化为如下的标准形：其中 0()，则数p称为实二次型 的正惯性指数，q=r-p称为负惯性指数.惯性定理是指：实二次型的标准形中正系数的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数也是唯一确定的，它就等于负惯性指数。,6.5.3 化实二次型为标准形的方法 1）正交变换法 正交变换法的具体步骤与求特征值和特征向量相仿 第一步：写出二次型 的矩阵A,并由特征方程 求出全部互不相同特征值 第二步：求出A的对应于 的特征向量，即求齐次线性方程组 的基础解系。如果某些 是重根，则将其对应的特征向量正交化、单位化。这样便可得到n个两两正交的单位特征向量,第三步：令，则P是正交矩阵，二次型 通过正交变换x=Py化为标准形 上述步骤也可用eig函数来完成。其调用格式为：P,lamda=eig(A)P和lamda将分别给出特征向量组（即正交矩阵）和特征向量。此外MATLAB中还提供了一个用以计算正交变换矩阵的函数Rorth(A)。它的结果和eig函数算出的特征向量矩阵是一样的，只是排列的顺序不同.,2）配方法 如果二次型中含有变量 的平方项，则先把含有 的各项集中，按 配方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项.如果二次型中不含平方项，但某个 则先作一个可逆线性变换：使二次型 出现平方项，再按上面方法配方。,例6.16 设 令A的二次型 等于常数，这是一个椭圆的方程，其图形如图6.1(a）所示。现要求将它变为标准形并画出图形。,图6.1 两种二次型经坐标变换到主轴方向,（1）正交变换法 如果做一个基坐标的旋转变换，让坐标轴转过45度，这个椭圆的主轴就与新的坐标方向,相同，如图6.1（b）所示，其方程将变为标准形椭圆方程。从解析几何知此变换关系为：cos sin sin cos 写成矩阵形式yPx 其中,或取其逆变换，写成xRy 其中 用此变换式代入二次型的表达式，有 本题的数据是45度，得到,便有 及 所以从几何图形上寻找二次型主轴的问题，在线性代数中就等价于：使矩阵A经过正交变换R实现对角化。（2）用配方法,令 得到 它所对应的变换 图6.1中的（c）和（d）表示了对另一种双曲线二次型的坐标变换，它的方程为：,图6.2 两种对角化方法的不同变换：正交变换法，图形相似（左），配方法，图形崎变（右）,6.5.4 二次型的正定和负定 图6.3 二次型曲面的几种类型,一般的，二元变量的二次圆锥曲线 在非退化（指它的二次项系数不全为零）情况下，它的类型决定于其二次项的对称矩阵A的特征值。具体如下：,定义6.8 若对任给定的 1）恒有，则称 为正定（负定）二次型，此时对称矩阵A称为正定（负定）矩阵；2）恒有，则称 为半正定（半负定）二次型，此时对称矩阵A称为半正定（半负定）矩阵。3）其它的二次型称为不定二次型。定理6.8 n元实二次型 正定的充要条件是它的标准形中的n个系数全为正，或 的正惯性指数为n。,证明：设 经过可逆线性变换化为标准形，充分性 若，对任意 有，所以 必要性 设 为正定二次型。假设有,取 时，从而，这与 是正定的相矛盾。所以 推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全大于零。,定义6.9 设 为n阶方阵，依次取A的前k行与前k列所构成的行列式 称为A的k阶顺序主子式。定理 6.9 设n元实二次型 为正定，则下列结论等价：1）对任意n维非零向量 2）的标准形中的n个系数全为正；3）实对称矩阵A的特征值全大于0；4）正惯性指数p=n；,5）实对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于0，即 结论5）称为霍尔维茨定理。类似地，n元实二次型 为负定，则下列结论等价 1）的标准形中的n个系数全为负 2）实对称矩阵A的特征值全小于0 3）负惯性指数q=n 4）实对称矩阵A的各阶顺序主子式中，奇数阶的全小于0，偶数阶的全大于0,例6.19 判断二次型 的负定性.解：二次型 的矩阵为 由 可知 为负定二次型 注:本题也可通过判断-A为正定矩阵来解决,例6.20 求 的取值，使得二次型 为正定二次型.解：二次型 的矩阵为 由于 为正定二次型，故所有顺序主子式全大于零，即 解出，即为所求.,6.6 奇异值分解的简介,定义6.10 设矩阵，若存在非负实数 和n维非零向量 m维非零向量v使得(6-13)则称 为A的奇异值，u和v分别称为A对应于奇异值 的右奇异向量和左奇异向量。由式（6-13）可得(6-14)(6-15),定理6.10（矩阵的奇异值分解）设A是mn矩阵，设 是A的奇异值，则，其中U是m阶正交矩阵，V是n阶正交矩阵，而 此式也可以表示为：(6-16)其中，是矩阵U的第i列 是矩阵V的第j列.,MATLAB中设有奇异值分解函数，其调用格式为U,S,V=svd(A)，其中U是mm归一化正交矩阵，S是mn对角矩阵，它的左上方是rr rmin(m,n)对角矩阵，其r个特征值已按递减规则，其余各块元素都是全零。排列的V是nn归一化正交矩阵。根据S中大于门限值的特征值数目，就可以求出矩阵的数字秩，rank(A)就是按这个思路编写的。在大于门限值的特征值中，最大和最小的两个元素之比，就是矩阵的条件数，可以调用r=cond(A)算出。,例6.21 设 求它的各奇异值，及条件数。解：这样阶次的问题，只能用计算机来解了。程序为 A=2,7,9,-5,4;-9,-9,5,3,-2;-2,5,-1,-3,5;-4,9,0,9,-4 U,S,V=svd(A),condA=S(1,1)/S(4,4)运行结果为：,不难验证：U,V都是规范正交矩阵，都有 A的四个奇异值为：16.5933 13.9809 11.2638 5.9432，A的条件数为：condA=16.5933/5.9432=2.7920,6.7 应用实例,6.7.1 人口迁徙模型 假设在一个大城市中的总人口是固定的，人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？,解：这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量 其中 为市区人口所占比例，为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k0的初始状态为：一年以后，市区人口为 郊区人口 用矩阵乘法可写成：,从初始时间到k年，A不变，因此 用下列MATLAB程序ea661进行计算：A0.94,0.02;0.06,0.98 x00.3;0.7,x1A*x0,x10A10*x0,x30A30*x0,x50A50*x0 程序运行的结果为：,无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，可以改变一下坐标系统，在这个坐标系统中可以更清楚地看到矩阵乘幂的效果，为此将A对角化。令，其中为对角矩阵，则有 于是 对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次 所以，它就很容易计算。键入p,lamda=eig(A)，得到,令于是整理后得到,式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k27，这第二项就可以忽略不计，从而得到 可见，适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，使得问题简单化。系统进入稳态的时间取决于特征值 而达到的稳态值取决于特征向量 这也是方阵求特征值的基本思想之一。,