空间向量的标准正交分解与坐标表示32空间向量基本定理课件.ppt

,3,向量的坐标表示和空间向量基本定理,3.1,空间向量的标准正交分解与坐标表示,3.2,空间向量基本定理,墙,墙,地面,下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电,灯位置的方法,.,z,1,3,4,x,4,y,1,5,O,A(4,5,3),的坐标怎么表示？,向量,OA,2,3,4,2,1,2,3,1.,掌握空间向量的标准正交分解与及其坐标表示,.,(,重点,),2.,理解空间向量基本定理及其应用,.,（重点）,3.,理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的,向量唯一表示，并能用给定的基底表示空间向量,.,探究点,1,空间向量的标准正交分解,思考,：,我们学习过平面向量的标准正交分解，,空间向量应该怎样分解呢？,x,z,y,B,A,O,D,C,P,i,?,k,?,j,?,a,?,a,?,i,j,k,x,y,z,a,OP,a.,r,r,r,uu,u,r,r,r,如图，在给定空间直角坐标系中，,令,分别为空间直角坐标系中,轴，,轴，,轴正方向上的单位向量，设,是空间任意向量，作,?,过点,P,作坐标平面,yOz,，,xOz,，,xOy,的平行平面，分别交,x,轴，,y,轴，,z,轴于,A,，,B,，,C,三点,.,.,.,.,.,k,z,j,y,i,x,OP,k,z,OC,j,y,OB,z,y,i,x,OA,x,i,OA,OC,OB,OA,DP,AD,OA,OP,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,所以,，使得,和,同理，存在唯一实数,，使得,唯一实数,性质，存在,共线，根据向量共线的,与,因为,根据向量加法运算，有,探究点,2,空间向量的坐标表示,?,?,i,j,k,x,y,z,a,x,y,z,a,xi,yj,zk.,a,xi,yj,zk,a,i,j,k,.,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,在给定的空间直角坐标系中，令,分别为空间直角坐标系中,轴，,轴，,轴正方向上的单位向量，设,是空间任意向量，,存在唯一一组三元有序实数,使得,我们把,叫作,的标准正交分解，把,叫作标准正交基,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,y,z,a,a,x,y,z,.,a,x,y,z,a,.,r,r,r,r,叫作空间向量,的坐标，记作,叫作向量,的坐标表示,?,?,1,.,ABCD,A,B,C,D,AB,2,BC,3,AA,5.,1,C,AC,i,j,k,2,AD,.,uuu,r,r,r,r,uuu,u,r,例,如图，在直角坐标系中有长方体,且,，,，,（,）写出点,的坐标，给出,关于,的分解式；,（,）求,的坐标,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,5,0,3,5,0,3,2,5,2,3,5,2,3,5,2,3,5,3,2,),1,(,）,（,所以,），,的坐标为（,）因为点,（,；,）,（,从而,），,的坐标为（,所以点,，,，,，,因为,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,D,A,D,k,j,i,C,A,C,A,A,BC,AB,?,?,?,解,:,D,B,A,C,D,?,C,?,A,?,B,?,x,z,y,提示：,向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影,.,0,0,b,b,a,b,a,cos,a,b,a,b,.,r,r,r,r,r,r,r,r,r,一般地，若,为,的单位向量，称,为向量,在向量,上的投影,?,?,问题,1,：,空间向量的坐标与它的投影有什么关系？,问题,2,：,向量可以平移，向量,在坐标系中的坐标唯一吗？,提示：,唯一,.,在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解,不变，故其坐标也不变,.,问题,3,：,建立以,O,为原点的空间直角坐标系后，向量,的坐,标与点,P,的坐标有什么关系？这种关系的建立有什么优点？,提示：,在以,O,为原点的空间直角坐标系中，向量的坐标,（,x,y,z),与其终点,P,的坐标相同，这样就实现了空间基底到空,间坐标系的转换,.,用坐标表示空间向量，可以把空间向量坐标,化，然后再通过计算解决问题，为解决空间向量问题提供了,新的思路,.,p,r,OP,u,u,u,r,2.,ABCD,A,B,C,D.,1,CA,CB,2,CA,BC,.,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,r,例,如图，已知单位正方体,求：,（,）向量,在,上的投影；,（,）向量,在,上的投影,?,?,?,?,?,?,?,1,CA,CB,CA,cos,A,CB,CB,1;,2,CA,BC,CA,cos,-,A,CB,-,CB,-1.,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,r,（,）向量,在,上的投影为,（,）向量,在,上的投影为,（,）,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,C,D,B,D,?,C,?,A,?,B,?,解,:,探究点,3,空间向量基本定理,思考：,我们知道，平面内的任意一个向量,都可,以用两个不共线的向量,来表示（平面向量基,本定理）,.,对于空间任意一个向量，有没有类似的结,论呢？,a,b,p,x,y,z,O,i,r,j,r,k,r,Q,P,p,u,r,.,OP,OQ,zk,?,?,.,OQ,xi,y,j,?,?,.,OP,OQ,zk,xi,y,j,zk,?,?,?,?,?,由此可知，如果,是空间两,两垂直的向量，那么，对空间任一,向量,，存在一个有序实数组,（,x,y,z,）使得,我们称,为向量,在,上的分向量,.,i,j,k,p,.,p,xi,y,j,zk,?,?,?,xi,y,j,zk,i,j,k,p,问题：,在空间中，如果用任意三个不共面向量,代替两两垂直的向量,，你能得出什么结论？,a,b,c,i,j,k,空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个,基底,.,空间向量基本定理：,如果三个向量,在空间中不共面，那么对空间,任一向量,，存在一个唯一的有序实数组,(x,y,z),，,使,a,b,c,r,r,r,p,.,p,xa,yb,zc,?,?,?,都叫作,基向量,a,b,c,（,1,）任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底,.,特别提示：,对于基底,除了应知道,不共面，,还应明确：,（,3,）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基,底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念,.,a,b,c,r,r,r,a,b,c,r,r,r,（,2,）由于,与任意一个非零向量共线，与任意两个,非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们,都不是,.,0,0,推论：,设,O,、,A,、,B,、,C,是不共线的四点，则对空间任一点,P,，都存在唯一的有序实数组（,x,y,z,），使,当且仅当,x+y+z=1,时，,P,、,A,、,B,、,C,四点共面,.,.,OP,xOA,yOB,zOC,?,?,?,.,.,.,3,MN,c,b,a,c,A,A,b,AD,a,AB,BC,N,D,C,B,A,M,D,C,B,A,ABCD,表示,试用,如果,中点,的,是棱,的对角线的交点，,平行四边形,是,中，,如图，在平行六面体,例,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,C,B,A,D,A,D,C,B,N,M,c,r,a,r,b,r,.,-,2,1,2,1,-,-,),(,2,1,2,1,-,2,1,-,),(,2,1,2,1,2,1,c,a,b,c,b,a,MN,b,CB,CN,c,C,C,b,a,AC,C,A,C,M,CN,C,C,C,M,MN,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,所以,而,因为,解,:,1.,已知,是不共面的三个向量，则能构成,一个基底的一组向量是,(),A.,B.,C.,D.,a,b,c,r,r,r,2,2,a,a,b,a,b,?,?,r,r,r,r,r,2,2,b,b,a,b,a,?,?,r,r,r,r,r,2,a,b,b,c,?,r,r,r,r,c,a,c,a,c,?,?,r,r,r,r,r,C,2.,以下四个命题中正确的是,(,),A,空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示,B,若,为空间的一个基底，则,全不,是零向量,C,若向量,，则,与任何一个向量都不能构,成空间的一个基底,D,任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底,a,b,c,r,r,r,a,b,c,r,r,r,a,b,?,r,r,a,b,r,r,答案：,B,解析：,由空间向量基本定理知，空间中任何一个向,基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基,选项,判断,原因分析,A,量必须由不共面的三个向量才能表示,B,基向量不共面，因此不可能有零向量,C,底中三个基向量两两垂直,D,基底的构成必须是三个不共面的向量,3.,在正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，已知,ABC,的边长,为,1,，三棱柱的高为,2,，建立适当的空间直角坐标系，并,写出,的坐标,.,解析：,分别取,BC,，,B,1,C,1,的中点,D,，,D,1,以,D,为原点，分别以,的方,向为,x,轴,y,轴，,z,轴的正方向建立空间,直角坐标系，如图所示，,1,1,1,1,AA,AB,A,C,u,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,u,r,1,DC,DA,DD,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,，,，,设标准正交基为,又因为,所以,i,j,k,r,r,r,1,1,3,DC=,DA=,DD,=2,2,2,，,，,1,1,3,DC=,i,DA=,j,DD,2k,2,2,?,u,u,u,r,r,u,u,u,r,r,u,u,u,u,r,r,1,1,AA,DD,2k,?,?,uuuu,r,uuuu,r,r,1,1,1,AB,AB,BB,AD,DB,BB,?,?,?,?,?,uuu,u,r,uuu,r,uuu,u,r,uuu,r,uuu,r,uuu,u,r,1,1,3,DA,DC,DD,i,j,2k,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,r,r,r,1,1,1,3,A,C,AC,AD,DC,DA,DC,i,j,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,r,r,1,1,1,3,AA,(0,0,2),AB,(,2),2,2,?,?,?,?,?,u,u,u,u,r,u,u,u,u,r,1,1,1,3,A,C,(,0).,2,2,?,?,uuuu,r,回顾本节课你有什么收获？,（,1,）空间向量的标准正交分解与坐标表示,.,(2,）空间向量投影,.,（,3),空间向量基本定理,.,不用相当的功夫，不论在哪个严重的,问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁,就无法找到真理。,