《周易》中的数学文化课件.ppt

周易中的数学文化,主讲人：秦少青,周易是我国最古老、最有权威、最著名的一部经典著作，是中华民族聪明智慧的结晶。它是保罗万象的百科全书，具有多学科性，包括自然、社会、思维各大领域，内容渉及哲学、地理、天文、医学、乐理、物理、相对论、场论、信息论、，甚至若干现代尖端科学的渊源都可追溯到周易，如：遗传密码、军事战略、计算机、未来学等。周易同时也是一部“数学巨著”。,周易的作者大致以两种猜测：,周文王：公元前1182公元前1135：伏曦、周文王、孔丘等所做。伏曦完成其中八卦，周文王将其演化为64卦，以此研究天文、地理及用人之道，为他出狱后启用姜子牙，灭商纣王作精心准备。,孔子作为春秋时期的思想家、教育家，及儒家的创史人。在他中年以后却从头去学周易，成语“韦编三绝”就是指孔子学习周易的故事。人们认为周易中的易传部分由孔子所作。周易分为易经与易传两部分，易经要早于易传七百多年。,易经：是具有哲学思想萌芽的巫书，内容东鳞西爪、文字简古难读。易经记载了六十四卦，每卦六爻。乾卦另有“用九爻”(多一卦)，坤卦另有“用六爻”(也多一卦），讲述六十四卦为“经”，所有这些卦合起来共有386爻。(6462=386).易传：是解释易经的书，是具有浓厚哲学思想的书。有七种十篇。,一、八 卦 的 形 成,要了解周易的宇宙观，了解八卦是怎样形成的，了解从太极到六十四卦的演化，首先我们必须懂得周易系辞中的一些东西的含义。如“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，”。,“易有太极”,“易有太极”：是指阴阳未分，天地混沌时期。太极就是太一，不是数学意义上的一，而是哲学意义的、整体的、绝对的一。太极，是大到极点，物极必反，就会出现分化，故阴阳分离，形成了天和地。,太极生两仪,太极生两仪：体现了数的可分性。两仪就是天和地，古人用符号“”和“”分别来表示“阳爻”和“阴爻”阳爻：代表天、火、男、白天 阴爻：代表地、水、女、黑夜,两仪图（阴阳鱼）,（易学家绘制的太极图）,两仪中的数学,阳爻：代表正数、奇数、加号、数字1，。阴爻：代表负数、偶数、减号-、数字0，。两仪的面积正好相等。两个对称圆的面积正好为大圆面积的一半。,R,r,“两仪生四象”,四象是在两仪一奇一偶之上复生一奇一偶而产生的，它象征着春、夏、秋、冬四季以及东、南、西、北四个方向。四象分成 太阴：少阴 少阳 太阳,“四象”在坐标中的图像表示,中国人将“笛卡尔直角坐标系”的四个部分称为四个象限，各象限的正、负值完全符合易经中的四象。,少 阴,太 阳,太 阴,少 阳,（，）,（，）,（，）,（，）,“四象生八卦”,在四象之上再生一阴一阳，就产生第三爻。以阴阳三爻错综复杂的排列，最终可得八种卦形：1 乾卦 2 兑卦 3 离卦 4 震卦（天）（泽）（火）（雷）5 巽卦 6 坎卦 7 艮卦 8 坤卦（风）（水）（山）（地）八卦象征着世界形成了八种基本物质。,八卦与“笛卡尔”直角坐标系中卦限符号的关系,1（，）2（,，）3（，）4（，）5（，）6（，）7（，）8（，）,O,y,z,三个互相垂直的平面将空间分为8个部分，每一个部分我们称他为一个“卦限”,x,八 卦 的 卦 德,乾：健也。乾象天，不息的运转，性质刚健；坤：顺也。坤象地，顺承天而行，性质柔顺；震：动也。震为雷，雷能惊动万物，性质我动：巽：入也。巽为风，风无孔不入，性质为入：坎：陷也。坎为水，水流入底处，性质为陷;离：丽也。离为火，火付着可燃之物，性质为附丽：艮：止也。艮为山，山魏然不动，性质为停止；兑：悦也。悦为泽，泽气洋溢，性质为悦。,八 卦 的 卦 象,乾象：乾为天、为君、为父、为夫、为天子坤象：坤为地、为后、为臣、为妻、为群震象：震为雷、为帝、为长子、为主、为诸侯巽象：巽为风、为霜、为长女、为处女、为妇坎象：坎为水、为月、为江河、为大川、为云离象：离为火、为日、为电、为大人、为妹艮象：艮为山、为石、为沙、为门庭、为少男兑象：兑为泽、为少女、为朋、为友、为巫。,周易中的八卦太极图,中央的圆圈为太极，黑白鱼形图为两仪，围绕着太极的是八卦。太极的上、下、左、右为乾、坤、离、坎四卦，四个卦形为内层两条迭线为四象。左图为“伏曦八卦图”,八 卦 小 横 图,二、八 卦 与 数 学,1、八卦体现出了排列组合的思想。如将阳爻 与阴爻 作为元素：每次取2个，共有4种不同的取法；每次取3个，共有8种不同的取法；每次取6个，共有64种不同的取法；两仪到64卦的排列方法相当数学中的无重复排列:,2、64 卦表现出等比级数观念及无穷大与无穷小的观念：即从第二项起，每项和前一项的比值是一常数，即公比。M的发展趋势可无限大，也可无限小：,3、伏曦八卦在数学上的对称性与稳定性,若将八卦太极图的数字画一条曲线，则：1与8 2与7 3与6 4与5 这些数字之和都是9。,4、8864，数字64组成的方阵,64,64,64,64,64,64,64,260,260,260,260,260,260,260,260,三、八 卦 与 二 进 制 数,人类最早发生“数”的概念是“有”与“无”。“有”与“无”在卦画上即为 阳爻：，阴爻。周易系辞上说八卦的形成过程，就是一种二进制记数法：阳爻：代表 1；阴爻：代表 0。,两爻组成“四象”：（由下向上读）太阴 少阴 少阳 太阳 00 01 10 11三爻的不同排列组成“八卦”：111 110 101 100 011 010 001 000这是二进制数记数中 0、1、2、3、4、5、6、7 中的八个数,64卦相当于二进制数 0 到 63 这 64 个数。坤卦(0)000000 乾卦(63)111111列一表格对比说明：,二进制发明者:德国数学家莱布尼兹（1646-1716）莱布尼兹在我国的八卦图中悟出了闻名于世的二进制数学。莱布尼兹对八卦图评价：“易图是流行于宇宙间的科学中 最古老的纪念物”,沈宜甲在科学无玄的周易 一书中说：,“周易之数学为数学、数字之最高峰，在近代数学中，亦无法与之相比，其最不可思议者即由单一课题，以求奇、偶、阴阳爻之数，而有几百种定律、周期性，包括十进、二进、排列组合、极大极小、可能率等，可云集数学之大成。而成书于三千年前，乃人类至高智慧之表现。又有不可解者，即三、四千年前之中国古人与其他各国古人，何能至此。”。,，,从周易看中国古代数学，则全为高深、抽象，全凭理想之作，繁杂多多。世界史学家皆由周易开始承认中国古代数学造诣甚深。至今为止，全世界仍未见到比易经数学更为高深伟大的，令人叹为观止，其高深、周密、广阔、巧妙、繁复，可谌称绝无仅有，应列人世界数学史中之最高位置。,周易系辞未将“两仪生四象，四象生八卦，”。这一数学思想继续演绎下去，却接着说：“八卦定吉凶，吉凶生大业”将易经完全引向另一方面。而“易数”就成了占卜算卦的依据了。,四、周易筮法中的数论问题,周易是一门很难看懂的书。筮法是一种迷信活动，但若你不懂筮法，你就根本不会懂得周易这本书在讲什么，也就很难去洞察其中一些科学的、文化的东西。所以即便我们和普通人一样也将周易看作是远古传下来的一部用来占筮的书，那么我们来认识一下筮对数学的依赖性。,事实上，筮是一种与数有关的活动，而筮法确实是一种计算活动。筮法有多种形式，现在我们来分析一种筮法。,1、筮法：用蓍草的操作来占卜。,“一变”：将49根蓍草随机的分为两堆，然后在其中一堆中取出1根不用，把两堆余下的蓍草分别4根一组地分组，去掉不够4的余数（无余数则算余4），这样加上已经取出的那根，共去掉 5 根或 9 根蓍草，余下 44 根或 40根，这个过程叫“一变”；,“二变”：用“一变”余下的蓍草再重复上述的过程，余下 40、36、或 32 根蓍草，叫“二变”；“三变”：用“二变”余下的蓍草再重复上述过程，余 下36、32、28 或 24 根蓍草，叫“三变”；用4除“三变”余下的蓍草数，可得 9、8、7、6四个数之一。如果得9或7，叫阳爻，用“”表示；如果得8或6，叫阴爻，用“”表示。这样“三变”决定一个爻。,这一过程重复六次，得到6个爻，6 爻确定一个卦。就完成了筮的操作。这时可由出的卦，利用周易中的卦辞预测所占卜的行为的吉凶悔吝等。6个阳爻,称为乾卦。乾卦的卦辞为：乾、元、亨、利、贞。乾：卦名；元：万事万物根本，又解做大；亨：通达无碍；利：祥和而无害；贞：洁净而清正。白话为：乾卦，具有原始的、伟大的、亨通的、祥和的、贞洁的德性。,每卦有六个爻辞，爻辞通过摇卦的方法获得，并且规定只能摇一次，定初卦为主，不再进行第二、第三次摇卦。乾卦分别有初九、九二、九三、九四、九五、上九、用九（只有乾卦有）。顺序从下而上依次为序。,如果你抽到签为初九，则可解释为：*初九：潜龙勿用。（乾卦第一爻）白话：乾卦第一爻，象征潜龙，以不用为佳。*九二：见龙在田，利见大人。白话：乾卦第二爻，象征出现在田地上的龙一样，可以见到高明伟大的人物了。,坤卦：从下而上分别为，初六、六 二、六三、六四、六五、上六、用六。损卦：从下而上分别为，初九、九二、六三、六四、六五、上九。若得到“六三”签，则六三爻辞解释是：,“三人行，则损一人；一人行，则得其友。”意思是说：三人结交，意见难一致，终会丢掉一个朋友。一人独行，感到孤独，就会寻找一个伴友。,“周易筮法”（成卦法）和一次同余式的关 系,周易的成卦法和一个同余式有关。同余式理论属于“数论”的范畴，它是关于数的可除性的一种符号语言。生活中的应用举不胜举，如：今天是星期一，是本学期的第一天，第100天后是星期几？1007，商14余2，余2就是星期2。,现在是零点，100小时后是几点？10024，商4余4，余4就是4点种。推而广之，若 m7 与 n7 都是星期 r，(1r6)如果 r=0，即除尽，则第 m 天与 n 天都是星期日。可见同样的余数代表某种相同的性质。,同余定理：（孙子定理）若m为一自然数，若（ab）为m之倍数，则称 a、b 对于 m 同余，记作 a b（modm），意即：ab m k（k为一整数）。周易成卦法的机巧在于将 49 根蓍草三变二十一演，得到下列4种可能的策数之一：49=36，48=32，47=21，46=24。这一定是周易作者通过精密的数学运算和反复试验才得到如此机巧之构思。这种机巧，从数学上看正是数论同余式理论的思想。,周易成卦法的机巧在于将49根蓍草三变二十一演,得 4种可能的策数之一：49=36，48=32,47=21，46=24。周易占筮就是不断重复以下两种运算：运算1：运算2：,我们可以认为周易的成卦法是同余式的基础，孙子定理发展了这一理论。孙子算经中的物不知数问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法“大衍求一术”。现代文献中往往把求解一次同余的定理称我“中国剩余定理”或直称“孙子定理”。,国际上认可这一定理最早来自中国。它比西方国家内容相同的“高斯定理”早问世1500年左右。对于“孙子定理”，古人将这一算法神秘化，宋元时称它为“鬼谷算”、“隔墙耳”“韩信点兵”等。,2、周易中神奇的思维方式,八卦是一种思维模型。它以概念、判断、推理等思维形式组成图象、图形、图式，作为反映客观事物相互关系的理论体系。那么，这个理论体系是以什么的方式去分析世界的呢？八卦思维方式的一个重要特点是以综合并包的方式，容纳多种思维，其中至少包含了三种思维方式：,（1）抽象的思维方式,逻辑思维在八卦中的出现，应该说是一大进步。八卦通过象、辞、占三者构成自己的体系，而在象的设立和辞的陈述中都表现出严谨的逻辑，体现了某种抽象的观念。,“坤，初六”说：“履霜，坚冰至”.意为已经踏着了霜，结冰坚固的日子也就要到了.而这个爻辞依据的象是初六爻，阴爻，阴的开始，往上五个爻全是阴，正是阴气滋盛的起点，这正说明天气将越来越冷了。坤的八卦之论正是人们重复无数次经验的总结陈述，变成具有普遍意义的逻辑联系。,卦象之间的逻辑联系：人们研究发现，更有趣味的是，八卦以至六十四卦，卦卦之间都以逻辑联系起来，而每卦六爻，爻之间也都是用逻辑沟通起来，形成一个完整的逻辑体系。以六十四卦的推演为例：,第一卦“乾”（为天），阳极生阴，所以第二卦为坤；第二卦“坤”（为地），有天地后万物滋生，故三卦为屯；第三卦“屯”（盈万物），物生必幼小，故四卦为蒙；第四卦“蒙”（幼稚），物稚必需养，故五卦为需；第五卦“需”（饮食），饮食必有争吵，故六卦为讼；第六卦“讼”（争执），讼会有众议，故七卦为师；第七卦“师”（为众），众起必有所比，八卦为比；第八卦“比”（亲比），比必有所畜，九卦为畜；第九卦“畜”（积累），物畜然后有礼，十卦为履；第十卦“履”（道义），履而泰，后安，十一卦为泰；第十一卦“泰”（太平），泰者通也，物不可终通，故十二卦为否；第十二卦“否”，；,如此逻辑推演，直到“物要穷尽”。所以出现“既济”卦，但事实上“物不可以穷尽”，所以“既济”卦后为第六十四卦（最后一卦）为“未济”。事物是发展的，“未济”卦是末卦，但又不是事物的终结，末卦用这个“未”字，绝妙说明事物到处结束，但又重新开始，由乾、坤、屯、蒙、需、松 再来演进。,依此看来，八卦作者已经遵循着逻辑思维过程，企图用严谨的推理方式构成世界图式。尽管这种推理只是一种依据经验联系的推理过程，但毕竟已经开始上升到必然过程的高度了。,（2）准宗教的神秘主义思维。,准宗教的神秘思维表现了以体察卦象背后的神秘启示为目标的思维特点，它主要体现在八卦的卦、爻辞当中。,我们知道，占是八卦的最初功能。作为卜筮之书，它原来就是用以占问吉凶，从而指导人们趋利避凶的。后来人们将它作为哲理书来读，象、辞、占之间的关系就被解释为某种内在的逻辑关系结构了。但占本身仍具有独特的思维方式。,筮是用蓍草占卦，而用蓍草占卦的原因是人们相信它有特殊的神异，“舌蓍成数”，数以定象，数也被认为有特异的功能。所以占的思维过程首先是占筮的工具蓍草和数字的崇拜为前提的。其次，舌蓍草而得的数字，纯粹是一种偶然，由它所定的象也是偶然的混合。,卦爻辞与数也是偶然的联系。后来筮方式改良，使占卜过程获得数字规范化，固定在 六、七、八、九这四个数范围内，但这种规范化毕竟还是一个纯数学问题，与占问吉凶之间并无必然联系。,八卦的卜筮中却把这种偶然联系看作必然的因果关系.这是由于它本身就意味着对神秘功能的崇拜，进而将偶然联系当作神的预示，从而又将偶然的联系当作必然的关联，这就是占筮的思维过程。,八卦这种思维方式最初起源于原始思维，是前逻辑阶段的东西，它的前提是万物有灵。而依据感性的、外在的、偶然的现象以决定行动，这是它的重要特征，八卦产生时，这种原始思维方式仍然保留下来。与其他思维汇聚一体，构成八卦的特有思维特点。,（3）唯 象 思 维,八卦与一般典籍不同的地方，在于它以卦象统领全数，这样就形成了它以卦象、物象为工具的唯象思维方式。每一卦象必然象征着某类事物或几类事物，这样它就企图用象来概括、模拟天下事物。卦象统物象，又不限于一事一象，它在实际的思维过程中，可以随时转变物象。如八卦象征着天、地、雷、风、水、火、山、泽，这是最基本的物象，而每卦又限于这一象，它可推演出“天、圜、父、玉”“坤、地、母、器”等等其他事物来。,卦象统物象，又不限于一事一象，它在实际的思维过程中，可以随时转变物象。如八卦象征着 天、地、雷、风、水、火、山、泽这是最基本的物象，每卦又限于这一象，它可推演出“天、圜、父、玉”“坤、地、母、器”等等其他事物来。,八卦是简朴的，寓意却十分广泛。有人从物象学的角度将八卦分成8大部分：乾卦为总功能；坎卦为液 态；坤卦为总物质；离卦为光子态；震卦为高能态；艮卦为固 态；巽卦为气 态；兑卦为物 态。,五、河图、洛书的数学神秘,周易中关于“天垂象”“河出图，洛出书，圣人则之。”都来自远古史前时期的神话传说。（古时人们常将一些科学知识和数理常识通过神化传说和“神道设教”的方式传下来）,1、“河 出 图”的 来 历：,关于“河出图”相传是伏羲氏得天下，黄河龙马驮了一张图作为礼物献给他。天数（白）：1、3、5、7、9地数（黑）：2、4、6、8、10天地数之和为55。,（河图）,（河 图）,（河 图 数 字 图）,东西南北都是奇偶（阴阳）数相配，构成天地生成之数。天地数之和为55，八卦中称此数为大衍之数。河图的外层数字6、7、8、9与八卦筮法的6、7、8、9也正好吻合。在6、7、8、9 四个数中阳爻9与7；阴爻8与6，阴阳爻相配：9+6、8+6 和都是15，15是一个神秘数字。,2、“洛出书”的 来 历：,相传大禹治水时，洛水中跃出一头神龟，驮着一张图献给大禹这张图叫“洛书”，有数九个，大禹因之以成九畴，为天下大法。“河图”是用青色书写的“洛书”是用红色书写的,“河图”“洛书”后来人研究，由于要用十进制取代二进制计数是很大变革，必须借“神”意来推广使用所以，产生了“河出图”“洛出书”这些美丽的传说。,黄河出现图，洛水出现书，圣人把它们当作天赐，作为治理天下的准则。,（洛 书）,白点代表阳：1、3、5、7、9。黑点代表阴：2、4、6、8。,（洛 书）,（九宫数字图）,数字特色：纵、横、斜相加都是15。15为神秘数字，九宫为九格。,九宫数字图又叫纵横图，西方人叫它幻方。开始时纯粹是一种游戏，看不出有多大实用价值，在历史上它还夹杂着迷信的色彩。近代研究发现，纵横图也就是幻方与组合分析有某种关系，电子计算机技术的迅速发展，给这个古老的题材注入了新鲜的血缘。目前，它在程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等领域都有广泛的应用。洛书则是幻方的已知的最古老的例子。,幻方定义：一个n阶幻方是由n的平方个不同的整数排列成的方阵，使得沿着任何行、列和主、副对角线的n个数有同样的和。统一的数字称为：“幻方常数”。“洛书”译成今天的符号文字便是一个“幻方”，它有三行三列，故称“三阶幻方”。这个小小幻方中蕴藏着无尽的数字奥秘,将洛书幻方中 1、3 列和1、3 行对调：,1、3列 对调,1、3行 对调,行逆序幂等：列逆序幂等：主对角幂等：副对角幂等：主对角另一逆序幂等：副对角另一逆序幂等：,任意奇数阶幻方的制作方法,由于幻方有很多神奇之处，国外有人称它为“魔方”。数学家已经找到了求任意奇数阶幻方的方法。以 5 阶幻方为例，教给大家方法。,中国古代数学家对“河图”“洛书”的评价：,秦九韶数书九章序中说：“自从河图、洛书出世之后，才揭开了数学的奥秘”。莫若在四元玉鉴的序中也说：“河图、洛书泄其秘”。,明代程大位算法统宗卷首还画了一幅“龙马负图”的画，一只动物，头象龙，身如麒麟，口中喷出一部书来.并有说明：“数何肇？其肇自图呼？伏羲得以画卦，大禹得以序畴，列圣得以开物。”（数起源于河图、洛书？）,清代数理精蕴上编卷一：“粤稽上古，河出图，洛出书，八卦是生，九畴是序，数学亦于是孚肇焉。”古今中外研究周易者不计其数，不少人把河图、洛书看作神奇的魔方，由于河图、洛书既抽象、又具体，数学变化层出不穷，所以不少人象着了迷似的探讨其中的奥密，以求赶上时代前进的步伐。,科学家们曾设想，如果我们的宇宙飞船到了一个有高级智慧生物存在的星球上，河图、洛书就是沟通相互之间思想的最好媒介。,