人教版八年级数学下册第十九章-一次函数优质ppt课件.pptx

第十九章 一次函数,人教版八年级下册,CONTENT,目 录,19.1.1变量与函数,第 1 课时,19.1函数,当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温等.在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节课开始我们将学习这一部分知识.,问题:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h.1.填写下表,s的值随t的值的变化而变化吗?,学 习 新 知,2.在以上这个过程中,不变化的量是.变化的量是.,行驶里程s与时间t,速度60 km/h,3.试用含t的式子表示s.,s=60t.s随t的增大而增大.,问题:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?,1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元;第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元;第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元.,1500,2050,3100,2.设一场电影售票x张,票房收入y元,则用含x的式子表示y为.,y=10 x,且y随x的增大而增大,问题:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?(1)填表:,(2)S与r之间满足下列关系:S=.,r2,圆的半径越大,它的面积就越大.,问题:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?,一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).,一边长为3.5 m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).,一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).,一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).,若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.,小结,变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.,问题(1):下图是某地一天的气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻t,你能说出这一时刻的气温T吗?这一问题中涉及哪几个量?它们变化吗?,问题(3):你能举出生活中类似的例子吗?可以小组讨论.,问题(2):弹簧原长22 cm,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:在这个问题中变化的量是什么?不变化的量是什么?,弹簧的原长不变,为22 cm,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化.因此,弹簧的总长=原长+伸长的长度.,知识拓展,(1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说 的,换句话说,在这个变化过程中是变量,而在另一个 变化过程中有可能以常量身份出现.,(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的 变化过程中,该量的值是否发生变化.,(3)常数也叫常量,如S=r2,其中常量是.,例：(补充)若球体体积为V,半径为R,则V=R3.其中变量是、,常量是.,解析根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意是一个常量.,V,R,例：(补充)写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式;,解析先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解.,(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(小时)的关系式.,解:C=2r,2是常量,r,C是变量.,解：s=60t,60是常量,t,s是变量.,寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤：,1.确定事物变化中的变量与常量.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.,2.尝试运算寻求变量间存在的规律.,3.利用学过的有关知识公式确定关系式.,课堂小结,检测反馈,1.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是,其中变量是,常量是.,解析:钢笔的价格是4元/支,总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是y=4x,变量为x,y,常量为4.,y=4x,x,y,4,2.在圆的周长公式 C=2R 中,下列说法正确的 是()A.,R是变量,2 是常量B.R是变量,C,2,是常量C.C是变量,2,R是常量D.C,R是变量,2,是常量,解析:C=2R,变量为C,R,常量为2,.故选D.,D,3.分别指出下列各关系式中的变量与常量.(1)三角形的一边长为5 cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S=h;,解:S=h,变量为S,h,常量为.,(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为(度),则另一个锐角(度)与(度)间的关系式是=90-.,解:=90-,变量为,常量为-1,90.,4.要画一个面积为10 cm2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20 cm2呢?怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?,解:根据圆的面积公式S=r2,得r=,面积为10 cm2的圆半径r=1.78(cm).面积为20 cm2的圆半径r=2.52(cm).用圆面积S的式子表示圆半径r的关系式为r=.,19.1.1变量与函数,第 2 课时,19.1函数,想一想,你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗?站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的?铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化.这就是我们今天要继续学习的内容.,(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?,学 习 新 知,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应.,(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.,小结,一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.,知识拓展,(1)当已知函数解析式时,给出自变量的值,求相应函数值,就是将自变量x的值代入函数解析式,求代数式的值.,(2)当已知函数解析式时,给出函数值,求相应自变量x的值,就是解方程.,(3)已知函数解析式,当自变量确定时,函数值也唯一确定;当函数值确定时,自变量不一定唯一确定.,例：(教材例1)汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子;,解:行驶路程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数,它们的关系为y=50-0.1x.,(2)指出自变量x的取值范围.,解：仅从式子y=50-0.1x看,x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50,即0.1x50.因此,自变量x的取值范围是0 x500.,(3)汽车行驶200 km时,油箱中还有多少汽油?,解：汽车行驶200 km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x 在x=200时的函数值.将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1200=30.故汽车行驶200 km时,油箱中还有30 L汽油.,归纳总结当函数关系式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义.,例：(补充)求下列函数中自变量x的取值范围.,(1)y=3x-1；,(2)y=2x2+7；,解:x为任意实数.,解：根据题意，得x+20,则x-2.,解:x为任意实数.,解：根据题意，得x-20,则x2.,含分式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0;含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:被开方数为非负数;既含分式又含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0且被开方数为非负数.,归纳总结,解析式,在例1中,像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.,(1)在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.,(2)函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.可分为下列几种情况:,解析式,当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.,当函数解析式是分式(分母中含有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.,当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.,在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.,自变量的取值范围可以是有限或无限的,也可以是几个数或单独的一个数.,函数解析式是等式,指明了哪个是自变量,哪个是函数,书写函数解析式是有顺序的.例如y=x-4表示y是x的函数;若x=y+5,则表示x是y的函数,也就是说求y关于x的函数解析式,必须用含自变量x的代数式表示y,即等式的左边是一个变量y,右边是一个含x的代数式.,解析,1.在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.,课堂小结,课堂小结,2.函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.(1)当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.(2)当函数解析式是分式(分母中含有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.(3)当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.(4)在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.,检测反馈,1.下表表示y与x的函数关系,则此函数的解析式为.,解析:根据表格中的数据知:y是x的一半的相反 数,故y=-0.5x.故填y=-0.5x.,y=0.5x,2.自来水的收费标准是每月不超过10吨,每吨水1.2元,超过部分每吨水1.8元,小王家5月份用水x吨(x10),应交水费y元,则y与x的函数关系式为.,解析:小王家的水费=10吨的水费+超过10吨部分的水费.即y=101.2+1.8(x-10)=12+1.8x-18=1.8x-6.故填y=1.8x-6.,y=1.8x-6,3.甲车速度为20米/秒,乙车速度为25米/秒.现甲车在乙车前面500米,设x秒后两车之间的距离为y米.求y随x(0 x100)变化的函数解析式.,解:由题意可知x秒后两车行驶路程分别是:甲车为20 x米,乙车为25x米.两车行驶路程差为25x-20 x=5x(米),两车之间距离为(500-5x)米,所以y随x变化的函数关系式为y=500-5x(0 x100).,19.1.2函数的图象,第 1 课时,19.1函数,想一想,下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息?,1.一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为,气温T是时间t的函数.,2.这天中4时气温最低,为-3;14时气温最高,为8.,3.从0时至4时气温呈下降状态,即温度随时间的增加而下降.从4时至14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态.,4.我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少.,5.如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多信息,掌握更多气温变化规律.,正方形的边长x与面积S的函数关系是什么?其中自变量x的取值范围是什么?计算并填写下表:,学 习 新 知,思考表示x与S的对应关系的点有多少个?如果全在坐标纸中描出的话是什么样子?可以讨论一下,然后发表你们的看法,建议大家不妨动手画画看.,图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系.如点(2,4)表示x=2时S=4.,小结,一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.上图中的曲线即为函数S=x2(x0)的图象.,想一想：要做一个面积为12 m2的长方形小花坛,该花坛的一边长为 x m,周长为 y m.(1)变量 y 是变量 x 的函数吗?如果是,写出自变量的取值范围;,由于面积一定的长方形,当一条边长为x m时,另一条边长可以用x表示出来,那么长方形的周长y随着x的变化而变化,由函数的定义可知,y 是 x 的函数,自变量 x 的取值范围是x0.,(2)能求出这个问题的函数解析式吗?,解：由长方形的面积公式可得,另一条边长为 m,周长为y=2 m.,(3)当 x 的值分别为1,2,3,4,5,6 时,请列表表示变量之间的对应关系;,(4)能画出函数的图象吗?,用描点法画函数图象的一般步骤:,归纳总结,第一步:列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;,第二步:描点在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;,第三步:连线按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.,知识拓展,画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致.,例：(教材例3)在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.画出这些函数的图象:(1)y=x+0.5;,解：从式子y=x+0.5可以看出,x取任意实数时这个式子都有意义,所以x的取值范围是全体实数.从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）.,从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大.,根据表中数值描点（x,y),并用平滑曲线连接这些点.,(1)y=,解：列表(计算并填写表中空格).,根据表中数值描点(x,y),用平滑曲线连接这些点.,例：(补充)王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式y=击球,球正好进洞.其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.(1)试画出高尔夫球飞行的路线;,解析高尔夫球飞行的路线,也就是函数y=的图象,用描点法画出图象.在列表时要注意自变量x的取值范围,因为x是球飞出的水平距离,所以x不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y轴)表示球的飞行高度.,解：列表如下：,在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象，如图所示.,(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点与洞之间的距离是多少?,解析高尔夫球的最大飞行高度就是图象上最高点对应的y值(如图点P),球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点O和点A,点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.,解：高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m,球的起 点与洞之间的距离是8 m.,例：(教材例2)如图(1)所示,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家.图(2)反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象回答下列问题:(1)食堂离小明家多远?小明从家到食堂用了多少时间?,解析小明离家的距离y是时间x的函数.由图象中有两段平行 于x轴的线段可知,小明离家后有两段时间先后停留在 食堂与图书馆里.,解:由纵坐标看出,食堂离小明家0.6 km;由横坐标看出,小明从家到食堂用了8 min.,(2)小明吃早餐用了多少时间?,解：由横坐标看出,25-8=17,小明吃早餐用了17 min.,(3)食堂离图书馆多远?小明从食堂到图书馆用了多少时间?,解：由纵坐标看出,0.8-0.6=0.2,食堂离图书馆0.2 km;由横坐 标看出,28-25=3,小明从食堂到图书馆用了3 min.,(4)小明读报用了多少时间?,解：由横坐标看出,58-28=30,小明读报用了30 min.,(5)图书馆离小明家多远?小明从图书馆回家的平均速度是多少?,解：由纵坐标看出,图书馆离小明家0.8 km;由横坐标看出,68-58=10,小明从图书馆回家用了10 min,由此算出平均 速度是0.08 km/min.,在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,结合题意寻找对应的现实情境.,归纳总结,1.一般地,对于一个函数,若把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标,则坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.,课堂小结,2.函数的图象(1)用描点法画函数图象的一般步骤是:列表;描点;连线.(2)当函数图象从左向右上升时,函数值随自变量的变大而变大;当函数图象从左向右下降时,函数值随自变量的变大而变小.,检测反馈,1.在某次试验中,测得两个变量m与v之间的4组对应数据如下表:则m与v之间的关系最接近于下列各关系中的()A.v=2m-2 B.v=m2-1 C.v=3m-3D.v=m+1,解析:将试验中的数据依次代入A,B,C,D四个关系式中检验.故选B.,B,解析:根据图象可以看出乙比甲晚出发18分钟,但比甲早到12分钟,正确;甲的平均速度是=15(千米/时),正确;乙的平均速度是=60(千米/时),设甲出发x小时后与乙相遇,则 24(分钟),故乙出发24-18=6(分钟)后追上甲,正确;相遇时,乙走了=6(千米),错误.故正确的有,共3个.故选B.,2.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习.图中l甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(千米)与时间t(分钟)的函数关系.以下说法:乙比甲提前12分钟到达;甲的平均速度为15千米/时;乙走了8千米后遇到甲;乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,B,3.16个月的婴儿生长发育得非常快,他们的体重y(克)和月龄x(月)之间的关系可以用y=a+700 x表示,其中a是婴儿出生时的体重.若一个婴儿出生时的体重是4000克,请用表格表示在16个月内,这个婴儿的体重y与x之间的关系:,解析:由题意知函数关系式是y=4000+700 x,然后把x的值分别代入即可求y的值.,4.已知矩形的周长是8 cm,设一边长为x cm,与其相邻的一边长为y cm.(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;,解:矩形的周长是8 cm,2x+2y=8,y=4-x,自变量x的取值范围是0 x4.,(2)在图中作出函数的图象.,解:所作函数图象如图所示.,5.小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系.请你由图具体说明小明散步的情况.,解析:从图中可以发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分为四个阶段。线段OA;O点的坐标是（0,0），因此O点表示小明这时从家里出发,然后随着t值的增大,s值也逐渐增大（散步所用时间越长，离家的距离越大),最后到达A点，A点的坐标是(3,250),说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏.线段AB:观察这一段图象可发现t值在增大而s值保持不变（小明这段时间离家的距离没有改变），B点横坐标是8,说明小明在阅报栏前看了5分钟报.线段BC:观察这一段图象可发现随着t值的增大,s值又逐渐增大,最后到达C点,C点坐标是（10,450），说明小明看了5分钟报后,又向前走了2分钟,到达离家450米处.线段CD:观察这一段图象可发现随着t值的增大,而s值逐渐减小(10分钟后散步所用时间越长，离家的距离越小）,说明小明在返回,最后到达D点,D点的纵坐标是0,表示小明已到家.这一段图象说明从离家450米处返回到家小明走了6分钟.,解:小明先走了约3分钟,到达离家250米处的一个阅报栏前看了 5分钟报,又向前走了2分钟,到达离家450米处返回,走了6分钟到家.,19.1.2函数的图象,第 2 课时,19.1函数,想一想,我们在上节课里已经亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数.请同学们思考一下:从前面的例子看,你认为函数的表示方法有哪些?这些方法各有什么优缺点?在遇到具体问题时,该如何选择适当的表示方法呢?,表示函数有哪三种方法?,学 习 新 知,快问快答,这三种表示的方法各有什么优点?,这三种表示的方法各有什么不足之处呢?,例：(教材例4)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表19-6记录了这5 h内6个时间点的水位高度,其中t表示时间,y表示水位高度.(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上?由此你能发现水位变化有什么规律吗?,(1)图象法:在下面的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点:观察描出的点,这些点的位置特征是,再结合表中数据,可以发现每小时水位上升m.由此猜想,如果画出这5小时内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点,它们可能也在.即在这个时间段内水位可能是始终以同一速度均匀上升的.,思路引导,解:(1)如图所示,描出表中数据对应的点.可以看出,这6个点在一条直线上.再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3 m.由此猜想,如果画出这5 h内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.,(2)水位高度y是否为时间t的函数?如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗?,思路引导：解析式法:观察上图,由于水位在最近5 h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都与其对应,所以是的函数.由于开始水位是3 m,以后每小时上升0.3 m,故y=(t 的范围是).其图象是下图中的线段AB.这个函数可以精确地表示水位的变化规律.如果水位的升速有些变化,也可近似地表示水位的变化规律.,解：由于水位在最近5 h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都有唯一的值与其对应,所以y是t的函数.开始时水位高度为3 m,以后每小时水位上升0.3 m.函数y=0.3t+3(0t5)是符合表中数据的一个函数,它表示经过t h水位上升0.3t m,即水位y为(0.3t+3)m.其图象是图中点A(0,3)和点B(5,4.5)之间的线段AB.如果在这5 h内,水位一直匀速上升,即升速为0.3 m/h,那么函数y=0.3t+3(0t5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5 h内,水位的升速有些变化,而每小时水位上升0.3 m是确定的,因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.,(3)据估计这种上涨规律还会持续2 h,预测再过2 h水位高度将为多少米.,思路引导：函数及其图象的应用:如果这种上涨规律还会持续2 h,那么可以预测2 h后的水位:由函数解析式预测:当t=7时,y=5.1 m.由函数图象预测:在下图中,把函数图象(线段AB)向右延伸到t=7时所对应的位置,找出其点所对应的纵坐标,也可看出大约是5.1 m.(注意,这个结果是近似的,而上面的是准确的),(3)如果水位的变化规律不变,则可利用上述函数预测,再过2 h,即t=5+2=7(h)时,水位高度y=0.37+3=5.1(m).把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7时所对应的位置,得图,从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m.,就上面的例子中提几个问题大家思考：(1)函数自变量t的取值范围:0t7是如何确定的?,从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况,且估计这种上涨情况还会持续2小时,所以自变量t的取值范围取0t7,超出了这个范围,情况将难以预计.,(2)2小时后的水位高度是通过解析式求出的好,还是从函数图象估算出的好?,(3)函数的三种表示方法之间是否可以转化?,从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化,因为题目中只给出了列表法,而我们通过分析求出解析式并画出了图象,所以我认为可以相互转化.,2小时后水位高度通过解析式求的值准确，通过图象估算直接、方便。就这个题目来说，虽然2小时后水位高度本身就是一种估算，但为了准确而言，我认为该是通过解析式求出较好.,1.函数的三种不同的表示方法:列表法、解析式法和图象法.,课堂小结,2.三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.其 优缺点如下:,检测反馈,1.已知长方形的面积为4,一条边长为x,另一边长为y,则用x表示y的函数解析式为.,解析:根据长方形面积公式,得xy=4,即y=.,2.科学家研究发现,声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x()有关,当气温是0 时,音速是331米/秒;当气温是5 时,音速是334米/秒;当气温是10 时,音速是337米/秒;当气温是15 时,音速是340米/秒;当气温是20 时,音速是343米/秒;当气温是25 时,音速是346米/秒;当气温是30 时,音速是349米/秒.(1)请你用表格表示气温与音速之间的关系;,解:列表如下：,(2)表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是 自变量?哪个是因变量?,解:两个变量是:传播的速度和温度;温度是自变量,传播的速度是因变量.,(3)当气温是35 时,估计音速y可能是多少?,解:当气温是35 时,估计音速y可能是352米/秒.,(4)能否用一个式子来表示两个变量之间的关系?,解：根据表格中数据可得出:温度每升高5,传播的速度增加3米/秒,当x=0,y=331,故两个变量之间的关系式为y=331+x.,19.2.1正比例函数,第 1 课时,19.2一次函数,想一想,2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?,(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?,(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站?,13183004.4(h).,y=300t.,y=3002.5=750(km),故列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.,想一想,y=300t中,变量和常量分别是什么?其对应关系是函数关系吗?谁是自变量,谁是函数?自变量与常量按什么运算符号连接起来的?由此引出今天学习的课题:正比例函数.,下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化;,学 习 新 知,(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的大小变化而变化;,(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数 n的变化而变化;,(4)冷冻一个0 物体,使它每分下降2,物体的温度T(单位:)随冷冻时间t(单位:分)的变化而变化.,l=2r.,m=7.8V.,h=0.5 n.,T=-2t.,认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.,这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=300t,y=200 x的形式一样.,归纳:一般地,形如y=kx(k是常数,k0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.,提问:这些函数有什么共同点?,解:y=是正比例函数,正比例系数k=.y=2x是正比例函数,正比例系数k=2.,都不是正比例函数.,例：(补充)下列式子,哪些表示y是x的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k的值.,解析观察所给的函数表达式,看是否满足正比例函数y=kx的形式来求解.,例：(补充)若y=(k-1)x是正比例函数,则;,若y=2xm是正比例函数,则m=.,在函数y=(k-2)中,当k=时,为正比例函数.,解析根据正比例函数定义,利用比例系数k0,或者x的指数为1列不等式或方程进行求解.y=(k-1)x是正比例函数,k-10,k1.,k1,解析y=2xm是正比例函数,m=1.,1,解析函数y=(k-2)为正比例函数,k=-2.,-2,解:设y=k(x-2),则有k(4-2)=5,解得k=所以y关于x的函数关系式为y=x-5.,例：(补充)若y与x-2成正比例关系,且x=4时,y=5.求y关于x的函数关系式.,解析根据y与x-2成正比例关系可设y=k(x-2),再把x=4时,y=5代入求出k的值即可.,课堂小结,正比例函数的概念:形如y=kx(k是常数,k0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数;会用正比例函数定义来判断函数是否为正比例函数;并且会用正比例函数定义来求一些字母的取值;解题时注意:判定一个函数是否为正比例函数,要化简后再判断.,检测反馈,1.下面四个小题中两个变量成正比例的是()A.儿童的身高和年龄 B.等腰梯形的上底固定时,下底和面积C.圆柱的高和体积D.长方体的底面是边长为定值a的正方形,它的体积和高,解析:儿童的身高与年龄不成正比例关系;由等腰梯形的面积 公式、圆柱的体积公式可知B,C不正确;由题意知长方 体的体积=a2高,且a为定值,所以它的体积和高是成 正比例的.,D,2.若y=5x3m-2是正比例函数,则m=.,1,解析:根据正比例函数定义,得3m-2=1,解得 m=1.故填1.,3.y=(k-2)x2+5x是正比例函数,则k的值为.,2,解析:根据正比例函数定义,得k-2=0,解得k=2.故填2.,4.下列式子,哪些表示y是x的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k的值.(1)y=-0.1x;(2)y=(3)y=2x2;(4)y2=4x;(5)y=-4x+3;(6)y=2(x-2x2)+2x2.,解:(1)表示y是x的正比例函数;正比例系数 k=-0.1.(2)表示y是x的正比例函数;正比例系数k=.(3),(4),(5),(6)都不是正比例函数.,5.如果y=kx(k0),当x=4时,y=2;那么x=-3时,y的 值是多少?,解:y=kx,当x=4时,y=2,4k=2,k=y=x,当x=-3时,y=,19.2.1正比例函数,第 2 课时,19.2一次函数,想一想,当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!如果他输入的汉字个数用y(单位:百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:分钟)的函数关系式是什么?这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?用描点法,你能画出这个函数的图象吗?,画出下列正比例函数的图象,并进行比较,(1)y=2x;,学 习 新 知,解:(1)列表:函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:,描点,连线,画出图象,如图所示:,画出下列正比例函数的图象,并进行比较,(2)y=-2x.,解:(2)列表:函数y=-2x中自变量取值范围可以是全体实数.列表表示几组对应值:,描点,连线,画出图象,如图所示:,练习:在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.(1)y=x；（2）y=-x.,教师引导学生画图如下：,问题:观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:四个函数图象都是经过的直线.函数y=2x 的图象经过第象限,从左向右(呈什么趋势),即y随x的增大而;函数y=-2x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;,原点,一、三,上升,增大,二、四,下降,减小,函数y=x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;函数y=-x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而.,一、三,上升,增大,二、四,下降,减小,小结,正比例函数y=kx(k0)的性质:,(1)图象是经过原点的一条直线.,(2)当k0时,图象经过第一、三象限,从左向右上 升,y随x的增大而增大(递增).,(3)当k0时,图象经过第二、四象限,从左向右下 降,y随x的增大而减小(递减).,思考,画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?,正比例函数y=kx(k是常数,k0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.,说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.,知识拓展,(1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y的一组对应值求出k,从而确定关系式.,(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).,(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k0)中y随x的增大而增大时,k0,反之,k0等.,例：(补充)(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是.,解析设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可.,解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,正比例函数的图象经过点(-1,3),-k=3,k=-3,这个正比例函数的表达式是y=-3x.,y=-3x,(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b=.,解析把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解.,解：函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0),-b2+9=0,b2=9,b=3.,3,直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,2k-30,k故k的取值范围是k,解析根据正比例函数性质列不等式进行求解.,(3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值 范围是.,例：(补充)已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.（1）求k的值;,解:点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,2k=-4,k=-2.,解析把点(-1,m)代入(1)中函数解析式列方程进行求解.,解析把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解.,(2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;,解：由k=-2得y=-2x,点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,m=-2(-1)=2.,解：y=-2x,k=-20,y随x的增大而减小,A B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2 1,y3y1y2.,(3)若A,B(-2,y2),C(1,y3)都在此函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.,解析根据正比例函数性质进行求解.,例：(教材例1)画出下列正比例函数的图象:(1)y=2x；,解析根据正比例函数的图象是一条直线,两点确定一条直线来作图.,解：列表，得：描点，连线，即为函数y=2x,y=x的图象（如图）.,例：(教材例1)画出下列正比例函数的图象:(2)y=-1.5x；y=-4x.,解:列表，得：描点，连线，即为函数y=-1.5x,y=-4x的图象（如图）.,课堂小结,正比例函数的图象和性质:(1)正比例函数的图象是经过坐标原点的一条直线.(2)作y=kx的图象时,应先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);然后在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k);最后过点(0,0)与点(1,k)画一条直线.(3)当k0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即:随着x的增大y也增大;当k0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即:随着x的增大y反而减小.,检测反馈,1.下列函数解析式中,不是正比例函数