函数的单调性与凹凸性判别课件.ppt

函数单调性的判别法,单调区间求法,小结 思考题 作业,3.4 函数的单调性 与曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判别法,曲线的拐点及其求法,第三章 微分中值定理与导数的应用,1,一、单调性的判别法,函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。,2,从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的.,这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。,定理,3,证,应用拉氏定理,得,4,解 因为在(0,2p)内 y1cos x 0 所以,函数 yxsin x 在0 2p上的单调增加,例 判定函数 yxsin x 在0 2p上的单调性,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,5,因为在(0)内y0 所以函数 yexx1在0)上单调增加,解 函数yexx1的定义域为()yex1,例 讨论函数 yex x1的单调性,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,6,方法,问题,如上例,函数在定义区间上不是单调的,定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号.,的临界点,二、单调区间求法,但在各个部分区间上单调,则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,7,(1)确定函数的定义域(2)求出导数f(x)(3)求出f(x)全部零点和不可导点(4)判断或列表判断(5)综合结论,确定函数单调区间的步骤,8,例.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,9,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,10,例,解,11,解 这个函数的定义域为(),函数f(x)在区间(0和1)上单调减少 在区间0 1上单调增加,(0),(0 1),(1),练习 确定函数 的单调区间,驻点 x=1,不可导点 x=0,12,三、利用单调性证明不等式,利用单调性证明不等式的步骤：,将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x).,与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.,13,例,证,14,单调增加,证明,例 证明:当 时,于是,即,因此,15,例,证,定不出符号,16,17,因为当x1时 f(x)0 所以f(x)在1)上f(x)单调增加,练习,证明,因此当x1时 f(x)f(1)=0 即,18,证,只要证,令,则,所以,即,有,得,思考,19,(concave and convex),四、曲线凹凸性的判别法,前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。,如右图所示L1，L2，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。,L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。,20,?,1.定义,如何研究曲线的弯曲方向,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,21,定义1,恒有,凹,(凸),图形上任意弧段位于所张弦的下方,图形上任意弧段位于所张弦的上方,22,曲线弧上每一点的切线,定义2,(上),方,称为凹 弧.,(凸),凹弧的曲线段,的切线斜率是单增的,是单增的,凸弧的切线斜率是单减的,是单减的.,而,利用二阶导数判断曲线的凹凸性,从几何直观上,随着x的增大,都在曲线的下,23,定理2,二阶导数,凹,(凸),2.凹凸性的判别法,24,证,即,这说明切线位于曲线的下方,Taylor公式,即f(x)是凹的.,25,观察与思考:f(x)的图形的凹凸性与f(x)的单调性的关系.,1)f(x)的图形是凹的,2)f(x)的图形是凸的,f(x)单调增加;,f(x)单调减少.,定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,26,例,解,凸,变,凹,的分界点.,27,1.定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的,拐点.,几何上,五、曲线的拐点及其求法,(inflection point),拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,拐点,28,方法：,2.拐点的求法,拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.,拐点的必要条件,具有二阶导数,则点,(1),(2),是拐点的必要条件为,(或x0为二阶导数不存在的点),29,求拐点一般步骤,30,例,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,31,32,例,解,33,例,解,拐点,拐点,不存在,定义域为,(1),(2),(3),列表,34,解,例,35,解,例,36,六、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,单调性的应用:,改变弯曲方向的点:,凹凸性;,拐点;,利用函数的单调性可以确定某些方程实根,的个数和证明不等式.,研究曲线的弯曲方向:,凹凸性的应用:,利用凹凸性证明不等式.,37,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,38,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,3.,39,证,法一,用单调性证.设f(x)=sinx/x,法二,用凹凸性证.,3.,设,则,即,40,作业,习题3-4(151页),3.(奇)4.(奇)7.(奇)8.(奇)9.（奇）11.12.,41,