多元向量值函数积分课件.ppt

第八章 多元向量值函数积分,1-1 第二型曲线积分与向量场的环流量,第一节 第二型曲线积分,1-2 第二型曲线积分的计算法,1-1 第二型曲线积分与向量场的环流量,一、变力沿曲线所作的功,1.分割,将有向曲线L任意分成,n小弧段,（,2.近似代替,（,3.求和,4.取极限,所作的功,二、第二型曲线积分,定义8.3.1,（,上任取,和式,为空间向量场,则,（,所以,其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)称为被积函数,L称为积分路径.,说明:,三、第二型曲线积分的性质,性质1.,性质2.,四、两型曲线积分的关系,若L为空间有向曲线,则,于是,即,若L为平面有向曲线,则,例1,解,(1)直线上指定方向的切向量,单位化得方向余弦,所以,(2)圆弧上指定方向的切向量,所以,五、向量场的环流量,称为向量场,1-2 第二型曲线积分的计算,设自身不相交的有向光滑的空间曲线L的,参数方程为,又,根据两型曲线积分的关系和第一型曲线积,分的计算公式得,注意:第二型曲线积分化为定积分时,下限,下限不一定小于上限,这是与第一型曲线积,分的区别.,对于平面有向曲线L,例2,解,L的参数方程,例3,解,另解 曲线L由原点分成两部分,即,例4,的曲线L为,解,(1)L:,若用参数方程L,(2),(3),此题表明积分与路径有关.,例5,解,例5,解,表明该积分与路径无关.,例6,解,得截面圆在xoy面的投影为,椭圆,参数方程为,则,即,所以,建立空间曲线参数方程的一般方法：,第八章,1-3 格林(Green)公式,第一节 第二型曲线积分,一、格林(Green)公式,定理8.1.1(格林公式),部分始终在其左侧,此方向称为L的正向.,证,如图所示,不妨设,先证,设,于是,又,所以,同理可证,故,特别地,格林公式的应用,则闭曲线L所围成的区域 的面积,其中闭曲线L取正方向.,例1,解,由对称性,例2,解,令,则,由格林公式,设边界闭曲线为L取正方向,另,注意:应用格林公式应满足的条件,则,例3,解一,闭曲线L分成三条线段,解二,则,由格林公式,若曲线L取顺时针方向,则,由格林公式,所求曲线积分,例4,解,由于,例5,解,由于,补充,由格林公式,否则,其中:,特别地,若,则,即包含奇点的任意闭曲线L上的积分转化为,特定闭曲线l上的积分.,例6,解一,积分曲线L的参数方程为,所以,则,解二,由于L所围区域含奇点(0,0),不能用格林公式.,但L的方程可化简积分得,由格林公式,解,因为,由于L所围区域含奇点(0,0),补充以原点为,则,解,因为,由于L所围区域含奇点(0,0),补充以原点为,则,解,因为,L所围区域不,则由格林公式得,L所围区域含奇点(0,0),含奇点(0,0),补充圆l:,则,解,因为,当L所围区域不含奇点(0,0)时,则由格林公式得,当L所围区域含奇点(0,0)时,补充圆l:,则,例7,解,则,由于偏导数在原点(0,0)不连续,则补充上半圆,取顺时针方向.,根据格林公式,其中,另如图补充:,将例6,例7中的积分换为下列积分,第八章,第一节 第二型曲线积分,1-4 第二型曲线积分与路径无关的条件,1-4 第二型曲线积分与路径无关的条件,若,有,只与起点A,终点B有关,记作,定理8.1.2,则下列四个命题互相等价.,(1)在D内沿任意分段光滑闭曲线L,都有,(2)在D内连接A,B两点的任意分段光滑曲线L,(3)在D内存在连续可微函数u(x,y),使得,证,由(1)知,所以,即,先构造二元函数,则,取图示路径,所以,同理,由于,则,而,又因为,故,由格林公式,由,则,得,所以,即得类似于定积分计算的牛顿莱布尼茨公式,问题:,例1,（,解,则,在全平面恒成立,即积分与路径无关.,取:,例2,解,引力的方向,所以引力,所作的功,由于,即积分与路径无关,取:,所作的功为,例3,求原函数u(x,y).,解法一,(曲线积分法),则,所以,解法二,(积分法),由已知得,则,从而,又,所以,即,故,解法三,(凑全微分法),所以,例4,解,则,依题意,得 a=2.,例5,解,依题意,则,又,所以,两边对 t 求导,即,故,第八章,第二节 第二型曲面积分,2-1 第二型曲面积分与向量场的通量,一、曲面的侧,1.双侧曲面与单侧曲面,规定其中一个方向为正方向,2-1 第二型曲面积分与向量场的通量,一般地,所讨论的曲面都是双侧曲面.,单侧曲面,默比乌斯(Mobius)带.,默比乌斯带,(单侧曲面的典型),曲面的侧,指定了侧的曲面.,2.有向曲面,一般地,有向曲面侧的规定:,曲面分内侧和外侧,曲面分上侧和下侧,下侧,上侧,由曲面上法向量 的指向来确定.,曲面分左侧和右侧,左侧,右侧,后侧,前侧,曲面分前侧和后侧,例,所围成闭曲面的外侧,试确定各曲面的侧.,解,上侧;,前侧;,下侧;,左侧;,后侧.,右侧;,综上所述,有向曲面在坐标面上的投影有正、负之别,即曲面的上侧投影为正,下侧为负;前侧为正,后侧为负;右侧为正,左侧为负.,二、流量问题,设有定常不可压缩流体,流速为常量 的流体单位时间内流过面积为A的平面闭区域的流量,(1)分割,(2)近似代替,(3)求和,(4)取极限,三、第二型曲面积分与向量场的通量,定义8.2.1,其中,作和式,有向曲面微元,它是一个向量微元,方向:,模:,则第二型曲面积分又可表示为,所以,说明:,积分,而将三个积分之和称为组合曲面积分.,四、第二型曲面积分的性质,性质1.,性质2.,简记为,性质2可推广到,五、两型曲面积分的关系,其向量形式,通常不将第二型曲面积分化为第一型曲面积分进行计算.,由,第八章,第二节 第二型曲面积分,2-2 第二型曲面积分的计算法,2-2 第二型曲面积分的计算法,同理:,例1,试确定第 卦限部分曲面的侧.,解,例2,解,例3,解,由于,法向量,例4,解,取下侧,取左侧,取后侧,取外侧,则,取前侧,取右侧,(在xoy面投影面积为零),取上侧,法向量,所以,第八章,第二节 第二型曲面积分,2-3 高斯公式与散度,一、问题引入,1.多元函数积分的类型,(1)重积分：,(2)曲线积分：,(3)曲面积分：,2.计算方法,化为累次积分或定积分应用牛顿-莱布尼兹公式进行计算.,3.计算技巧,将一种类型的积分转化为另一种类型的积分进行计算.,例如格林公式：,至少需要化为六个二重积分！,4.公式特征,(1)积分区域(区间)转化为边界曲线(点),(2)被积函数转化为原函数,二、猜想,需要解决的问题：,(1)猜想是否符合实际？,(2)猜想中的函数F(x,y,z)应该如何构造？,实际问题模型,类似地,可以得到,从而有,三、高斯(Gauss)定理,定理8.2.1,高斯公式注解,(1)高斯公式的其它表示形式,(2)利用高斯公式计算曲面积分.,四、应用举例,解,任一点M(x,y,z)处的电场强度为,则所求电通量为,所以,这个结果显然是荒谬的.你知道问题出在什么地方吗?,小结,2.牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式在形式上具有高度的一致性和对称性,体现了数学科学的美学特征.,1.数学发现的重要方法：,仔细观察，合理猜想，严格推导，实现创新.,3.进一步猜想,解,例2解法中存在的问题：,例2的正确解法：,例3,解,设,则,例4,解,由高斯公式得,所求曲面积分,例5,解,设,则,解,取左侧,设,则,所求积分,例7,计算曲面积分,解,则,同理,所以,直接应用高斯公式.,化简被积函数,从而所求积分变形为,此时积分满足定理条件,由高斯公式得,(2)由于椭球面不能简化被积函数,为此作,一个半径足够小的球面,此例可知:,五、曲面积分与曲面无关的条件,定理8.2.2,的充要条件是,在G内恒成立.,定理表明:当,非闭曲面积,分仅取决于张成它的边界曲线.与曲面形状,无关.,例8,计算曲面积分,解,则,故所求曲面积分与曲面无关.,所以,六、向量场的散度,1.散度的定义,定义8.2.2,2.散度的计算公式,则由散度的定义,(积分中值定理),(高斯公式),或表示为,高斯公式可表示为,例9,解,又,所以,故,第八章,2-4 斯托克斯（Stokes）公式与旋度,第二节 第二型曲线积分,一、斯托克斯(Stokes)公式,定理8.2.3(斯托克斯公式),斯托克斯公式揭示了空间闭曲线L上的第二型曲线积分与以闭曲线L为边界曲线所张的曲面 上的第二型曲面积分的关系.,证,取上侧,单位化,(格林公式),同理可证,三式相加,可见格林公式是斯托克斯公式的特殊情形.,斯托克斯公式可表示为,向量表达式为,例1,解一,取上侧,则其单位法向量,即,由斯托克斯公式,解二,曲线L的参数方程,例2,解,如图所示,即,由斯托克斯公式,例3,解一,即,由斯托克斯公式,解二,曲线L的参数方程,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理8.2.4,则下列四个命题互相等价.,例4,解,则,所以积分与路径无关.,取图示路径,三、向量场的旋度,1、环流量面密度,定义8.2.2,记为,即,取得最大值?,2、向量场的旋度,定义8.2.3,向量场旋度的计算,则环流量面密度,(斯托克斯公式),可见:,或,所以环流量面密度可表示为,斯托克斯公式可表示为,例5,由力学可知,旋度由此而得名.,即,