多元函数微积分课件.ppt

第6章 多元函数微积分,第1节 多元函数的概念,第2节 多元函数的偏导数和全微分,第3节 多元复合函数、隐函数的求导法则,第4节 多元函数微分法的应用,第5节 二重积分的概念,第6节 二重积分的计算,第7节 二重积分的应用,6.1 多元函数的概念,二元函数的定义,二元函数的几何意义,二元函数的极限,二元函数的连续性,小结,思考与练习,定义1,的函数值，函数值的总体称为函数的值域。,类似地，可定义三元函数及其他多元函数。,二元函数的定义,例,例2 一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布,唯一的温度,类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。,一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。,二元函数的几何意义,（2）二元函数 z=f(x,y)的图形,通常是一张曲面（函数曲面）.,二元函数的极限,小结：,（）,（）,例,求证,证明,由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数,性质（最大值和最小值定理）,二元函数的连续性,性质（零点定理）,性质（有界性定理）,性质（介值定理）,例设,解,因此,小结：,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域，,是指包含在定义域内的区域或闭区域,由多元初等函数的连续性，如果要求它在点,思考题:,一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。,6.2 多元函数的偏导数和全微分,偏导数的概念,偏导数的几何意义,偏导数与连续的关系,小结,思考与练习,高阶偏导数,全微分的概念和应用（未做）,偏导数的概念,同理,如果极限,导数,记作,偏导函数,简称偏导数,记作,解,根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求,导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.,例1,例2,解,所以,例3,解,意义.,偏导数的几何意义,如下图所示,例如,偏导数与连续的关系,注:偏导数存在与连续的区别(1)偏导数存在，不一定连续；(2)连续，不一定存在偏导数；,高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设,一般来说,这两个偏导数还是,可定义二元函数的二阶偏导数如下,高阶偏导数,例 4,解,二阶以上的偏导数称为高阶偏导数,例5,解,上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数,来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.,为此,给出下面的定理:,定理6.1,相等.,例6,解 因为,所以,小结：,在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导次序无关。,6.3 多元函数复合函数、隐函数的求导法则,多元复合函数的求导法则,隐函数的偏导数求法,小结,思考与练习,定理6.5,多元复合函数求导法则,证明,所以有,完全类似地可以证明第二个等式。,下面再介绍一特殊情形。,另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似,则,（1）搞清函数的复合关系；,（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切,有关的中间变量而归结到该自变量。,例1,解,注意：,例2,解,隐函数的偏导数求法,同理可证,定理6.6（隐函数存在定理）,并有,注意,例3,解,例4,解,应用上面公式，得,6.4 多元函数微分法的应用,在几何上的应用,二元函数极值的求法,小结,思考与练习,1.空间曲线的切线与法平面,在几何上的应用,即,例1,解,于是，切线方程为,法平面方程为,2.曲面的切平面方程与法线方程,为,例2,解,或,法线方程为,1、二元函数的极值,二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。,定理6.7(极值存在必要条件),使,二元函数极值的求法,定理6.8（极值存在充分条件）,令,第一步,第二步,第三步,例3,解,（1）求驻点,解方程组,（2）判断驻点是否极值点，,若是，说明取得极值情况,又由于,2.条件极值与拉格朗日乘数法,在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并,无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把,对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件,条件极值问题有如下两种解法。,方法1,例4,解,由一元函数极值存在的必要条件，得,所以,方法2（拉格朗日数乘法）,这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。,至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还,是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。,例5,解,作辅助函数,令,由前三式，得,即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。,注:求二元函数极值的方法(1)换元法。(2)拉格朗日数乘法。,