向量的投影课件.ppt

一、向量的投影及其性质,定义6,证,于是,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,定义7 设有两个非零向量，任取空间一点O，作OA=,OB=，规定不超过的AOB(设=AOB，O)称为向量与的夹角.,空间一点在轴上的投影,定义 8 设已知空间一点A以及一轴 l，通过点A作轴 l 的垂直平面，那么平面与轴 l 的交点A叫做点A在轴 l上的投影.,空间一向量在轴上的投影,，轴l叫做投影轴,证,性质1(投影定理),向量的投影具有下列性质：,性质1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,性质2,由下面图形很容易证明该性质.,推广：,性质3,向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积，即 Prjl=Prjl,证 设与l 轴的夹角为，,与l轴的夹角为 1，,当0时，1=,=Prjl；,由性质1，,Prj()=|cos(1),=|cos,当0时 1=-,=Prjl；,Prj()=|.|cos(1),=-|(-cos),当=0时,=Prjl；,Prj()=,0,横轴,纵轴,竖轴,定点,二、空间直角坐标系与点的坐标,这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称为坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；,过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，且一般具有相同的长度单位.,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,即以右手握住 轴，当右手的四个手指从 正向轴以角 度转向 轴正向时，大拇指的指向就是 轴的正向.,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系.点O叫做坐标原点(或原点).,面,面,面,空间直角坐标系的八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,特殊地：若两点分别为,解,设P点坐标为,所求点为,三、向量在坐标轴上的分量与向量的坐标,在坐标轴ox、oy、oz上，以O为起点分别取三个单位向量i、j、k,其方向与三坐标轴的正向相同，称它们为基本单位向量.,定义10 设空间直角坐标系中有向量，把它平移，使起点移到坐标原点，M为向量的终点，则终点M的坐标x、y、z也叫做向量的坐标.记作=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量的坐标形式.,=xi+yj+zk 中 xi,yj,zk 分别叫做向量在 x 轴、y 轴、z 轴上的分向量.xi+yj+zk的称为坐标分解式。,向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别:,注意,向量在坐标轴上的投影是三个数 x、y、z,而向量在坐标轴上的分向量是三个向量：,xi=(x,0,0),yj=(0,y,0),zk=(0,0,z).,利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及向量与数的乘法的运算如下：,设=x1i+y1j+z1k=(x1,y1,z1),+,=（x1+x2）i+（y1+y2）j+（z1+z2)k,=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).,-=（x1-x2)i+(y1-y2)j+(z1-z2)k,则有：,=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),=x2i+y2j+z2k=(x2,y2,z2).,=(x1+y1j+z1k),=(x1,y1,z1)(为实数),=x1i+y1j+z1k,解 由向量的三角形法则可得,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标：,向量的坐标表达式：,由上例知：对于空间任意两定点为M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，,设,于是：,当 x1,y1,z1之一为0，,当 x1,y1,z1有两 个为0，,如 x1=0,y1,z 1 时,平行应理解为：,由题意知：,四、向量的模、方向角和方向余弦,由两点间距离公式可得向量的模和坐标的关系.,当向量的起点不在原点时，设起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)，则,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,向量的方向角、的余弦cos、cos、cos叫做它的方向余弦.,方向余弦通常用来表示向量的方向.,即,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,则,所以,方向余弦cos=,cos=,方向角,cos=,从而,五、小结,1.空间直角坐标系,2.空间两点间距离公式,（注意它与平面直角坐标系的区别）,（轴、面、卦限）,3.向量在轴上的投影与投影定理.,4.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,5.向量的模与方向余弦的坐标表示式.,（注意分向量与向量的坐标的区别）,思考题,1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,思考题解答,1.A:;B:;C:;D:;,2.对角线的长为,