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矩形的性质和判定 教师1.3 矩形的性质和判定 1.3 矩形的性质和判定 学习目标： 1、学会识别矩形； 2、掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单的问题； 3、会运用矩形的知识解决有关问题, 重点：掌握矩形的性质，并学会应用 难点：理解矩形的特殊性 1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得 3矩形的判定 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 判定：对角线相等的平行四边形是矩形 判定：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，在四边形ABCD中，ÐABC=ÐBCD=90°，AC=BD，求证：四边形ABCD是矩形 ÐABC=ÐBCD=90°，ABCD ìBC=CB在RtDABC和RtDDCB中í AC=BDîADRtDABCRtDDCB (HL) AB=CD，四边形ABCD是平行四边形 AC=BD，四边形ABCD是矩形 如图，已知在四边形ABCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形 E、F、G、H分别是四边的中点 EF、GH为中位线 EFGHBD且EF=GH=四边形EFGH为平行四边形 DEHOFBGCBC1BD 2A第 1 页 1.3 矩形的性质和判定 ACDB，EFFG 四边形EFGH是矩形 如图，在平行四边形ABCD中，M是AD的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是平行四边形，AB=CD， ÐA+ÐD=180° M是AD的中点，AM=MD ìAM=DMï在DABM和DCDM中íMB=MC ïAB=CDîAMDDABMDCDM (SSS)，ÐA=ÐD ÐA=90°，四边形ABCD是矩形 BC设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等试判断这个 四边形是什么四边形?请证明你的结论。 这个四边形是矩形 由已知得AB+AC+AD=BA+BC+BD=CA+CB+CD=DA+DB+DC ìAC+AD=BC+BDï变换此式有íAB+AD=BC+CD ïAB+AC=BD+CDî+-得AD=CB；+-得AB=CD， 故知ABCD是平行四边形 又+-得AC=BD，因此，四边形ABCD是矩形 如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是ÐDAB、ÐABC、ÐBCD、ÐCDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形 四边形ABCD为平行四边形 ABCD，ADBC AQ、BN分别是ÐDAB、ÐABC的平分线 ÐBAD+ÐABC=180° ÐQPN=90° 同理ÐPQM=ÐQMN=ÐMNP=90° 四边形PQMN是矩形 如图，在DABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF 、求证：BD=CD 、 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论 、AFBC，ÐAFE=ÐDCE EFABPQADMCNE是AD的中点，AE=DE 第 2 页 BDC1.3 矩形的性质和判定 ìÐAFE=ÐDCEïíAE=DE DAEFDDEC ïÐAEF=ÐDECîAF=DC，AF=BD BD=CD 四边形AFBD是矩形 AB=AC，D是BC的中点 ADBC ÐADB=90° AF=BD，AFBC 四边形AFBD是平行四边形 又ÐADB=90° 四边形AFBD是矩形 已知，如图，在DABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是ÐBAC的外角平分线，DEAB交AF于E，试说明四边形ADCE是矩形 AB=AC，ÐB=Ð2 又Ð1+Ð3=ÐB+Ð2，Ð1=Ð3，Ð1=Ð2，AFBC 又DEAB，ABDE是平行四边形，AE=BD AB=AC，ADBC，BD=DC AE=DC，四边形ADCE是平行四边形 又ÐADC=90°，平行四边形ADCE为矩形 本题也可先说明AC=ED，再说明四边形ADCE是平行四边形 如图所示，在RtDABC中，ÐABC=90°，将RtDABC绕点C顺时针方向旋转60°得到DDEC点E在AC上，再将RtDABC沿着AB所在直线翻转180°得到DABF连接AD 、 求证：四边形AFCD是菱形； 、连接BE并延长交AD于G连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ RtDDEC是由RtDABC绕C点旋转60°得到 AC=DC，ÐACB=ÐACD=60° DACD是等边三角形 AD=DC=AC 又RtDABF是由RtDABC沿AB所在 直线翻转180°得到 AC=AF，ÐABF=ÐABC=90° ÐFBC=180° 点F、B、C三点共线 第 3 页 A31EF2BDCAGDEFBC1.3 矩形的性质和判定 DAFC是等边三角形 AF=FC=AC AD=DC=FC=AF 四边形AFCD是菱形 四边形ABCG是矩形 由可知：DACD是等边三角形，DEAC于E AE=EC，又AGBC ÐEAG=ÐECB，ÐAGE=ÐEBC DAEGDCEB，AG=BC 四边形ABCG是平行四边形，而ÐABC=90° 四边形ABCG是矩形 如图，在ðABCD中，AEBC于E，AFCD于F，DAEF的两条高相交于M，AC=20，EF=16，求AM的长 过C作CGAD于G，连接EG、FG AEBC，FMAE，FMEC 又EMAF，CDAF，EMCF 四边形EMFC为平行四边形，MF=EC 又AEBC，CGAD且BCAD ÐEAG=ÐAGC=ÐGCE=ÐAEC=90° 四边形AGCE为矩形 EC=AG，EG=AC，MF=AG 又MFAG 四边形AGFM为平行四边形，GF=AM AMEF，GFEF，即ÐGFE=90° GF=EG2-EF2，AM=202-162=12 已知，如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE=AC，F是AE中点求证：BFDF ADMADBEMCFDABEMCFDAGFFEBCEBC延长BF交AD于M，连结DB 四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，AC=BD ÐM=ÐEBF， F是AE中点，AF=EF，在AFM和EFB中， 第 4 页 1.3 矩形的性质和判定 ÐMFA=ÐBFE，AF=EF ÐM=ÐEBF，DAFMDEFGAM=BE，MF=BF，AD+AM=BC+BE=CE=DM CE=AC，AC=BD，DM=DB MF=BF，BFDF 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DFAE，垂足为F.线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即DF= 出一条线段即可) 连接DE. .(写AFEDAFEDBCBC四边形ABCD是矩形， AB=CD，AD/BC，ÐC=90o. ÐADE=ÐAEC. 又AD=AE， ÐADE=ÐAED， ÐAED=ÐAEC， 又ÐDFE=ÐC=90o， DDEFDDEC， DF=DC. 如图，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,AD上的点，且BE=DF. 求证：DABEDCDF. 四边形ABCD是矩形 AB=AD，ÐB=ÐD=90o. 在DABE和DCDF中， 又BE=DF， DABEDCDF. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，ÐAOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是 A2 B4 C23 D43 AOBCDAFDCBEÐAOB=60°，AO=BO，DAOB为等边三角形， AC=4 第 5 页 1.3 矩形的性质和判定 矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果DABC的周长比DAOB的周长大10cm，则边AD的长是 AC=AO+BO，AD=BC=(AB+AC+BC)-(AB+AO+BO)=10cm 1，则如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AEBD于E，ÐDAEÐBAE=3ÐEAC=_ ÐDAB=ÐDAE+ÐBAE=90° ÐDAE=67.5°，ÐBAE=22.5° AO=BO，ÐEAC=67.5°-22.5°=45° BAOECDPEBD，PFAC，E、 如图在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，F分别是垂足，求PE+PF的值 APEMGBCBCDA3OFOF2P1ED法一：作AGBD于G，PMAG于M，则PE=MG 又易证Ð1=Ð2=Ð3，从而RtPAMRtAPF， AM=PF，所以PE+PF=MG+AM=AG ÐBAD=90°，则BD=13 而AD=12，AB=5，在ABD中，根据面积公式有则AG=11AB×AD=BD×AG， 22AB×AD5´126060，PE+PF= =BD131313MPAOFBGEDAOPEFNDCBGC 法二：利用面积相等，连接PO并作AGBD 11 SDPOD=OD×PE,SDAOP=AO×PF 221 SDAOC=OD×AG，AO=OD， 2SDAOD=SDAOP+SDDOP，AG=PF+PE 第 6 页 1.3 矩形的性质和判定 AG=AB×AD5´1260 =BD1313 法三：延长OP过点D作DMOP的延长线，垂足为M，过点D作DNAC于N 易证SDDMPSDDEP，PM=PE，由矩形DMFN可知DN=MF，DN=PF+PE BN=AD×DC6060 =,PE+PF=AC1313如图，在矩形ABCD中，BC=2，AEBD于E，若BAE=30°，则S四边形ECDA= AD=BC=2，ÐBAE=30° AE=1，DE=3 EADSECDA=3 BC已知，矩形ABCD和点P，当点P如图位置时，求证：SPBC=SPAC+SPCD PDPDEAABCBFC如图，过点P作PFAD，分别交AD、BC于E，F两点 11111SPBC=BC×PF=BC×PE+BC×EF=AD×PE+BC×EF 222221=SPAD+S矩形ABCD，SPAC+SPCD=SPAD+SADC 21=SPAD+S矩形ABCD，SPBC=SPAC+SPCD 2已知矩形ABCD和点P，当点P在矩形ABCD内时，试求证：SPBC=SPAC+SPCD APDAEDPBCBFC 过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点 111SPBC+SPAD=BC×PF+AD×PE=BC(PF+PE) 222第 7 页 1.3 矩形的性质和判定 11 =BC×EF=S矩形ABCD 221又SPAC+SPCD+SPAD=S矩形ABCD 2SPBC+SPAD=SPAC+SPCD+SPAD SPBC=SPAC+SPCD 如图所示，矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5，求PD的长 APDAFPEDHAPDOBCBGCBC 过P点分别作AD、AB、BC、CD的垂线，垂足分别为E、F、G、H， 显然AFPE，EPHD，FBGP，PGCH都是矩形，则 AP=AE2+EP2=PF2+PE2， PC2=PG2+PH2，PB2=PF2+PG2，PD2=PE2+PH2， PA2+PC2=PE2+PF2+PG2+PH2=PB2+PD2， PD2=PA2+PC2-PB2=32+52-42=18， PD=32 另解：如图所示，连接AC、BD交于点O，连接PO 111因为AO=OC，BO=DO，故OP2=PA2+PC2-AC2， 224111OP2=PB2+PD2-BD2 224而AC=BD，故PA2+PC2=PB2+PD2，则PD=32+52-42=32 O是矩形ABCD的对角线交点，BC于F、c2 如图，过点O作EFAC分别交AD、若AB=mE，BC=4cm，求四边形AECF的面积 由ABCD为矩形可知，OA=OC 又ADBC，ÐCAD=ÐBCA 又EFAC，DAOFDCOE 故OE=OF 从而可知AECF为菱形，AE=CE 又BE=BC-CE=4-CE，AB=2 在直角DABE中，由勾股定理有，(4-CE)2+22=CE2 解得CE=第 8 页 AOBEFDC55故四边形AECF的面积为2´=5(cm2) 221.3 矩形的性质和判定 如图，将矩形ABCD沿AC翻折，使点B落在点E处，连接DE、CE，过点E作EHAC，垂足为H 、判断ACED是什么图形,并加以证明； 、若AB=8，AD=6求DE的长； 、四边形ACED中，比较AE+EC与AC+EH的大小 等腰梯形；易证得DACDDCEA，DEAC，结论易得 过点D作DFAC，垂足为F ACED为等腰梯形 ÐDAF=ÐECH AD=CE DDAFDECH AF=CH DE/AC，DFAC，EHAC DE=FH AB=8，AD=6 AC=10 ABHEDC24112418 SDACE=EH×AC=AE×CE EH=，CH=62-2= 55522 DE=10-1814´2= 55 由可知，AE×EC=AC×EH AECE AE2+CE2=AC2 AE2+EC2+2AE×EC=AC2+2AC×EH (AE+EC)2=AC2+2AC×EH<AC2+2AC×EH+EH2=(AC+EH)2 AE+EC<AC+EH 如图所示，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若AB=BF，求证：MNCF EAMDAMEDBNFCBNFC AB=BF，BF=DE，AB=DE ÐA=ÐE=90o，ÐAMB=ÐEMD DAMBDEMD，BM=MD DMNB，BMND，BMDN是平行四边形 又BM=MD，BMDN是菱形 连接BD，则BDMN，NB=ND，ÐNBD=ÐNDB 从而证得DBNFDDNC，NF=NC，ÐNFC=ÐNCF 第 9 页 1.3 矩形的性质和判定 ÐNFC=ÐNDB，BDFC，MNBD，MNFC 矩形ABCD中，延长CB到E，使CE=CA，F是AE的中点，求证：BFDF ADADFFEBCEBC 解法一：如图，连接FCCE=CA，AF=EF， FC是AE的中垂线 ÐAFC=90° 又在RtDAEB中，F为斜边AE的中点， FB=AF，ÐFAB=ÐFBA 又ÐFAD=90°+ÐFAB，ÐFBC=90°+ÐFBA， ÐFAD=ÐFBC 而AD=BC，AF=BF， DAFDDBFC，ÐAFD=ÐBFC 又ÐAFD+ÐCFD=90°， ÐBFC+ÐCFD=90° BFDF 解法二：如图，连接BD交AC于O，连接FO 则AO=CO，AC=BD AD1又AF=EF，FO=CE 2而CE=AC=BD，FO=FOBC1BD 2E又BO=DO，DBFD是直角三角形 故BFDF 解法三：如图，延长DA、BF交于G，连接BD AGBE，ÐGAF=ÐBEF 又ÐAFG=ÐEFB，AF=BF DAGFDEBF，AG=BE，GF=BF EBCFOGADAD=BC，DG=CE CE=CA=BD，DF是BG的中垂线 BFDF 解法四： 如图，延长DF、CE交于G，连接BD GFOBCADE第 10 页 1.3 矩形的性质和判定 ADEG， ÐFAD=ÐFEG 又ÐAFD=ÐEFG，AF=EF， DAFDDEFG AD=EG，FD=FG 又AD=BC，CE=CA CE=BG=BD， BF是DG的中垂线 BFDF 已知，如图，矩形ABCD中，CEBD于E，AF平分ÐBAD交EC于F，求证：CF=BD AEDA12CMBO3CEDBFF 连结AC交BD于O，四边形ABCD为矩形，OA=OA=OD，ÐOAD=ÐODA AF平分ÐBAD， ÐFAD=45°， Ð2=ÐFAD-ÐOAD=45°-ÐODA Ð3=ÐFAD+ÐODA， Ð3=45°+ÐODA CEBD，ÐF+Ð3=90°， ÐF=90°-(45°+ÐODA)=45°-ÐODA=Ð2， CF=AC， CF=BD 第 11 页 11AC=BD，ÐBAD=90° AC，OD=BD，221.3 矩形的性质和判定 在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且BE=2AE，BD是ÐEBC的平分线点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQBD交直线BE于点Q 当点P在射线ED上运动时，请你猜想BE、PD、想； 若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式； 在的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连结QC，过点P作PFQC，垂足为F，PF交BD于点G，求线段PG的长 AEPDAEDAEPGFD3PQ三者之间的数量关系，并证明你的猜3QBBC备用图BQC图1C图2 当点P在线段ED上时， 四边形ABCD是矩形，ÐA=ÐABC=ÐC=90°，ADBC ÐEDB=ÐDBC BE=2AE，ÐABE=30° ÐEBC=ÐABC-ÐABE=60° BD是ÐEBC的平分线， AHEMQB图3CPD1ÐEBD=ÐDBC=ÐEBC=ÐEDB=30°EB=ED 2PQBD，ÐEQP=ÐEBD，ÐEPQ=ÐEDB ÐEPQ=ÐEQP=30°，EQ=EP 过点E作EMQP，垂足为M，PQ=2PM PM=PE×cosÐEPM=PE×cos30°=BE=DE=PD+PE，BE=PD+33PEPE=PQ 233PQ 33PQ-PD证明从略 3当点P在线段ED的延长线上时，猜想：BE= 由题意知AE=1BE，DE=BE=2AE 2AD=BC=6，AE=2，DE=BE=4 当点P在线段ED上时 第 12 页 1.3 矩形的性质和判定 过点Q作QHAD于点H，则QH=33PQ=4-x 由得PD=BE-3311PQ=x 22H'AEDPy=132PD×QH=-x+x 212QM'B图4C当点P在线段ED的延长线上时 1过点Q作QHDA交DA延长线于点H¢，QH¢=x 2过点E作EM¢PQ于点M¢， 同理可得EP=EQ=PD=33PQ，BE=PQ-PD 333132x-4，y=PD×QH¢=x-x 3212 连接M交BD于点N 点P是线段ED中点，QP=1BD，PQ=23， 2AEPGFB图5CNDDC=AB=AE×tan60°=23，PC=PD2+DC2=4， cosÐDPC=PD1=，ÐDPC=60°， PC2QÐQPC=180°-ÐEPQ-ÐDPC=90° PQBD，ÐPND=ÐQPC=90°， 1PN=PD=1，QC=PQ2+PC2=27， 2ÐPGN=90°-ÐFPC，ÐPCF=90°-ÐFPC，ÐPGN=ÐPCF， ÐPNG=ÐQPC=90°，DPNGDPQC PG1121=´27=，PG= QC23323第 13 页