矩阵与变化 知识点.docx
矩阵与变化 知识点矩阵与变化 知识点 一、线性变换与二阶矩阵 1矩阵的相关概念 éabù由4个数a,b,c,d排成的正方形数表êú称为二阶矩阵，数a,b,c,d称为矩阵的cdëû元素。在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列。矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，表示。 二阶矩阵êE2。 对于两个二阶矩阵A，B，如果它们的对应元素分别相等，则称矩阵A与矩阵Bé00ùé10ù称为零矩阵，简记为0，矩阵úê01ú称为二阶单位矩阵，记作00ëûëûéa1相等，记作A=B，设A=êëc1b1ùéa2，B=êd1úûëc2b2ù，若A=B，则a1=a ,b2=1b,2c1=c2,d=d。21d2úû2线性变换的相关概念 我们把形如íìx¢=ax+by(*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换îy¢=cx+dy的坐标变换公式，P¢(x¢,y¢)是P(x,y)在这个线性变换作用下的像。 常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换。 对同一个直角坐标平面内的两个线性变换s、r，如果对平面内任意一点P，都有s=r，则称这个两个线性变换相等，简记为s=r，设s，r所对应的二阶矩阵分别为A，B，则A=B。 注：旋转变换Ra，平行于x轴，y轴的切变变换，对应的二阶矩阵分别是：écosaêsinaë-sinaùé1,kùé1,0ù，k是非零常数。 ,ê,êúúúcosaûë01ûëk1û3二阶矩阵与平面向量的乘法 éabùéxù设A=êú，=êyú，则Acdëûëû4.线性变换的基本性质 éabùéxùéax+byù=êúêyú=êcx+dyú. cdûëûëûë设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是一个任意实数， 性质1 A()=A. A(+)=A+A. 定理1 A(laa+l2Ab 1+l2b)=l1A定理2 二阶矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线。 二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵 1二阶矩阵的乘法 一般的，设A=éa1êcë1b1ùd1úû，B=éa2êcë2b2ùd2úû，则éa1AB=êëc1b1ùd1úûéa2êcë2b2ùéa1a2+b1b2=êd2úûëc1a2+d1c2a1b2+b1d2ùc1b2+d1d2úû对直角坐标系xOy内任意向量，有A=。 2矩阵乘法的性质 结合律 设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则A=C。 二阶矩阵A的方幂的性质 A0=E2,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(k,lÎN). 3逆变换与逆矩阵 一般地，设r是一个线性变换，如果存在线性变换s，使得sr=r，s=I，则称变换r可逆，并且称s是r的逆变换。 一般地，设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA=AB=E2，则称矩阵A可逆，并且称B是A的逆矩阵。 4逆矩阵的性质 性质1 设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。 -1性质2 设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且=B-1A-1。 5逆矩阵的判定及求法 éabùéabù定理：二阶矩阵A=êú是可逆的，当且仅当detA=ad-bc0,当矩阵A=êcdú可cdëûëûédêdetA-1逆时，A=êê-cêëdetA-bùdetAúú。 aúdetAúû6逆矩阵与二元一次方程 定理 如果关于变量x,y的二元一次方程组í-1ìax+by=e的系数矩îcx+dy=féxùéabùéeùéabù阵A=ê可逆时，那么该方程组有唯一解êú=êúêfú。 úycdcdëûëûëûëûìax+by=0推论 关于变量x,y的二元一次方程组í，其中a,b,c,d是不全为零的cx+dy=0î常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式abcd=0。 注：利用矩阵知识解二元一次方程组的一般步骤是 三、变换的不变量与矩阵的特征向量 1矩阵特征值、特征向量的相关概念 éabù定义 设矩阵A=ê，如果存在实数l以及非零向量x，使得Ax=lx，úëcdû则称l是矩阵A的一个特征值，x是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。 一般地，设x是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kx也矩阵A的属于特征值l的特征向量。 一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。 设矩阵A=êl-a-béabù，称为矩阵A的特征多项式，方程f(l)=ú-cl-dëcdûl-a-c-bl-d=0为矩阵A的特征方程。 2特征向量的应用 设A是一个二阶矩阵，a是矩阵A的属于特征值l的任意一个特征向量， 则Ana=lna(nN*) 性质1 设l1，l2是二阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2是矩阵A的分别属于特征值l1，l2的特征向量，对于任意的非零平面向量a，设a=t1x1+t2x2(其中t1，t2这实数)，则对任意的正整数n，有Ana=t1l1nx1+t2l2nx2. 注：求二阶矩阵特征值和特征向量的步骤是：求出矩阵A的特征多项式f(l);令f(l)=0，求出矩阵A的特征值x1，x2；分别就x1，x2列出相应的二元一次方程组，求出对应的特征向量x1，x2。
