相遇问题专题第.docx

相遇问题专题第行程专题 目录 第一讲 直线上的相遇与追及问题 第二讲 圆周上的相遇与追及 第三讲 多人相遇与追及问题 第四讲 流水行程问题 第五讲 火车过桥问题 第六讲 时钟问题 第七讲 行程中的比例问题 第八讲 多次相遇与追及问题 第九讲 发车问题、接送问题、电梯问题 第十讲 变速与变道问题 第十一讲 平均速度问题、猎狗追兔问题 第十二讲： 第十三讲 第十四讲 第十五讲 第一讲 直线上的相遇与追及问题 教学目的： 1、 学会行程的中，速度、时间、路程三个量的关系 2、 掌握相向、背向、同向等概念 3、 会运用追及和相遇解决简单行程问题 基本知识点 行程三个量的关系公式： 路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间 三个概念： 相向而行：面对面而行。 同向而行：面朝的方向相同而行 背向而行：背靠背方向，方向相反而行。 相遇和追及问题 1、相遇问题 含义 ： 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 数量关系： 总路程×相遇时间 相遇时间总路程÷ =总路程÷相遇时间 2、追及问题 含义： 两个运动物体在不同地点同时出发作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 数量关系： 追及路程×追及时间 追及时间追及路程÷ 追及路程÷追及时间 3、注意点： 在处理相遇与追及问题的时候，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻时候所处的状态。 在行程问题里面所用的时间都是时间段，不是时间点。 无论在哪一类行程问题里面，只要是相遇，就与速度和有关，只要是追及，就与速度差有关。 相遇例题： 例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 解 392÷8 答：经过8小时两船相遇。 例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400×2 相遇时间÷100 答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。 例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是千米，因此， 相遇时间÷3 两地距离×384 答：两地距离是84千米。 追及例题： 例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解 劣马先走12天能走多少千米？ 75×12900 好马几天追上劣马？ 900÷20 列成综合算式 75×12÷900÷4520 答：好马20天能追上劣马。 例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速 度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用40×秒，所以小亮的速度是 ÷40×300÷1003 答：小亮的速度是每秒3米。 例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是小时，这段时间敌人逃跑的路程是10×千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间10×60÷220÷2011 答：解放军在11小时后可以追上敌人。 例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为 16×2÷4 所以两站间的距离为 ×4352 列成综合算式 ×16×2÷88×4352 答：甲乙两站的距离是352千米。 例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？ 解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间内哥哥比妹妹多走米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷12 家离学校的距离为 90×12180900 答：家离学校有900米远。 例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9分钟。所以 步行1千米所用时间为 1÷90.2515 跑步1千米所用时间为 15911 跑步速度为每小时 1÷11601×60115.5 答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。 第二讲 环形跑道的相遇与追及 教学目的： 1、 了解什么是环形跑道问题 2、 掌握环形跑道上相遇与追及的特点 基本知识点 1、环形跑道相遇问题： 如上图，我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇，相遇的时候他们刚好走过一个圆周的周长，如果在进行多次相遇的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次相遇。 重点：因此，圆周上的相遇告诉我们，每相遇一次，他们两个人的路程和为一个圆周的周长。相遇几次，就是几个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系，来进行解题 公式：一个圆周的周长=×相遇时间 2、环形跑道上的追及问题 如上图，我们可以看到甲、乙两人同向而行，快的会再一次在圆周上追上慢的，当追上的时候，快的刚好比慢的多走一个圆周的周长，如果在进行多次追及的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次追及。 重点：因此，圆周上的追及告诉我们，每追及一次，快的就应该比慢的多走一个圆周的周长。追及几次，就是几个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系，来进行解题 公式：一个圆周的周长=×相遇时间 1.在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？ 答案：假设没有休息 那么100/=100秒钟 在100/5=20秒 100/20-1=4100+4*10=140秒 2.小明在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时间每秒跑4米，为他后半路程用了多少时间？ 答案：x÷4=÷5×=160÷5160÷444分 3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒 答案：设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2 X/2*5+X/2*4=360 X=80 总共跑了80秒 前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米 后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米 后一半的路程为360/2=180米 后一半的路程用的时间为/5+40=44秒 4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？ 答案：设时间X秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程=40*4=160米 后一半路程=360/2=180米 后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米 后一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒 后一半路程时间=4+40=44秒 答：后一半路程用了44秒 5.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间？ 答案：设总用时X秒。前一半时间和后一半时间都是X/2。然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，总共加起来等于420米。所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因为后一半为6M/S，所以后一半跑了6*30=180M。 6.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？ 答案：前10圈甲跑一圈击掌一次，即10下 此时已跑了5+5/7圈；后面2人跑了2/7时击掌 一次，然后2人共一圈击掌1次 耗时 /=30/7*=165/98； 甲共总走了40+165/98 H 已走了 * M 第三讲 多人相遇与追及问题 教学目的： 1、 了解多人相遇与追及的解题技巧。 2、 会运用一些其他应用题手段来解决问题。 基本知识点 多人相遇与追及问题，与之前我们所接触的行程问题有所不同，因为它是三个人或者三个人以上的行程问题，这样发现多了很多关系，整体处理起来就比较难以入手。 解决技巧：数学思想就是把复杂问题简单化，因此，我们可以把多人的看成是两个人两个人的行程关系。 对于行程关系，我们前面已经说过了，除了有相遇与追及之外，有时还会出现，超越与背向而行产生距离。 超越的关系： 路程公式：×超越的时间=拉开的距离 会发现，超越与追及的公式一样，因此可以把它们归为一类。 背向而行产生距离： 公式：×相遇时间=两个人产生的距离 会发现，背向而行产生距离与相遇的公式一样，因此可以把它们归为一类。 例题解析 1、从甲市到乙市有一条公路，它分为三段。在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍。现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段的1/3处相遇。问：甲、乙相距多少千米？ 2、当两只小狗刚走完铁桥长的1/3时，一列火车从后面开来，一只狗向后跑，跑到桥头B时，火车刚好到达B；另一只狗向前跑，跑到桥头A时，火车也正好跑到A，两只小狗的速度是每秒6米，问火车的速度是多少？ 3、小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，他走了150级，他的同学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶，走了75级，如果小明行走的速度是小刚的3倍，那么可以看到的自动抚梯的级数是多少？ 4、一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将原速提高25，则可提前40分钟到达，求甲乙两地相距多少千米？ 5、 一只狗追赶一只兔子，狗跳跃6次的时间，兔只能跳跃5次，狗跳跃4次的距离和兔跳跃7次的距离相同，兔跑了5.5千米以后狗开始在后面追，兔又跑了多远被狗追上。 6、三种动物赛跑，狐狸的速度是兔子的4/5，兔子的速度是松鼠的2倍，一分钟松鼠比狐狸少跑12米，问：半分钟兔子比狐狸多跑几米？ 7、A、B分别以每小时160千米和20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当A车追上B车一次，A车减速1/3而B车增速1/3.问：在两车速度刚好相等的时候，它们分别行驶了多少千米？ 8、A、B两地相距125千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时出发，相向而行。丙骑摩托车每小时63千米。与甲同时从A 出发，在甲乙二人间穿梭，若甲车速为每小时9千米，且当丙第二次到甲处时，甲、乙两人相距45千米，问：当丙第四次回到甲处时，甲乙相距多少米？ 第四讲 流水行程问题 教学目的： 1、了解流水行程问题的解题技巧。 2、会运用知识来解决问题流水行船的实际问题。 基本知识点 单艘船自身在水里的公式推导： 在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速， 逆水速度=船速-水速. 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由公式可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速。 由公式可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式和公式，相加和相减就可以得到： 船速=÷2， 水速=÷2。 两艘船在水里发生相遇与追及关系： 由于在水中，很多人在解题中认为，会有水速的影响，可以进行推导，来看看是否有差别，会发现，完全与水速无关。因此解决在水中的相遇与追及完全可以把船拿到陆地上来。 分析过程： 当甲、乙两船在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船船速+乙船船速。 这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为： 甲船顺水速度-乙船顺水速度 =- =甲船速-乙船速。 如果两船逆向追赶时，也有 甲船逆水速度-乙船逆水速度 =- =甲船速-乙船速。 例题解析 例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。 分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。 解： 顺水速度：208÷8=26 逆水速度：208÷13=16 船速：÷2=21 水速：÷2=5 答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。 例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。 解： 从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18， 甲乙两地路程：18×8=144， 从乙地到甲地的逆水速度：153=12， 返回时逆行用的时间：144÷1212。 答：从乙地返回甲地需要12小时。 例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？ 分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。 解： 轮船逆流航行的时间：÷2=20， 顺流航行的时间：÷2=15， 轮船逆流速度：360÷20=18， 顺流速度：360÷15=24， 水速：÷2=3， 帆船的顺流速度：12315， 帆船的逆水速度：123=9， 帆船往返两港所用时间： 360÷15360÷924+40=64。 答：机帆船往返两港要64小时。 例4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？ 分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=-水速=船速. 解：路程差÷船速=追及时间 2÷4=0.5。 答：他们二人追回水壶需用0.5小时。 例5 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 解：相遇时用的时间 336÷ =336÷56 =6。 追及用的时间： 336÷42。 答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。 第五讲 火车过桥问题 教学目的： 1、了解流火车过桥问题的解题技巧。 2、火车过桥问题不同过程关系。 基本知识点 火车过桥问题是行程问题的一种情况。它包含以下几种情况，它与前面所学的行程问题不同，火车有一定的长度，不可以看成一个点，因此，在做题的时候，还要考虑火车的长度。 1、 火车与人相遇 火车与人相遇是指，火车与人相向而行，从火车头与人相遇开始，到车尾离开人，这样的一个全部状态。 公式：×相遇时间=火车的车长 2、 火车与人追及 火车与人相遇是指，火车与人同向而行，从火车头追上人开始，到车尾离开人，这样的一个全部状态。 公式：×追及时间=火车的车长 3、 火车与火车相遇 火车与火车相遇指的是，两个火车相向而行，从两个火车头相遇开始，到两个火车尾分开，这样一个状态过程。 公式：×相遇时间=快车车长慢车车长 4、 火车与火车追及 火车与火车追及相遇指的是，两个火车同向而行，从快车火车头追上慢车火车尾开始，到快车火车尾离开慢车火车头，这个一个状态过程， 公式： ×追及相遇时间=快车车长慢车车长 5、 火车过桥或过隧道 过桥问题是行程问题的一种情况。我们所说的列车通过一座桥，是指从车头上桥到车尾离桥的这个过程。这时，列车行驶的总路程是桥长加上车长，这是解决过桥问题的关键。 路程=桥长+车长 车速=÷通过时间 通过时间=÷车速 桥长=车速×通过时间车长 车长=车速×通过时间桥长 例题解析 例1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？ 分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。 总路程： 通过时间： 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。 例2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？ 分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。 总路程： 火车速度： 答：这列火车每秒行30米。 例3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？ 分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须 知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。 总路程： 山洞长： 答：这个山洞长60米。 第六讲 时钟问题 教学目的： 1、了解时钟问题的特点。 2、掌握时钟问题的解题方法。 基本知识点 时钟问题也是一类行程问题，它可以看做是圆周上的行程问题，具备圆周上的知识特点，但是它又有自己的特点，时钟问题包含了一些隐含信息。 1、路程的隐含： 对于时钟问题，我们可以把它的一周看做是360度，或者为60个小格。 2、速度的隐含： 分针的速度：6度/分钟或者 1个格/分钟 时针的速度：0.5度/分钟或者 112个格/分钟 注意：分针与时针所用的形式要统一。 3、状态隐含： 在钟表问题当中，只有时针与分针的追及过程，没有相遇。 还添加了一些成一个角度问题。 4、时针与分针的速度比例关系隐含： 分针的速度：时针的速度=12: 5、时针与分针的状态隐含： 整点位置，时针与分针的状态时已知 例1 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？ 分析 3点时分针指12，时针指3.分针在时针后5×315格. 例2 在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？ 分析 分两种情况进行讨论。 在顺时针方向上分针与时针成270°角： 在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×=45格，而在10点整时分针落后时针5×10=50格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5格，而每分钟分针 在顺时针方向上分针与时针成90°角： 在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×=15格，而在10点整时分针落后时针5×10=50格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35格，所以到达这一时 解：在顺时针方向上当分针与时针成270°角时： 在顺时针方向上当分针与时针成90°角时： 例3 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？ 分析 分两种情况进行讨论。 分针与时针的夹角为180°角： 当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×=30格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15格，而每分钟分针比时针多走 。 分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合 9点整时，分针落后时针5×9=45格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷(1- 解：当分针与时针的夹角为180°角时： 当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时： 例4 小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？ 分析 要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。 小明开始解题时的时刻： 因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×=30格，而7点整时分针落后时针5×735格，因此在这段时间内分针要比时 小明解题结束时的时刻： 因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要 这样小明解题所用的时间就可以求出来了。 解：先求小明开始解题的时刻： 再求小明结束解题的时刻： 最后求小明解题所用的时间： 例5 一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？ 分析 由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论： 先设此时是4点多： 4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格.又由于 再设此时是5点多： 5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此，从5点整到上页图钟面上 解：如果此时是4点多，则从4点整到上页图钟面上这种状态 如果此时是5点多，则从5点整到上页图钟面上这种状态共用： 例6 一只旧钟的分钟和时针每65分钟重合一次.问这只旧钟一天慢或快几分钟？ 分钟重合一次，显然旧钟快.本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度，进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。 单位表示：旧钟分针速度为x.旧钟分针走60格时针走5格， 耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针 标准时间一天有60×24=1440标准分，一天内旧钟分针走的格数为： 标准分钟数.并非标准的分钟数。 解：设这只旧钟的分针用标准时间1分钟走x格，则旧钟的时针速度为 根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用65标准分钟，列方程得：60÷ 标准时间一天有60×24标准分，标准时间一天内旧钟分针走的格数为： 这只旧钟的分针标准时间一天所走的格数与标准钟分针一天走的格数差为： 第七讲 行程中的比例问题 教学目的： 1、熟知行程中三个量的比例关系。 2、运用比例关系解决行程问题。 基本知识点 行程问题中三个量的关系： 1、公式 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 如果题中无两个量求第三个量 2、比例关系 时间一定：路程比等于速度比的正比例速度一定：路程比等于时间比的正比例路程一定：速度比等于时间比的反比例例题解析： 速度=路程÷时间 第八讲 多次相遇与追及问题 教学目的： 1、了解多次相遇与追及问题的特点。 2、掌握多次相遇与追及问题与全程数的关系 3、会用比例解多次相遇与追及问题 4、相遇点的定位 基本知识点 相遇问题 1、相遇次数与两个人走过全程数的关系： 第一次相遇 第二次相遇 由以上两个图可以知道，第一次相遇走的全程数为1个，第二次相遇走的全程数为3个，以此类推，第n次相遇走的全程数为。 2、相遇点的定位： 确定甲乙两辆车的速度比m:n 把全程分为份 根据相遇次数与全程数的关系，定位相遇点 然后求解 追及问题 其实追及问题与相遇问题一样，只不过追及问题是从同地出发，追及问题与全程数的关系为：相遇次数N，走过的全程数为2N. 注意点：这里的相遇，我们只考虑迎面相遇的情况。 这里的追及，我们只考虑背后追及的情况。 例题解析 第九讲 发车问题、接送问题、电梯问题 1、发车问题 2、接送问题 接送问题只的是一辆车在途中往返承载步行的人，使得他们可以同时到达目的地。 解决问题的关键是，汽车往返于两个人之间，不可以停，两个人走的距离是一样的，还有必需保证同时到达。 解法：一般用行程中的比例计算。 经典例题 1、有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学校出发的同时，第二班学生开始步行 ；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里， 载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，学生步行速度是4公里/小时，要使两个班的学生同时到达少年宫，第一班的学生步行了全程的几分之几？ A.1/7； B.1/6； C.3/4； D.2/5； 选A，两班同学同时出发，同时到达，又两班学生的步行速度相同=>说明两班学生步行的距离和坐车的距离分别相同的=>所以第一班学生走的路程=第二班学生走的路程；第一班学生坐车的路程=第二班学生坐车的路程=>令第一班学生步行的距离为x，二班坐车距离为y，则二班的步行距离为x，一班的车行距离为y。=>x/4(一班的步行时间)=y/40(二班的坐车时间)+(y-x)/50(空车跑回接二班所用时间)=>x/y=1/6=>x占全程的1/7=>选A 3、电梯问题 与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式： 与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是"单位时间运动了多少米"，一种是"单位时间走了多少级台阶"，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行程问题作比较，"单位时间运动了多少米"对应的是流水行程问题中的"船只顺(逆)水速度"，而"单位时间走了多少级台阶"对应的是"船只静水速度"，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即"单位时间走了多少级台阶"，所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单 第十讲 变速与变道问题 第十一讲 平均速度问题、猎狗追兔问题 1、平均速度问题 平均速度=总路程÷总时间 这里面一定注意，不要与平均数相混淆。关键求总路程、与总时间。 2、猎狗追兔问题 猎狗追兔的整体解题思路是： 将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间 比例思想即将单位化为统一后，即得两种动物的速度比，由于追及时间相同，所以速度比等于路程比这样再引入份数思想得到路程差的份数