相似三角形经典题.docx

相似三角形经典题初三相似三角形 相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形 例2 已知：如图，例3 如图，已知DABDDACE，求证：DABCDADE 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ 所有的直角三角形都相似 所有的等腰三角形都相似 所有的等腰直角三角形都相似 所有的等边三角形都相似 例5 如图，D点是DABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在DABC的边上，并且点D、点E和DABC的一个顶点组成的小三角形与DABC相似尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高 第 1 页 共 6 页 ABCD中，AE:EB=1:2，求DAEF与DCDF的周长的比，如果SDAEF=6cm，求SDCDF 2初三相似三角形 例7 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由 例9 根据下列各组条件，判定DABC和DA¢B¢C¢是否相似，并说明理由： AB=3.5cm,BC=2.5cm,CA=4cm, A¢B¢=24.5cm,B¢C¢=17.5cm,C¢A¢=28cm ÐA=35°,ÐB=104°,ÐC¢=44°,ÐA¢=35° AB=3,BC=2.6,ÐB=48°,A¢B¢=1.5,B¢C¢=1.3,ÐB¢=48° 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据 AB=AC,ÐA=36°,BD是角平分线，例11 已知：如图，在DABC中，试利用三角形相似的关系说明AD=DC×AC 第 2 页 共 6 页 2初三相似三角形 例12 已知DABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的DA¢B¢C¢的最大边长为26，求DA¢B¢C¢的面积S 例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由 例14如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使ABBC，然后再选点E，使ECBC，确定BC与AE的交点为D，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？ 例15如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步，并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？ 例16 如图，已知ABC的边AB23，AC2，BC边上的高AD3 求BC的长； 如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积 第 3 页 共 6 页 初三相似三角形 相似三角形经典习题答案 例1 解 、相似，、相似，、相似 例2 解 QABCD是平行四边形，AB/CD,AB=CD，DAEFDCDF， 又AE:EB=1:2，AE:CD=1:3，DAEF与DCDF的周长的比是1：3 又SDAEF1=2,SDAEF=6(cm2)，SDCDF=54(cm2) SDCDF3例3 分析 由于DABDDACE，则ÐBAD=ÐCAE，因此ÐBAC=ÐDAE，如果再进一步证明问题得证 证明 DABDDACE，ÐBAD=ÐCAE 又QÐBAC=ÐBAD+ÐDAC，ÐDAE=ÐDAC+ÐCAE， ÐBAC=ÐDAE DABDDACE，BACA，则=ADAEABAC =ADAEABAC，DABCDADE =ADAE在DABC和DADE中，ÐBAC=ÐADE,例4分析 不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同 也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同 正确设有等腰直角三角形ABC和A¢B¢C¢，其中ÐC=ÐC¢=90°， 则ÐA=ÐA¢=45°,ÐB=ÐB¢=45°， 设DABC的三边为a、b、c，DA¢B¢C¢的边为a¢、b¢、c¢， 则a=b,c=2a,a¢=b¢,c¢=2a¢， abca=,=，DABCDA¢B¢C¢ a¢b¢c¢a¢也正确，如DABC与DA¢B¢C¢都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此DABCDA¢B¢C¢ 答：、不正确、正确 例5解： 画法略 例6分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，DFGF，从而可以求出BC的长 =CE=30米，求BC由于DADFDAEC,DF=AF，又DACFDABC，ECBCECACDFAF解 QAEEC,DF/EC，ÐADF=ÐAEC,ÐDAF=ÐEAC，DADFDAEC =ECAC又GFEC,BCEC，GF/BC,ÐAFG=ÐACB,ÐAGF=ÐABC， DAGFDABC，AFGFDFGF， =ACBCECBC第 4 页 共 6 页 初三相似三角形 又DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，EC=30米，BC=6米即电线杆的高为6米 例7分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，DBCA与DMNA的相似关系就明确了 解 因为BCCA,MNAN,ÐBAC=ÐMAN，所以DBCADMNA 所以MN:BC=AN:AC，即MN:1.6=20:1.5所以MN=1.6´20¸1.5»21.3 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦 例8分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的实际上格点无形中给图形增添了条件长度和角度 解 在格点中DEEF,ABBC，所以ÐE=ÐB=90°， 又EF=1,DE=2,BC=2,AB=4所以DEEF1=所以DDEFDABC ABBC2说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏 AB3.5cm1BC2.5cm1CA4cm1=,=,=，所以DABCDA¢B¢C¢； A¢B¢24.5cm7B¢C¢17.5cm7C¢A¢28cm7因为ÐC=180°-ÐA-ÐB=41°，两个三角形中只有ÐA=ÐA¢，另外两个角都不相等，所以DABC与DA¢B¢C¢不相似； ABBC2因为ÐB=ÐB¢,=，所以DABC相似于DA¢B¢C¢ A¢B¢B¢C¢1例10解 DADEDABC 两角相等； DADEDACB 两角相等； DCDEDCAB 两角相等； DEABDECD 两边成比例夹角相等； DABDDACB 两边成比例夹角相等； DABDDACB 两边成比例夹角相等 例11分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，ÐCBD=36°，则可推出DABCDBCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系 例9解 因为证明 QÐA=36°,AB=AC，ÐABC=ÐC=72° 又QBD平分ÐABC，ÐABD=ÐCBD=36° AD=BD=BC，且DABCDBCD，BC:AB=CD:BC，BC=AB×CD，AD=AC×CD 说明 有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边 要说明线段的乘积式ab=cd，或平方式a=bc，一般都是证明比例式，222adba=，或=，再根据cbac比例的基本性质推出乘积式或平方式 例12分析 由DABC的三边长可以判断出DABC为直角三角形，又因为DABCDA¢B¢C¢，所以DA¢B¢C¢也是直角三角形，那么由DA¢B¢C¢的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出DA¢B¢C¢的两条直角边长，再求得DA¢B¢C¢的面积 解 设DABC的三边依次为，BC=5,AC=12,AB=13，则QAB=BC+AC，ÐC=90° 222BCACAB131=， B¢C¢A¢C¢A¢B¢26211又BC=5,AC=12，B¢C¢=10,A¢C¢=24 S=A¢C¢´B¢C¢=´24´10=120 22又DABCDA¢B¢C¢，ÐC¢=ÐC=90° 例13分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高按这种测量方法，过F作FGAB于G，交CE于H，可知DAGFDEHF，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求 解 这种测量方法可行理由如下： 设旗杆高AB=x过F作FGAB于G，交CE于H所以DAGFDEHF 因为FD=1.5,GF=27+3=30,HF=3，所以EH=3.5-1.5=2,AG=x-1.5 第 5 页 共 6 页 初三相似三角形 由DAGFDEHF，得AGGFx-1.530，即，所以x-1.5=20，解得x=21.5 =EHHF23所以旗杆的高为21.5米 说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行 例14. 解：QÐADB=ÐEDC,ÐABC=ÐECD=90°， ABBDBD´EC120´50，答：两岸间AB大致相距100米 =,AB=100ECCDCD60DGFH例15. 答案：AB=1506米，BD=30750步， ×AK,KE=×AKCDFEDABDDECD，例16. 分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长 解：如上图，由ADBC，由勾股定理得BD3，DC1，所以BCBDDC314 如下图，同理可求BD3，DC1，所以BCBDCD312 22222222如下图，由题目中的图知BC4，且AB+AC=(23)+2=16，BC=16，AB+AC=BC所以ABC是直角三角形 由AEGF是正方形，设GFx，则FC2x， GFAB，x2-xGFFC=，即 x=3-3，S正方形AEGF=(3-3)2=12-63 =2ABAC23如下图，当BC2，AC2，ABC是等腰三角形，作CPAB于P，AP1AB=3， 2在RtAPC中，由勾股定理得CP1， GHAB，CGHCBA，x23=1-x23232156-483，x=S正方形GFEH=( )=x1211+231+23因此，正方形的面积为12-63或156-483 121第 6 页 共 6 页