直线系圆系方程.docx

直线系圆系方程直线系、圆系方程 1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点的直线系方程：A(x-x0)+B(y-y0)=0. ，4)圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线的方程 例 1 求过点P(-1分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为A(x+1)+B(y-4)=0， 则整理有Ax+By+A-4B=0， 直线l与圆相切，圆心C(2，3)到直线l的距离等于半径1，故2A+3B+A-4BA+B22=1， 整理，得A(4A-3B)=0，即A=0，或A= 故所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0 3B¹0 4点评：对求过定点的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: A(x-x0)+B(y-y0)=0，注意的此方程表示的是过点P(x0，y0)的所有直线，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象 ，4)作圆(x-2)+(y-3)=1的切线l，求切线l的方程 练习： 过点P(-1 解：设所求直线l的方程为A(x+1)+B(y-4)=0， 则整理有Ax+By+A-4B=0， 223)到直线l的距离等于半径1，故 直线l与圆相切，圆心C(2， 整理，得A(4A-3B)=0，即A=0，或A= 故所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 2A+3B+A-4BA+B22=1， 3B¹0 4过直线l：A1x+B1y+C1=0与m：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2)=0. 例2 求过直线：x+2y+1=0与直线：2x-y+1=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：x+2y+1+l(2x-y+1)=0， 当直线过原点时，则1+l=0，则l=1， 此时所求直线方程为：x-2y=0； 当所求直线不过原点时，令x=0，解得y=令y=0，解得x=-l+1， l-2l+1， 2l+11l+1l+1由题意得，=-，解得l=， 3l-22l+1此时，所求直线方程为：5x+5y+4=0. 综上所述，所求直线方程为：x-2y=0或5x+5y+4=0. 3、求直线系方程过定点问题 例3 证明：直线mx+y-m-1=0(m是参数且mR)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：直线方程化为:(x-1)m+y-1=0, mR, íìx-1=0，解得，x=1，y=1， îy-1=0直线mx+y-m-1=0(m是参数且mR)过定点. 取m=0，m=1得，y=1，x+y-2=0，联立解得，x=1，y=1， 将代入mx+y-m-1=0检验满足方程， 直线mx+y-m-1=0(m是参数且mR)过定点. 点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于x,y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点. 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以(a,b)为圆心的同心圆系方程：(x-a)+(y-b)=l(l>0) 与圆x+yDxEy同心的圆系方程为：x+yDxEyl 2、过直线AxBy与圆x+yDxEy交点的圆系方程为：x+yDxEyl 3、过两圆C1:x+yD1x+E1y+F10，C2:x+yD2x+E2y+F2交点的圆系方程为：x+y22222222222222222D1x+E1y+F1l0 特别地，当l时，上述方程为根轴方程两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+l(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例 求经过两圆x+y+6x-4=0和x+y+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。 例、求经过两圆x2+y232222xy2和3x2+3y22xy交点和坐标原点的圆的方程 解：方法3：由题可设所求圆的方程为： l 在所求的圆上， 有2l 从而l 故所求的圆的方程为： (x+y+3x-y-2)+2(3x+3y+2x+y+1)=0 即 7x+7y7222222xy。 练习：求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 1解: 构造方程 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0 即 (1+)x2+(1+)y2+6x+6y-(4+28)=0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为(-当该圆心在直线x-y-4=0上时,即 33l,-) 1+l1+l-33l+-4=0,得l=-7. 1+l1+l 所求圆方程为 x2+y2-x+7y-32=0 练习:求与圆x2+y2-4x-2y-20=0切于A(-1,-3),且过B(2,0)的圆的方程.解：过A(-1,-3)的圆的切线为3x+4y+15=0。与已知圆构造圆系x2+y2-4x-2y-20+l(3x+4y+15)=0，8代入(2,0)得l=,所以所求圆方程为77x2+7y2-4x+18y-20=0.2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程： 例2：求过两圆x+y=5和(x-1)+(y-1)=16的交点且面积最小的圆的方程。 分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。 解：圆x+y=5和(x-1)+(y-1)=16的公共弦方程为2x+2y-11=0 22222222过直线2x+2y-11=0与圆x2+y2=5的交点的圆系方程为 x2+y2-25+l(2x+2y-11)=0，即x2+y2+2lx+2ly-(11l+25)=0 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心(-l,-l)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2l-2l+11=0，则l=-代回圆系方程得所求圆方程(x-例; 求经过直线l：211 41121179)+(y-)2= 448xy4与圆：x2+y22x4y1的交点且面积最小的圆的方程 解：设圆的方程为：x2+y22x4y1l 2即x2+y22(1+l)x+(l-4)y则r=当l15844(1+l)2+(l-4)2-4(1+4l)=(l-)2+，445582时，r最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：5x2+5y226x12y37 5练习： 1求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。 2求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。 3求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。 4求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。 3、利用圆系方程求参数的值： 例3：已知圆x+y+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。 分析：此题最易想到设出P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OPOQ得到x1x2+y1y2=0，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线x+2y-3=0与圆x+y+x-6y+m=0的交点的圆系方程为： 222222222222x2+y2+x-6y+m+l(x+2y-3)=0，即 x+y+(1+l)x+2(l-3)y+m-3l=0. 依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心(-221+l1+l,3-l)显然在直线x+2y-3=0上，则-+2(3-l)-3=0，22解之可得l=1又O(0,0)满足方程，则m-3l=0，故m=3。 4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系： 例4 圆系x+y2k22xy10k20中，任意两个圆的位置关系如何？ 解：圆系方程可化为：x2+y210y20k ì2x+4y+10=0ìx+2y+5=0 与k无关 í2 即í2 22x+y+10y+20=0îîx+(y+5)=5易知圆心到直线x2y5的距离恰等于圆x2+(y+5)2的半径故直线x2y5与圆x2+(y+5)2相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切 总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。 练习： 一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程 2222例1求过圆：x+y-2x+2y+1=0与圆：x+y+4x-2y-4=0的交点，圆心在直线：x-2y-5=0的圆的方程. 分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解. 2222解析：设所求圆的方程为：x+y-2x+2y+1+l(x+y+4x-2y-4)=0(l-1). 整理得 (1+l)x+(1+l)y+(4l-2)x+2(1-l)y+1-4l=0， 所以所求圆的圆心为(221-2ll-1,)， 1+l1+l由已知知所求圆的圆心在直线：x-2y+5=0上， 1-2ll-1-2´+50，解得，l=-8，代入圆系方程整理得， 1+l1+l34183322x-y-=0. 所以，所求圆的方程为x+y+777所以点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数l不等于-1这一条件，同学们应很好掌握这一方法. 二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程 例2已知圆O：x+y-2x+4y+1=0和圆外一点A，过点A作圆O的切线，切点分别为C、D，求过切点C、D的直线方程. 分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程. 解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1,-2)， 22|AO|=(3-1)+(4+2)=210，线段AO的中点为， 22以线段AO为直径的圆的方程为，(x-2)+(y-1)=10，即 22x2+y2-4x-2y-5=0， 圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0， 直线CD的方程为x+3y+3=0. 点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数l为何值时表示圆，参数l为何值时表示直线. 例如：求与圆x2+y24x2y20=0切于A(1,3)，且过B(2,0)的圆的方程。 解：过A(1,3)的圆的切线为：3x+4y+15=0与已知圆构造圆系： x2+y24x2y20+l(3x+4y+15)=0 曲线过B(2,0) l=8 7所求的方程为：7x2+7y24x+18y20=0 例2平面上有两个圆，它们的方程分别是x2+y2=16和x2+y26x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。 分析：由x2+y26x+8y+24=0Þ(x3)2+(y+4)2=1,显然这两圆的关系是外切。 解： x2+y26x+8y+24=0Þ(x3)2+(y+4)2=1 这两圆是外切 (x2+y26x+8y+24)(x2+y216)=0Þ3x4y20=0 所求的两圆内公切线的方程为：3x4y20=0 学生注意：对于不同心的两个圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，圆系方程C1+lC2=0 补充：