直线的参数方程及应用.docx
直线的参数方程及应用高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 直线的参数方程及应用 一、直线的参数方程 1.定义：若a为直线l的倾斜角，则称e=(cosa,sina)为直线l的(一个)方向向量. ruuurrr2.求证：若P,Q为直线l上任意两点，e=(cosa,sina)为l的方向向量,则有PQ/e. 证明： 3.设直线l过点M0(x0,y0)的倾斜角为a，求它的一个参数方程. 归纳小结 r 引参：取满足 的实数t作参数. 参数方程： 方程特点：中已知点的坐标为 ，未知点坐标为；参数的系数：在x表达式中参数t的系数为 ，在y表达式中参数t的系数为 ；角a的含义：为直线的 ；表达式中运算符号： . uuuuuur向量等式M0M=te的特点: 左边向量起点必须是 ，终点必须是 ； 等号右边向量e的坐标必须是 ，且a必须为直线的 ； 一个重要的等价关系：M0M=teÛ点M的参数值为 . 如M0M=4eÛ点M的参数值为 ；M0D=-2eÛ点D的参数值为 ；M0E=-eÛ点E的参数值为 . 参数方程: . 消参：当a¹p2时, 消参得 ；当a=p2时, 消参得 . 参数t的几何意义:表示 ，其绝对值为 . 参数t的取值范围:tÎR；若MM0与e同向,则t取 值；若MM0与e反向,则t取 值；若M与M0重合，则t=0. uuuuuuruuuuuuruuuuuurruuuuurruuuuurruuuuuurrrrrr二、弦长公式、线段中点参数值 1.设AB是曲线C截直线l:íìx=x0+tcosa,所得弦，且弦端点A,B的参数值分别为y=y+tsina,0ît1,t2，D为线段中点，参数值为tD，则 |AB|=|t2-t1|=(t2+t1)2-4t1t2. 证明： tD=t1+t2. 2 1 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 证明： 例1 已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积. x2y2例2 经过点M(2,1)作直线l，交椭圆+=1于A,B两点.如果点M恰好为线段AB的中点，164求直线l的方程. 练习 1.设直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为p3. 求直线l的参数方程； 求直线l和直线x-y-23=0的交点到点M0的距离； 求直线l和圆x2+y2=16的两个交点到点M0的距离的和与积. 2.已知经过点P(2,0)，斜率为43的直线l和抛物线y2=2x相交于A,B两点，设线段AB的中点为M.求点M的坐标. 3.经过点M(2,1)作直线l交双曲线x2-y2=1于A,B两点，如果点M为线段AB的中点，求直线AB的方程. 4.经过抛物线y2=2px(p>0)外的一点A(-2,-4)且倾斜角为45°的直线l与抛物线分别相交于M1,M2.如果|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求p的值. 5.已知曲线C1:íìx=-4+cost,ìx=8cosq,(t为参数),曲线C2:í(q为参数) y=3+sint.y=3sinq.îî化C1、C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线； 若C1上的点P对应的参数为t=p2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线ìx=3+2t,C3:í距离的最小值. y=-2+t.î解： 2 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 练习： 1.直线l的方程为íìx=1+2t,，则l上任一点到点(1,2)的距离是 îy=2-3t.A.t B.|t| C.13|t| D.3|t| ìx=-tsin20o+3,2.直线í的倾斜角是 oy=tcos20.îA.20o B.70o C.110o D.160o ìx=x0+tcosa,3.已知直线í上的点A、B所对应的参数分别为t1、t2，点P分AB所îy=y0+tsina.成的比为l，则点所对应的参数是 A.t1+t2t+tt+lt2t+lt1 B.12 C.1 D.2 21+l1+l1+lìx=2cosq,的位置关系是 îy=2sinq.4.直线3x-4y-9=0与圆íA.相交但直线不过圆心 B.相交且直线过圆心 C.相切 D.相离 5.下列参数方程都表示过点M0(1,5)，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M和M0的距离，这个参数方程是 ìïx=1+ìx=1+t,ïA.í B.íîy=5+2t.ïy=5+ïî1ì21ìt,ïx=1+5ïx=1+t, C.í2 D.í2 2ïy=5+2t.ït.îy=5+t.î5t,6.直线íìx=3+acosq,ìx=-2-bsinq,与直线í的位置关系为 C y=-2+asinq.y=3-bcosq.îîA.关于y轴对称 B.关于原点对称 C.关于直线y=x对称 D.互相垂直 ìx=-2+cosq,y7.曲线C的参数方程为í，则的取值范围是 xîy=sinq.A.-3,3B.(-¥,-3U3,+¥)C.-8. 参数方程í3333U,+¥) ,D.(-¥,-3333ìx=-2cosq,pp所表示的曲线是 . 22îy=2sinq.ìïx=2+ï9.直线íïy=-3-ïî2t,2上到点M(2,-3)的距离为2，且在点M下方的点的坐标2t.2是 . 10.点(1,-5)与两直线íìïx=1+t,及x-y-23=0的交点的距离是 . ïîy=-5+3t. 3 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 11.两圆íìx=3+2cosq,ìx=3cosq,与í的位置关系是 . y=4+2sinq.y=3sinq.îî12.已知直线l经过点P(1,0)，倾斜角为a=写出直线l的参数方程； p6. 设直线l与椭圆x2+4y2=4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积. B.化一般参数方程íìx=x0+at,为标准参数方程 y=y+bt.0î1.直线标准参数方程的特点：参数t的系数：cosa、sina；角a的含义：为直线的倾斜角；表达式中运算符号：加法. 2.一般参数方程向标准型转化： 设直线的一般参数方程为 ìx=x0+at, (t为参数) íîy=y0+bt.则可得标准方程为 aì×a2+b2t,ïx=x0+22a+bï(取t¢=a2+b2t为参数) íbïy=y+×a2+b2t.022ïa+bî显见，参数t¢=a2+b2t的绝对值表示直线l上的动点M(x,y)与定点M0(x0,y0)的距离. 证明:设直线的倾斜角为a，设直线标准参数方程为，与对比，得íìx=x0+at, (t为参数) îy=y0+bt.例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式: ìïx=4+ìx=4+2t,ï(1) í(t为参数) (2)íîy=3+t.ïy=3+ïîìïx=4+ï结果(1) íïy=3+ïî25t,5 (t¢=5t为参数) (2) 15t.5ìïx=4+ïíïy=3+ïî6t,ìx=x0+at,13(t为参数) (3)í (t为参数) y=y+bt.40ît.133t¢,13(t¢=2t为参数) 2t¢.13(3)令íìx=x0+cosj×lt,ìcosj×l=a,则í于是(cosj×l)2+(sinj×l)2=l2=a2+b2,取l=a2+b2, sinj×l=b.y=y+sinj×ltî0îaa+b22则cosj=,sinj=ba+b22,t¢=a2+b2t, aì×a2+b2t,ïx=x0+22a+bï于是得直线的标准参数方程为í(t¢=a2+b2t为参数). bïy=y+×a2+b2t.022ïa+bî 4 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 ìïx=4+ï例 求直线l1:íïy=3+ïî613413t,(t为参数)与直线l2:x+y-2=0的交点到定点(4,3)的距离 t.题型三：参数方程í 参数方程íìx=x0+at,中参数t具有几何意义的条件 îy=y0+bt.ìx=x0+at,中参数t具有几何意义的条件：a2+b2=1且b³0 îy=y0+bt.uuuuuur事实上，|M0M|=(x-x0)2+(y-y0)2=(at)2+(bt)2=|t| 1ìx=2-t,ïì2ïïx=cosj,例4 求直线l：í(t为参数)被曲线í所截得的弦长. 3y=3sinj.ïîïy=3-t.ïî2编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t系数平方和为1，则参数t就有几何意义”这个事实. y2解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y=3x-3、+x2=1，联立消元，整理得 3x2-x=0，于是两交点为A(0,-3)，B(1,0)，故|AB|=2. 解二：椭圆的普通方程为：y2 +x2=1，将直线参数方程代入并整理得，t2-6t+8=0，解得t1=2或t2=4，故|AB|=|t1-t2|=|2-4|=23 5
