直线与平面平行经典题目.docx

直线与平面平行经典题目9.2 直线与平面平行 知识梳理 1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行. 点击双基 1.设有平面、和直线m、n，则m的一个充分条件是 A.且m B.=n且mn C.mn且n D.且m 答案：D 2.设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 若m，n，则mn 若，m，则m 若m，n，则mn 若，则 A. B. C. D. 解析：显然正确.中m与n可能相交或异面.考虑长方体的顶点，与可以相交. 答案：A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 解析：设=l，a，a， 过直线a作与、都相交的平面， 记=b，=c， 则ab且ac， bc. 又bÌ，=l，bl.al. cgaalbb答案：C 4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 解析：对于任意的直线l与平面a，若l在平面内，则存在直线ml；若l不在平面内， 且l，则平面内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面内，且l于不垂直，则它的射影在平面内为一条直线，在平面a内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直， 综上所述，选C. 5.已知平面a,b和直线，给出条件：m/a；ma；mÌa；ab；a/b. 当满足条件 时，有m/b；当满足条件 时，有mb. 第 1 页 共 11 页 典例剖析 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE. ADMBPCNQEF证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，连结PQ. MPAB，NQAB，MPNQ. 22 BN=CM=MP，MPQN是平行四边形. 22MNPQ，PQÌ平面BCE.而MNË平面BCE，MN平面BCE. 证法二：过M作MGBC，交AB于点G，连结NG. 又NQ=AGDMBCENFMGBC，BCÌ平面BCE，MGË平面BCE，MG平面BCE. BGCMBN=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE. GAMANF又面MGNG=G，平面MNG平面BCE.又MNÌ平面MNG.MN平面BCE. 特别提示 又证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58. PMDAONEBC求证：直线MN平面PBC； 求直线MN与平面ABCD所成的角. 证明：PABCD是正四棱锥， ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE. ADBC，ENAN=BNND. 又BNND=PMMA， ENAN=PMMA. MNPE. 又PE在平面PBC内，MN平面PBC. 第 2 页 共 11 页 解：由知MNPE，MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角. 设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知PO=PB2-OB2=132. 2由知，BEAD=BNND=58， BE=在PEB中，PBE=60°，PB=13，BE=根据余弦定理，得PE=65. 865， 891. 813291在RtPOE中，PO=，PE=， 28PO42sinPEO=. 7PE42故MN与平面ABCD所成的角为arcsin. 7如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， 求证：ACBC1； 求证：AC 1/平面CDB1； 求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值 解析：直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1； 设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点， E是BC1的中点， DE/AC1， DEÌ平面CDB1，AC1Ë平面CDB1， AC1/平面CDB1； DE/AC1， CED为AC1与B1C所成的角，在CED中， ED=55111AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=22， 2222282×22×52=22， 5 cosÐCED= 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值22. 5闯关训练 夯实基础 第 3 页 共 11 页 1. 已知m、n为两条不同的直线，则下列命题中正确的是 为两个不同的平面， A. mÌa,nÌa,mb，nbÞ ab B. ab，mÌa,nÌa，Þmn C. ma，mnÞna D. nm,naÞma 解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在a内，不正确，选D 2.对于平面a和共面的直线m、n，下列命题中真命题是 A.若ma，mn，则na B.若ma，na，则mn C.若mÌa，na，则mn D.若m、n与a所成的角相等，则nm 解：对于平面a和共面的直线m、n,真命题是“若mÌa,na,则mn”， 选C. 3.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中点 作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( ) A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条 解：如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点 AD1C1B1DCBA1作直线, 其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，选D. 4.(06重庆卷)若P是平面a外一点，则下列命题正确的是 A.过P只能作一条直线与平面a相交 B.过P可作无数条直线与平面a垂直 C.过P只能作一条直线与平面a平行 D.过P可作无数条直线与平面a平行 解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行， 且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D 5.如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分 别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的 重心. 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有 2条棱与平面PEF平行，则P为 AK BH CG DB 6.已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是_. 解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行； AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直； DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点. D1A1B1C1DABC答案： 7.已知RtABC的直角顶点C在平面内，斜边AB，AB=26，AC、BC分别和平面 成45°和30°角，则AB到平面的距离为_. 解析：分别过A、B向平面引垂线AA、BB，垂足分别为A、B. 第 4 页 共 11 页 A'AaCB'B设AA=BB=x，则AC2=2=2x2， sin45BC2=2=4x2.又AC2+BC2=AB2，6x2=2， x=2. 答案：2 sin30 8、右图是一个直三棱柱被一平面所截得到的几何体， 截面为ABC已知A1B1B1C1l，AlBlC190°，AAl4，BBl2，CCl3。 设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1； 求二面角BACA1的大小； A C 求此几何体的体积； C2 O HA 2解法一：证明：作ODAA1交A1B1于D，连C1D x 则ODBB1CC1因为O是AB的中点， 1所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1 2则ODC1C是平行四边形，因此有OCC1D A1 C1 D B1 C1DÌ平面C1B1A1且OCË平面C1B1A1， 则OC面A1B1C1 如图，过B作截面BA2C2面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2 作BHA2C2于H，连CH 因为CC1面BA2C2，所以CC1BH，则BH平面A1C 又因为AB=5，BC=2，AC=3ÞAB2=BC2+AC2 所以BCAC，根据三垂线定理知CHAC，所以BCH就是所求二面角的平面角 因为BH=2BH1=，故BCH=30， ，所以sinBCH=2BC2即：所求二面角的大小为30 因为BH=2111(1+2)，所以VB-AA2C2C=SAA2C2CBH=2332221= 22VA1B1C1-A2BC2=SA1B1C1BB1=12=1 2第 5 页 共 11 页 所求几何体体积为 V=VB-A2A 解法二： C2+V1A1BC-1C3 =2AB2C2如图，以B1为原点建立空间直角坐标系， 则A(01，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)，因为O是AB的中点， A O z C x -，0÷ 3÷，OC=ç1，所以Oç0，0，1)是平面A1B1C1的一个法向量 易知，n=(0，æè1ö2øæè12öøB y A1 B1 C1 因为OCn=0，OCË平面A1B1C1，所以OC平面A1B1C1 -1，-2)，BC=(1，0，1)， AB=(0，设m=(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则 则ABm=0，BCm=0得：íì-y-2z=0x+z=0î2，-1) 取x=-z=1，m=(1，0)为平面AAC显然，l=(1111C的一个法向量 l=则cosm，mlml=1+2+03=，结合图形可知所求二面角为锐角 22´6P所以二面角B-AC-A1的大小是30 同解法一 培养能力 9.如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中， ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a, 点E在PD上，且PE:ED=2:1. B证明PA平面ABCD； 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角q的大小； 在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？ 证明你的结论. 证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB. B同理，PAAD，所以PA平面ABCD. 解 作EG/PA交AD于G， EACPDEAHCGD第 6 页 共 11 页 由PA平面ABCD. 知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH， 则EHAC，EHG即为二面角q的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 EG=123a,AG=a,GH=AGsin60°=a. 333q=从而 tanEG3=, q=30°. GH3解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 3131za,-a,0),C(a,a,0). 2222P21D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a). 332131a,a,0). 所以 AE=(0,a,a),AC=(EF332231DAAP=(0,0,a),PC=(a,a,-a). 22BC31xBP=(-a,a,a). 2231al,al,-al),其中0<l<1,则 设点F是棱PC上的点，PF=lPC=(223131BF=BP+PF=(-a,a,a)+(al,al,-al) 222231a(l-1),a(1+l),a(1-l). 令 BF=l1AC+l2AE 得 =(22ì33ìa(l-1)=al1,ïïl-1=l1,2ï2ï124ï1ï即í1+l=l1+l2, ía(1+l)=al1+al2,233ï2ï11ïïa(1-l)=al.1-l=l2.2ïï33îîA(0,0,0),B(y113113,l1=-,l2=. 即 l=时，BF=-AC+AE. 222222亦即，F是PC的中点时，BF、AC、AE共面. 又 BFË平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC. 解得 l=解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下， 证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. PMFABOCED1PE=ED, 知E是MD的中点. 2连结BM、BD，设BDÇAC=O，则O为BD的中点. 由 EM=所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC. 又 BFÌ平面BFM，所以BF/平面AEC. 证法二 第 7 页 共 11 页 11CP=AD+(CD+DP) 221313=AD+CD+DE=AD+(AD-AC)+(AE-AD)222231=AE-AC.22所以 BF、AE、AC共面. 又 BFË平面ABC，从而BF/平面AEC. 因为 BF=BC+探究创新 10.如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. D1A1DAEBN B1C1M C1AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过2求证：EM平面A1B1C1D1； 求二面角BA1NB1的正切值； 设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2， 求V1V2的值. 证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1. E为A1B的中点，EF1B1B. 2PD1HA1DEABFMB1CNC11B1B，EFMC1. 2四边形EMC1F为平行四边形. EMFC1.EMË平面A1B1C1D1， FC1Ì平面A1B1C1D1， EM平面A1B1C1D1. 解：作B1HA1N于H，连结BH. BB1平面A1B1C1D1，BHA1N. BHB1为二面角BA1NB1的平面角. EM平面A1B1C1D1，EMÌ平面A1BMN，平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N， EMA1N. 又EMFC1，A1NFC1. 又A1FNC1，四边形A1FC1N是平行四边形.NC1=A1F. 设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a. 在RtA1D1N中， 又C1MA1N=A1D12+D1N2=5 a， sinA1ND1=A1D12=. A1N5第 8 页 共 11 页 在RtA1B1H中，B1H=A1B1sinHA1B1=2a·25=45 a. 在RtBB1H中，tanBHB1=BB1a5=. 4B1H4a5解：延长A1N与B1C1交于P，则P平面A1BMN，且P平面BB1C1C. 又平面A1BMN平面BB1C1C=BM， PBM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P. 又平面MNC1平面BA1B1， 几何体MNC1BA1B1为棱台.SDA1BB1=棱台MNC1BA1B1的高为B1C1=2a，V1=1111·2a·a=a2，SDMNC1=·a·a= a2， 22241117·2a·= a3， 4346V2=2a·2a·a73173V17a= a.=. V21766思悟小结 1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外. 2.辅助线是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线. 教学点睛 1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法. 2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行. 拓展题例 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b. A1B1GEAFCC1B设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC； 求证：A1C1AB； 求点B1到平面ABC1的距离. 证明：E、F分别为AB1、BC1的中点， EFA1C1.A1C1AC，EFAC.EF平面ABC. 证明：AB=CC1，AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱， 四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1BAB1. 又AB1BC1，AB1平面A1BC1. AB1A1C1. 又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1. A1C1AB. 第 9 页 共 11 页 解：A1B1AB，A1B1平面ABC1. A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离. 过A1作A1GAC1于点G， AB平面ACC1A1， ABA1G.从而A1G平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G=a b2-a2. b评述：本题也可用等体积变换法求解. 2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。 ()求证：EF平面SAD；()设SD = 2CD，求二面角AEFD的大小； 解法一：作FGDC交SD于点G，则G为SD的中点 1y AB，故FG AE，AEFG为平行四边形 CD，又CD F 2EFAG，又AGÌ平面SAD，EFË平面SAD 所以EF平面SAD 连结AG，FG 不妨设DC=2， 则SD=4，DG=2，ADG为等腰直角三角形 取AG中点H，连结DH，则DHAG 又AB平面SAD，所以ABDH，而ABAG=A， 所以DH面AEF 取EF中点M，连结MH，则HMEF 连结DM，则DMEF 故ÐDMH为二面角A-EF-D的平面角 D G S A z A C B E 第M tanÐDMH=DH2=2 HM1BD所以二面角A-EF-D的大小为arctan2 解法二：如图，建立空间直角坐标系D-xyz 设A(a，0，0)S(0，0，b)，则B(a，a，0)C(0，a，0) ACOböböböæaöæaböæææEça，0÷，Fç0，÷，EF=ç-a，0，÷取SD的中点Gç0，0，÷，则AG=ç-a，0，÷ 2ø2ø2øè2øè22øèèèEF=AG，EFAG，AGÌ平面SAD，EFË平面SAD， 所以EF平面SAD ，0)C(0，1，0)S(0，0，2)Eç1，0÷，Fç0，1÷ ，0，0)，则B(11不妨设A(1æ111öæ111öMD=ç-，-，-÷，EF=(-1，0，1)MDEF=0，MDEF EF中点Mç，÷，è222øè222øæ1è2öøæè1ö2øB第 10 页 共 11 页 -，0÷，EAEF=0，EAEF， 又EA=ç0，所以向量MD和EA的夹角等于二面角A-EF-D的平面角 æè12öøcos<MD，EA>=MDEAMDEA=33所以二面角A-EF-D的大小为arccos 33第 11 页 共 11 页