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电磁场理论习题课电磁场理论习题课 x x 第二章、宏观电磁现象的基本规律 2.3、半径为 R0 的球面上均匀分布着电荷，总电量为 Q。当球以角速度绕某一直径(z 轴)旋转时，求其表面上的面电流密度。解：面电荷密度为 面电流密度为 Q 2 R0 Q 。已知导线的直径为 d，导线中 2.4、均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流 电流为 I0，求 Js0。解：每根导线的体电流密度为 I0 2 4I0 2 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 因此，等效面电流密度为 4I0 2.6、两个带电量分别为 q0 和 2q0 的点电荷相距为 d，另有一带电量为q0 的点电荷位于其间，为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为时，结果又如何？解：设实验电荷 q0 离 2q0 为 x，那么离 q0 为。由库仑定律，实验电荷受 2q0 的排斥力为 实验电荷受 q0 的排斥力为 要使实验电荷保持平衡，那么 12q0 1 q0 q0 即得到 1 如果实验电荷为，那么平衡位置仍然为 2 2 只是这时实验电荷与 q0 和 2q0 不是排斥力，而是吸引力。2.9、半径为 R0 的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为 R0 的半球内，再求球心处的电场强度。解：面电荷密度产生的电场强度为 根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着 z 方向。2 由于，那么 如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为 Q 2 R0 把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为的球壳产生的电场强度为 那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为 2.11、求下列情况下，空间任一处的电场强度 (1)相距为 d 的两个无限大导电平板。均匀分布着面电荷，密度分别为；(2)无限长的两个同轴圆柱面，均匀分布着面电荷。半径分别为 a 和，单位长度的 内柱电荷为，外柱电荷为；(3)半径分别为 R1 和的两个同心球面，带有均匀分布的面电荷，总量分别为 q0(内球面)和外球面)。解：(1)首先根据电场强度特点构造一个圆柱，柱面侧面电场强度与其法向方向垂直，上端面法向方向与电场强度平行。然后利用高斯定理 2 可以得到 因此 d a b R2 R1(1)(2)(3)(2)在半径为 a 和 b 之间构成圆柱，长度为 l，那么圆柱上下端电场强度通量为零，测量通量为 利用高斯定理 因此 如果构成圆柱的半径，那么 因此 (3)在半径为 R1 和 R2 之间构成球，那么球面电场强度通量为 由高斯定理 因此 因此空间电场强度为 3 2.14、如图所示，两个半径分别为 a 和的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为。两球面的球心相距为 d，且。试求空腔内的电场。解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为和，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为、半径为 b 的圆柱产 b rb ra a 生的场和电荷密度为、半径为 a 的圆柱叠加。由高斯定理，大圆柱产生的电场为 小圆柱产生的电场为 d 因此合成场为 2.16、求半径为 a、长度为 L 的圆柱面轴线上的磁感应强度 B。柱面 zJs0；。上的面电流密度为：强度为 解：(1)由比-沙定律，我们首先求出长度为 L 的线电流产生的磁感应 因此 0 L L 0 如果把圆柱面划分为很多细线，那么在轴线的磁感应强度。(2)由比-沙定律，我们首先求出圆环细电流线在轴线上产生的磁感应强度为 4 第三章、静电场及其边值问题的解法习题讲解 3.1、对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度。解：已知空间的电位分布，由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度。Bz Bz)2R1 R d1 3.5、如图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为的面电荷，试求球心处的电位。解：上顶面在球心产生的电位为 下顶面在球心产生的电位为 d22R2 侧面在球心产生的电位为 R 式中。因此球心总电位为 3.10、位 于和处 的 两 个 无 限 大 导 电 平 板 间 充 满 了的体电荷。若将处的导电平板接触，而将处的导电平板加上电压 U0，试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与 x 有关，因此空间电位分布也只与 x 有关。由泊松方程可以利用直接积分法求出电位分布。一维泊松方程为 5 dx2 其通解为 由而由因此板间电位分布为 板间电场强度为 从该式可以求出电场强度为零的位置为 2 由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为 3.11、两块无限大导电平板间分别以两种不同的介质和。当两极板之间外加电压 U0 时，试求电容器中电位和电场的分布以及极板上的面电荷密度。2d S S d 2S d 解：设介质 1 和介质 2 的电位分别为 根据电位在介质界面的边界条件可得 根据和，则 6 根据，可以得到 U0 x 2d 对导体表面 ，则面电荷密度分别为 对平板上 e ，则面电荷密度分别为 对平板上 e 3.12、试求真空中下列圆柱对称的体电荷所产生得电位和电场。解：在圆柱坐标系下电位满足泊松方程 由于电位和电场的对称性，即与和 z 无关，则 因此，可以利用直接积分法求解问题。根据自然边界条件，有限，则 在上 可得到关系式 7 由此可见 3.13、如图所示，半径为 a 的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为，其一半埋于介电常数为的介质中，一半露于在空气中，试求各处的电位和电场强度。解：根据题意，空间中电位分布与和 z 无关，则可以利用直接积分法得到 a 中 中 根据不同介质分界面电位的连续性可知和，则 若设无限长导体圆柱上电位为 0，也即，则 1 a 由高斯定律，首先构成一个长度为 l，半径为的圆柱，则 因此 因此电位为 ln 根据电位与电场的关系可以求出 a 3.14、对同轴电容器，其中部分填充了介质，其余为空气。当外加电压 U0 时，求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。ab 8 解：根据题意，电容器中电位分布与和 z 无关，则可以利用直接积分法得到 中 根据介质界面的边界条件可知和，则 由 中 和可得到 因此电容器内电位分布为 利用可得到电场为 U0 可以计算出电容器内面电荷密度分布为 利用 那么单位长度总电荷为 ln(b/a)bln(b/a)bln(b/a)b 因此电容为 U0ln(b/a)b 3.15、试求真空中下列球对称电荷分布所产生的电位和电场：解：由电荷密度分布可知，电位分布也是对称的，因此可以利用直接积分法求出电位。(2)由于电荷密度分布区域是在，那么利用直接积分法可以得到、和区域内电位分布为 A1 C1 利 用为 有 限 的 自 然 边 界 条 件 可 以 得 到；利 用可以得到。因此不同区域解的形式为 9 由的边界条件 C1r 和的边界条件 可以得到联立方程求解出四个待定常数。(3)由于电荷密度分布区域是在，利用直接积分法可以得到和区域的电位分布分别为 B1 由自然边界条件可以确定和，则上式变成 r 由于空间是真空条件，那么的边界条件为 因此 因此空间电位分布为 电场分别为 2 10 3.18、矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为 y V2 V1 V4 V3 x(1)、解：(1)令 和和 、，那么 a 、x 和 由此可以直接写出 利用边界条件 (Ansh (2)通解为 xa xa ch|ky|y)由和，则 由 和，因此 。因此 a 由 Cnsh aaa，则 Cnsh sin aa 11 由 可以得到 Cnch 利用正弦函数的正交性可以求出系数 Cn。3.21、由两块 L 形的导体构成的无限长的导体槽，其间有一狭缝，当外加电压为 U0 时，试求槽间的电位分布。U0 0 解：定解问题为 设 U0 x，则 d 由定解问题的边界条件和很容易得到 由 有限，则，因此上式变成 代入边界条件，则得到 由此利用正弦函数的正交性可以得到系数 Bn。12 3.22、如图所示，已知矩形导体盒子顶面的电位分布为 ，其余的面上电位均为 sin aa z(a,b,c)零，试求盒内的电位分布。解：根据盒子的边界条件，利用分离变量法及边界条件可以求出 b 2 2 x 式中。由于，因此，于是问题的解为 22 由 的边界条件，也即 sin aa 2 2 根据比较系数法，可以得到，U0 2 22，因此问题 的解为 U0 2 2 2 3.23、半径为 a、长为 l 的圆柱形空间，其内的场是轴对称的，试求该空间的电位分布。已知边界条件、和。z U0 0 x 0 y 解：定解问题为 13 令 U0 z，则上式变成 l U0 zl 由满足的定解条件，可以得到通解为 由自然边界条件由是 有限，和，则上式变成 可以导出及，于 可以得到和；而由 l 则解变成 利用，则 l AnI0(U 由此可以确定系数 An。U 如果利用边界的齐次性，也可以把方程的通解写成 由自然边界条件有限，和，则上式变成 u 由可以得到和及，因此，则 a aaa 由可以得到，则 AnJ0()sh0n aa 把边界条件代入 中，得到 AnJ0(aa 利用 Bessel 函数的正交性 14 其中，则 a 由此可以确定系数 An。a 3.24、如图所示，半径为 a、长为 l 的圆柱形空间，其内的场是轴对称的，试求该空间的电位分布。已知其边界条件为，；，；z ，。l 解 (1)问题的解与无关，因此，定解问题为 l ，方法一：首先把上下边界齐次化，也即令 x U0 z，那么上次 l a y ，由分离变量法可得 U0 zl AnI0(lll ll 由于，为有限的，那么。则上式变成 由侧面的边界条件可得 AnI0(两边同乘 sin ，然后在(0,l)上积分，那么 l l 方法二：定解问题为 15 ，由分离变量法，并根据边界条件可得 由于，为有限的，那么，则上式变成 由低面的边界条件可得 由侧面的边界条件，可得 式中为零阶 Bessel 函数第 n 个零点值。因此 a 利用顶面的边界条件可得 a)sh a CnJ0(a)sh a 两边同乘 J0(a，并对(0,a)积分，那么 Cnsh a a J0(a)J0(a a a 式中 a a)J0(a 3.25、横 截 面 为 扇 形 空 间，场 沿 轴 线 方 向 不 变。已 知，试求此扇形区域内的电位分布。解：定解问题 ，则 由于问题解与 z 无关，则 kz 16 问题的通解为 由 ，则 由 导出，因此，。)sin 由 和 分别得到下列 (Ana )sin)sin 利用正弦函数的正交性可以得到系数 An 和 Bn。3.33、内半径为 R 的球壳内有一个点电荷 q0，距球心为 d，球壳的厚度为。试求下列情况下，空间各处的电位分布：(1)球壳接地；(2)球壳接电位；(3)球壳带电荷 Q0。解：(1)接地情况的像电荷大小及位置分别为 2 Rdq0 q 第四章习题解 4.1、电导率为的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为 R，其表面的电位为，试计算表面上各点的电流密度。解：在球坐标系下利用 及 17 由于表面电位为，那么表面电场为 R 于是表面各点电流密度为 R 4.2、如图所示平板电容器。板间填充两种不同的导电煤质，其厚度分别为 d1 和 d2。若在两 极板上加上恒定的电压 V0，求板间的电位、电场强度 E、电流密度 J及各分界面上的自由电荷和束缚电荷的面密度。解：理想电容器，满足的定解问题为 1 2 d1 d2 0 V0 x 由直接积分法可以得到电位的通解为 由和式为 可以确定出及，则上式电位的表达 利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出 因此电位分布为 只有理想电容器才能定义电容，非理想电容器的两个极板上的电荷量不相等，电容只能 18 近似地按理想电容器定义。根据静电比拟法 于是对恒定电场 此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导 G，有 S 是极板的面积 静电比拟法由于源外的恒定电场与无源区的静电场中的电位满足同样的拉普拉斯方程，当它们的边界条件也一致时，只要求出一种解，利用对偶性(J 和 D，和，G 和 C)就可以得到另一种形式的解。即 4.3、对矩形导体的电导率为，求导电片上的电位分布以及导电片中各处的电流密度。解：根据题意，列入定解问题为 2b 2coskyy)由 和，则 由 和及，因此 。因此 b 19 由 Cnsh bbb y dn ，则 由 Cnsh sin bb 2b 可以得到 2b Cnsh x 利用比较系数法可以得到，因此，导电片上电位分布为 利用和即可以计算出导电片上各处电流密度分布。z 的恒定电流。今沿 z 轴方向 4.4、在电导率为的无限大导电煤质中流有电流密度 挖一半径为 a 的无线长圆柱，求空间各处的电位、电场强度 E 和电流密度 J。解：在圆柱坐标系下，均匀电流密度 J 产生的电位为，因此存在空腔的煤质中 电位的定解问题为 根据分离变量法可以得到问题的通解为 J0 根据条件(2)可设 由条件(1)和(2)可以得到 J0 a2J0 因此 电流密度为 J0 2 20 4.5、厚度为 d 的扇形弧片由两块大小相同但电导率不同的金属片构成。孤片的内外半径分别为 R1 和 R2，当以 AB 和 CD 作为电极时，加上恒定的电压 U0 后，求弧片上的电位分布、分界面上的面电荷密度以及极板间的电阻；若以 AD 和 BC 作为电极，结果又如何？可以得到，因此 分量，。解：弧片内电流只有 e 即根据电流密度的边界条件 由 因此 CD e 金属片 1 中的电位分布为 金属片 2 中电位分布为 P 面电荷密度为 P 电流为 b 根据电阻的定义 1 Rln2 R1 当电极改置于内圆弧和外圆弧，则，即，因此电位仅为 r 的函数，即 因此电位分布为 U0 ln(R2/R1)21 因此，总电流为 yC D 4 1 O 4 因此阻抗为 4ln(R2/R1)AB xd 4.6、球形电容器的内球半径为 a，外球壳的内半径为 b。将两种不同的 导电煤质分别填入两个半球，两种导电煤质的 电导率分别为和。求该电容器的漏电阻。解：设在上电位为 U，上电位为零。根据题意，电位仅为 r的函数，因此定解问题为 因此，通解为 r 根据边界条件可以得到 因此 在两种煤质中电流密度分别为 因此总电流为 因此 1 4.12、无限长线电流 I 平行于半径为 a、通有面电流 I0 的理想导体圆柱，离圆柱轴线为 D。用镜像法求空间的磁场强度以及圆柱导体表面的面电流分布。解：像电流的大小和位置分别为 4.14、已知某一电流分布的矢量磁位为 22 求该电流分布及其对应的磁感应强度。解：首先判断矢量磁位是否满足库仑规范，即 利用矢量磁位满足的泊松方程来求出电流分布为 由可以求出磁感应强度为 3.14、同轴电容器填充介电常数分别为和的两种不同介质。当外加电压 U0 时，求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。解：电位分布：电位移矢量：电容：2ln(R2R1)如果是填充了两种不同导电媒质的同轴电容器 电位分布：电流密度矢量：漏电导：2ln(R2R1)第 5 章 电磁波的辐射复习提要及习题 场量的瞬时值与复数值的表示式 23 麦克斯韦方程组的瞬时形式和复数形式 矢量磁位 A 洛仑兹条件或洛仑兹规范 矢量磁位 A 和标量电位瞬时和复数表示式 标量电位：矢量磁位：标量电位：矢量磁位：坡印廷矢量 S、复数坡印廷矢量 S 及坡印廷矢量的平均值 Sav 2 电磁场能量密度瞬时值 电场储能密度：磁场储能密度：24 焦耳损耗密度：习题解 5.4、已知空气填充的同轴线内外导体之间的磁场强度为 同轴线的内外导体半径分析为，。试确定值，并求同轴线中的 E 及其内导体表面的总电流设导体为理想的)解：将 H 写成复数形式为 由复数形式的麦克斯韦方程组求出电场为 因此 内导体表面的电流密度为 总电流为 利用麦克斯韦方程组的方程 由此可以求出磁场的表达式，然后再比较给出的磁场表达式和利用麦克斯韦方程求出的磁场就可以解出。；(2)求平均坡印廷矢量；提出问题：(1)求面电荷密度 1、已知真空中某时谐电场瞬时值为 25 试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所给瞬时值表示式写成下列形式 因此电场强度的复矢量表示为 由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为 xeyeze ExEyEz 功率流密度矢量的平均值 Sav 等于复坡印廷矢量的实部，即 22*HxHyHz 0 2、(5.13 题)已知真空中时变场的矢量磁位为 求：(1)电场强度 E 和磁场强度 H；(2)坡印廷矢量及其平均值。解：(1)把矢量磁位的瞬时值表示为 则矢量磁位的复数形式为 根据磁场强度复数形式 H 与矢量磁位复数形式 A 之间关系可以求出 26 xe 磁场强度的瞬时值为 ye 根据麦克斯韦方程组的第一个方程，此时，电场强度与磁场强度之 间关系为 xe Hx 电场强度的瞬时值为 (2)坡印廷矢量为 坡印廷矢量的平均值为 5.7、半径为 a 的圆形平板电容器，内填理想介质，间距为 d，极板上充有缓慢变化得电荷 ，假定极板间的电场为均匀的，求任一处的 E 和 H，并证明位移电流的总量就等于电容器的充电电流。解：平板电容器的一面的面积为，则电容器上的电荷密度为 q0 利用高斯定理，电容器内的电位移为 电场强度为 27 q0 分量，且以 z 轴利用麦克斯韦方程组的第一个公式。由于轴对称性，两极板间的磁场只有 e 为中心、r 为半径的圆周 l 上处处相等。因此 因此 因此，位移电流密度为 dt 因此位移电流为 电容器的充电电流为 dq 5.16、已知球形电容器的内外半径分别为 a 和 b，内填介电常数为的介质。当在两极间加电压，求 (1)电容器中的位移电流；(2)磁场强度 H；(3)平均能流密度 Sav。解：假设场为低频的准静态场。利用直接积分法可以直接写出 r 由，得；由，得 因此，空间电位分布为 bU0 因此，电位移为 (1)由上面的电位移可以得到位移电流为 (2)利用麦克斯韦方程组第一个方程，且利用对称性，则 28 re 因此 (a)由此可知 因此，(c)式变成 因此 (3)根据电场和磁场的瞬时表达式可以写出其复数形式分别为 利用 第 6 章、均匀平面波的传播习题课讲解 1、已知空气中存在电磁波的电场强度为 试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁 场强度 H。解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量 该式的电场幅度为 E0，相位和方向均不变，且，此波为均匀平面波。传播方向为沿着方向。29 由时间相位 波的频率 波数 波长m k 相速 由于是均匀平面波，因此磁场为 ZWZW 2、有一频率为 600 MHz 的均匀平面波在无界理想介质中沿方向传播，已知电场只有 y 方向，初相位为零，且时，处的电场强度值为 800 kV/m。试写出 E 和 H 的瞬时表达式。解：根据题意，角频，因此 c 由，处的电场强度值为 800 kV/m，可以得到kV/m 根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为 波阻抗为 。因此磁场强度复矢量为 因此，磁场的瞬时表达式为 40 3、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 已知介质的，求，并写出 H 的表达式。解：根据电场的瞬时表达式可以得到，而 电场强度的瞬时式可以写成复矢量为 c 2 波阻抗为 ，则磁场强度复矢量为 E0 30 因此磁场为 4、无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为 写出磁场强度的复矢量以及平均功率流密度。，解：首先判断是均匀平面波。该电场幅度为 13，相位和方向均不变，且 Ezz 因此磁场强度复矢量可写成 1 平均功率流密度为 6、下列表达式中的平面波各是什么极化波？如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋？；(3)；44 。4 解：判断左旋和右旋极化的方法是将大拇指指向波的传播方向，其余四指指向电场矢量顶点的旋转方向，符合右手螺旋关系的称为右旋极化波，否则为左旋极化波。消除变量后可以得到由 Ex 和 Ey 所表示的电场 E 的顶点随时间移动的轨迹 为 EyEx y Ey E E0 即当 t 增加时，却减小；因此，电场为沿 ez 方向传播的左旋圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。消除变量后得到由 Ex 和 Ey 所表示的电场 E 的顶点随时间移动的轨迹为 Ex x 与 x 轴夹角为，因此，该电场为沿 ez 方向传播的线极化波。(3)原式变成得到电场 E 的顶点随时间移动的轨迹为 与 x 轴夹角为，因此，该电场为沿 ez 方向传播的线极化波。原式可以写成 则消除变量后，44 4 后可以得到电场 E 的顶点随时间移动的轨迹为 ，则消除变量 31 4 4 E 与 x 夹角为 EyEx )4 当 t 增加时，却减小；因此，电场为沿 ez 方向传播的左旋椭圆极化波(又称为顺时针旋转 的圆极化波)。7、试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。证明：设圆极化波瞬时式为 复矢量为 则磁场强度的复矢量为 ZWZWz 1 ZW 磁场强度的瞬时值为 1 因此瞬时坡印廷矢量为 e ZWz0ZWz 因此圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。8、试证明任何的椭圆极化波均可分解为两个旋转方向相反的圆极化波。证明：设椭圆极化波电场的复矢量为 22 上式第一项为沿方向传播的左旋圆极化波，第二项为沿方向传播的右旋圆极化波。9、铜的电导率，。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。；解：已知 1 F/m 和，那么 (1)当时，别为 则铜看作良导体，衰减常数和相位常数分，2 32 波长：相速：透入深度：1 波阻抗：ZW (2)当时，相位常数分别为 ，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数和 2 相速：波长：波 阻 抗：ZW 当GHz 时，则铜看作良导体，衰减常数和相位常数分 别为 透入深度：1 相速：2 波长：透入深度：1 波阻抗：ZW 10、海水的电导率，求频率为 10 kHz、10 MHz 和 10 GHz 时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。解：已知和，那么。当时，相位常数分别为 ，则 海 水 可 看 作 良 导 体，衰 减 常 数和 2 相速：33 波长：1 波阻抗：ZW (2)当时，则 海 水 也 可 近 似 看 作 良 导 体，衰 减 常 数，和相位常数分别为 2 透入深度：波长：相速：波阻抗：ZW，则海水也可近似看作弱导电(3)当时，媒质，衰减常数和相位常数分别为 c 相速：波长：1 透入深度：波阻抗：ZW 20、均匀平面波由空气向理想介质，平面垂直入射，已知分界面上 透入深度：1 ，。试求：(1)理想介质的；(2)空气中的驻波比；(3)Ei，Hi；Er，Hr；Et，Ht 的表达式。解：(1)利用波阻抗的表达式 因此 1 34 (2)垂直入射的反射系数 ，则反射系数的模为 因此驻波比为 2 (3)垂直入射的入射波复矢量为 反射系数为 因此反射波复矢量为 透射系数为 因此透射波为 ZW2 根据题意，已知分界面上，则，即，即。因此，入射波、反射波和透射波分别为 i y t y 21、频率为 300 MHz 的均匀平面波由空气垂直入射到海面。已知海水的，且海面的合成波磁场强度。试求：(1)海面的合成电场强度；(2)空气中的驻波比；(3)海面下 0.1 m 处的电场强度与磁场强度振幅；(4)单位面积进入海水的平均功率。解：角频。x z，因此海水不能看作良 35 导体。若令，那么 (1)海水波阻抗为 式中 3 3.124 3.124 2.96，即，波阻抗为 3.124 海水表面的电场强度为 空气中波阻抗为，则反射系数 358.02，因此空气驻波比为 396.46 (3)上述求出海面电场强度和磁场强度的值。对海面下 0.1 m 的电场强度和磁场强度为 (4)平均坡印廷矢量为 单位面积进入海水内的功率等于海表面处的平均坡印廷矢量的大小，即 W/m 22 6.24、试证明均匀平面波由理想介质垂直入射到良导体表面时，进入到良导体内的功率与入 射功率之比约为 4Rs/ZW1，其中是良导体的表面阻抗，ZW1 是理想介质的波阻 抗。证明：对于理想介质垂直入射到良导体的透射系数为 2ZW2 因此式中 ZW2 为 良 导 体 的 波 阻 抗，为 36 理想介质的波阻抗。对良导体，存在，则透射系数为 ZW1 设入射波电场为，则磁场，平均坡印廷矢量为 透射波的电磁场为 在良导体表面的平均坡印廷矢量为 单位面积进入良导体内的功率等于良导体表面的平均坡印廷矢量大小，则进入到良导体的功 率与入射功率之比为 29、垂直极化波由水中以的入射角投射到水与空气的分界面上。若淡水的，试求反射系数、折射系数以及临界角。解：垂直极化波的反射系数和折射系数为 i 2 空气中，淡水中，则上式变成 那么，由可以导出临界角为 显然，题意中入射角，将发生全反射，则反射系数和透射系数变成 37 第 7 章、均匀波导中的导行电磁波习题课讲解 7.6、如题图 7.6 所示相距为 a 的平板金属波导，当 时，y 沿 z 方向可传播 TEM 模、TE 模和 TM 模。求 (1)各种模式的场分量；(2)各种模式的传播常数；x(3)导体表面的传导电流。z 解：(1)各种模式的场分量 对 TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条 件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场 E0，则对应的 TEM 模中电场为 利用平面波电场与磁场关系，即 ，而满足的导波方程为 对 TE 模，E z z ，式中 kct ，则上式变成 因此波动方程的解为 根据边界条件，由时可得到；由时可得到，即。因此 a a 式中 Hm 取决于波源的激励强度。由于波沿着 z 方向传播，则，因此 利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 38 ，而满足的导波方程为 对 TM 模，Hzz 因此波动方程的解为 可得到；由时可得到，即根据边界条件，由时 Eczz 。因此 a a 式中 Em 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 (2)各种模式的传播常数 对 TEM 模的传播常数 相位常数：相速：波长：f 波阻抗：对 TE 模和 TM 模的传播常数 ，波 沿方 向 传 播，为 相 位 常 数 传 播 模 式：截止模式：，波沿方向呈指数衰减，为衰减常数 ，c，相位常数：截止波数、波长、频率：波导波长：相速度：群速度：波型阻抗：39 (3)导体表面的传导电流 n 为导体表面法向方向，或，其中对于良导体表面的传导电流密度为 ，其中为导体表面的切向磁场。对 TEM 模，在平面上电流密度为 在平面上电流密度为 对 TE 模，在平面上电流密度为 在平面上电流密度为 对 TM 模，在平面上电流密度为 kcakca 在平面上电流密度为 kcakca 7.8、已知空气填充的矩形金属波导中的纵向场分量为 33 式中 x 和 y 的单位为 cm，指出这是什么模式？写出其余场分量，并求其、vp、vg 和波阻抗。解：我们知道，TM 模的纵向场分量为 ab 比较题中给出的纵向场分量，可以知道 105 Emn 因此这是TM21模。截止波数，因此，也即。角频。其余分量表示为 233 233 40 截止波长：波导波长：相速度：群速度：波型阻抗：7.9、已知空气填充的矩形波导中传播 TE10 模。测得宽边中心处的最大磁场为 103 A/m，且工作频率为 5 GHz，写出场分量的表达式。解：对 TE10 模 角频：截止波数：波数：5 导行波传播指数：15，即，处，5 5kc5 5kc5 45 5 7.10、空气填充矩形波导，。(1)当工作波长为 6 cm、4 cm 和 1.8 cm 时，可能传播哪些模式；(2)当工作波长为 4 cm 时，求其主模的和波阻抗。解：(1)矩形波导的截止波数为 对 TE 模，m 和 n 不能同时为零，也即不存在 TE00，最简单的 TE 模是 TE10 和 TE01 模；对 TM 模，m 和 n 不能为零，也即不存在 TM0n 和 TMm0，最简单的 TM 模是TM11 模。我们可以利用截止波长分布图来分析波导中各种模式的传播状态。模式 TE10 TE20 2.28 TE30 1.52 TE01 2.03 TE02 1.01 TM11 2.16 TM21 TM12 1.52 0.99 41 TE10 TE20TE01TM11TE30TM21 截止区 3 4 5 012 矩形波导截止波长分布图 模和 TM 模的传播模式的条件为。因此 当工作波长为时，不存在传播模式，也即波导中所有模式都截止；当工作波长时，只存在的传播模式为 TE10，即单模传播；当工作波长时，存在的传播模式为 TE10、TE20、TE01 和TM11，即多模传播。(2)所谓主模就是截止波长最大的模式，只有主模才能单模传播；对于的矩形波导，TE10 模是主模，且。对，和波阻抗分别为 相位常数：波导波长：相速度：群速度：波阻抗：ZTE 7.12、当 工 作 频 率 为15 GHz时，取，可使矩形波导更好地单模传播，求该波导的宽边和窄边。若在该波导中填充的介质后，其最大的工作频率范围是多少？解：对 15 GHz 的工作频率，其工作波长为。截止波长可以表示为 kc 根据题意 截止波长最大的模称为主模，截止波长仅小于主模的高次模称为最低型高次模。波导 单模工作时，其工作波长必须介于主模的截止波长和最低型高次模的截止波长之间。对于矩形波导，单模传播条件为 时，时，上述计算出结果，因此最大工作波长范围为 最大工作频率范围为 42 1c1c1c1cvv 43