电磁场理论答案第二章 宏观电磁场的基本规律.docx

电磁场理论答案第二章 宏观电磁场的基本规律第二章 宏观电磁场的基本规律 内容提要： 1. 真空中的静电场 库仑定律：实验得出，点电荷q1对点电荷q2施加的力是 v F12=q1q24pe0R123vR12 v式中R12是两个点电荷之间的距离，R12是从q1指向q2的单位矢量。将q1视为试探v电荷，其上所受的力为F12，则定义电场强度为 vvF12 E= q1根据叠加原理：点电荷系及连续分布电荷的电场分别为： v E=Nåi=1vqiRi4peRi0vRR33v E=14pe0òdq' 其中dq'为连续分布电荷的电荷元。对体、面、线电荷分别为： ìrdv'ï dq'=írsds' ïrdl'îl静电场的基本方程： v 微分方程：Ñ´E=0 vr Ñ×E= e0 积分方程：ò lvE×dl=0 vqE×ds= òse0v因此E=-Ñf 其中fP=14pe0QòPvE×dl 2. 真空中的恒定电流的磁场 安培定律：闭合电流回路1的磁场作用在闭合回路2上的磁力是 vm F12=0I1I24pòòl1dl2v´(dl1´R12)R123l2v其中R12是从线元dl1指向dl2的单位矢量。则电流I1产生的磁感应强度是 vm B=04pòvIdl´RR3上式是毕奥萨伐尔定律。对于连续的电流分布 vm B=04pòvvtdv'´RR3v洛仑兹力： vv在磁场B中，一个速度为V的电荷q受到的磁力是 wvqV´B v如果还同时存在电场E，则总的力是 vwv q(E+V´B) 恒定磁场的基本方程： v 微分方程：Ñ×B=0 vv Ñ´B=m0J 积分方程：ò svB×ds=0 vB×dl=m0I=m0òlòsvJ×ds vv因此 B=Ñ´A vm0A=其中 4pIdlròl是失势。这个线积分是对通有电流I的回路所作的 3. 电介质中的静电场 vv介质中的静电特性可用极化强度p描述。极化产生了真实的电荷聚集。由p可确定体与面束缚电荷密度 rpv=-Ñ×p vv×(p2-p1) rsp=-n与介质的表面垂直，指向外方。 其中单位矢量n介质中静电场的基本方程： 微分方程：Ñ×D=p Ñ´E=0 vvvvD=eE=e(E+p) 0vvv积分方程：ò 说明静电场是有源无旋场。 4. 磁介质中的恒定磁场 vD×ds=sòrdvvòlvE×dl=0 磁化强度M是与电介质中的极化强度p相对应的量。磁化产生一等效面电流密度和等效体电流密度。其中 vv´(MJSM=n vvJM=Ñ´M2vvv-M1)等效电流与传导电流在产生磁场方面是等价的。 磁介质中恒定磁场的基本方程： 微分方程：Ñ´H=J v Ñ×B=0 vv B=mH=m0(H+M) 积分方程：ò vH×dl=vvvvlòsvJds òsvB×ds=0 说明恒定磁场是有旋无源场。 5. 几个定律 法拉第感应定律： vv¶Bvp 微分形式：Ñ´E=-¶tvv¶B×ds 积分形式：òE×dl=-òl¶t说明变化的磁场要产生电场，这个感应电场为有旋场。 欧姆定律： 在导电媒质中，传导电流密度与外加电场关系为： J=sE 电荷守恒定律： 自由电荷是守恒的，Ñ×J=-v¶r¶tvvv¶rt束缚电荷也是守恒的，Ñ×Jm=- ¶tvvvvv¶p其中：Jm=J+Ñ´M是物质电荷的流动引起的电流，J是自由电流密度，¶tvv¶p是极化电流密度，Ñ´M是磁化物质中等效电流密度。rt=r+rm，r是自¶t由电荷密度，rm是束缚电荷密度, rm=-Ñ×p。还有第四种电流，即使在真空中v¶E¶tv亦存在，相应的电流密度为e0v¶(e0E)¶t。且 =v¶pÑ×(e0E)= ¶t¶t¶总的体电流密度 vvvvv¶(e0E)¶p+ Jt=J+Ñ´M+ ¶t¶tvvv¶v(e0E+p) =J+Ñ´M+¶tvvv¶D =J+Ñ´M+ ¶t其中为位移电流密度。 6. 麦克斯韦方程组 介质中的麦克斯韦方程组 vÑ×D=r 微分形式：v Ñ×B=0 rv¶B Ñ´E=- ¶tvvv¶D Ñ´H=J+ ¶t积分形式：ò vD×ds=sòrdvvòòòLvB×ds=0 vdE×dl=-dtvH×dl=òsvB×ds Lvv¶DòsJ+¶t×ds 真空中的麦克斯韦方程组 在上述方程中，用D=e0E，B=m0H代入即可得真空中的麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组都适用于非均匀、非线形和非各向同性介质。 7. 电磁场的边界条件 在两种介质交界面上，场矢量满足 vv×(D2-D1)=rs nvvvvvv×(B2-B1)=0 nvv´(E2-E1)=0 nv´(Hnvv-H1)=Js 2其中单位矢量由介质1指向介质2。若是两种理想介质，则分界面上rs=0，vvvvvJs=0。若介质1为理想介质，则D1=E1=H1=B1=0。 2-1. 这题的解放在第四章中 2-2. 据高斯定理 r<r1 òvE1×ds=0 v E1=0 r1<r<r2 òvE2×ds=r24f3e43ef2p(rp(r3-r1) -r1) 33 4prE2=rr3f E2=3er(r3-r1) 3vvrfr33(r-r1)3 E2=3ervE3×ds=r4f r>r2 ò3p(r2-r1)331e0vvrfr33 E3=(r2-r1)3 3e0r极化体密度： 据 re0vv=-Ñ×p=-Ñ×(1-)D ep =(可得: r r=(e0ev-1)Ñ×D e0ep-1)rf r1<r<r2 p=0 r<r1, r>r2 极化面电荷密度： 据 spvv=-n×(p2-p1) v r=r1 E1=0 s r=r2 p=0 s 2-3. 证： p=r2-r13r2233(1-e0e)rfvdpdt=ddtvòdvr(r',t)r'dv' vvr(r',t)r'dv' vv =v¶r(r',t)v =òr'dv' v¶tvv =-òÑ'×J×r'dv' vv =-ò(Ñ'×J)x'dv'ex-vòdtòvv(Ñ'×J)y'dv'ey-vòvvv(Ñ'×J)z'dv'ez ex分量： vòv(Ñ'×J)x'dv'=vvvòÑ'×(x'J)-(Ñ'x')×Jdv v =òx'Jds'-òJsvxdv' vx'J×ds'=0。则 上式第一项为封闭曲面，即边界面。边界面上无电流流出，故ò sòvv(Ñ'×J)x'dv'=-òJxdv' v 同理 òòvv(Ñ'×J)y'dv'=-òJydv' vvv(Ñ'×J)z'dv'=-òJzdv' v 因此 dpdt=òvvJxdv'ex+òvvJydv'ey+òvvJzdv'ez=òvvJdv' 2-4. 解：由安培环路定理： r<r1 òLvB1×dl=0 v B1=0 r1<r<r2 òLv22B2×dl=mJfp(r-r1) 22 2prB2=mJfp(r-r1) m(r2 B2=-r1)22rJfvm(r B2=2-r1)vJ22r2fv´r r>r2 òLv22B3×dl=mJfp(r2-r1) 2prB3=mJfp(r22-r12) 22vm(r2-r1)vvJ´r B3= f22r磁化电流： 由 tvMvvm-m0v11vM=(-)B=B =Ñ´M m0mmm0vvM=H 0v-H vvm-mr1<r<r2 JM=Ñ´M=Ñ´(0mmvm-mB2)=00mmvÑ´B2 0 =m-m0mm0mJvf =(mm0v-1)Jf v r<r1,r>r2 JM=0 磁化面电流密度： JSM=n(M1-M2) r=r1 JM=0 r=r2 JSM=-n´Mvvv1vvvvvm-mv=-n´(mm00v)B2 =-(mm0mm0-1)(r2-r12r22222vvr)(´Jf´) rrv)tf vr =-( 2-5. r-1)(r2-r12r22pve0ve0e0v=-Ñ×p=-Ñ×(1-)D=-(1-)Ñ×D=-(1-)reeefvvvv¶D2-7. 由 r=Ñ×D Ñ´H=J+ ¶tvvvvv¶D=(Ñ×D)=Ñ×=Ñ×(Ñ´H-J)=-Ñ×J ¶t¶t¶t¶r¶¶r¶tv+Ñ×J=0 2-9. 证： 证明的思路是从其中两个方程出发可导出另外两个方程。我们从两个旋度方出发，导出两个散度方程 vvÑ´E=-¶B¶t vvvÑ´H=J+¶D¶t. vÑ×(1)设：Ñ×(Ñ´E)=-¶v(Ñ×B)=0¶t vÑ×B=C(x.y.z) C相对时间t而言是常数，由初始条件确定。 假设初始时刻vvB=0或B=常矢 则 vÑ×B=0 C(x.y.z)=0 vvÑ×(2)设：Ñ´H=Ñ×J+¶v(Ñ×D)¶t vÑ×J=-¶v(Ñ×D)¶t 由电荷守恒定律 vÑ×J=-¶r¶t 得：vÑ×D=r 波动方程的推导 对式两边求旋 vÑ´Ñ´E=-¶vv(Ñ´B)=-¶Ñ´(¶t¶tmH) vÑ(Ñ×E)-Ñ2vvE=-m¶v¶t(J+¶D¶t) vv2vr¶J¶E2-me Ñ-ÑE=-m 2e¶t¶tvv2v¶Er¶J2=Ñ+m ÑE-me 2e¶t¶tvvvv¶D 以上推导中利用了矢量恒等式及其Ñ×D=r, Ñ´H=J+ ¶t 同理可推出关于磁场满足的方程 vvv¶(Ñ´D)=Ñ´J+e(Ñ´E) ¶t¶tvvvv¶¶B2(-) Ñ(Ñ×H)-ÑH=Ñ´J+e¶t¶t Ñ´(Ñ´H)=Ñ´J+vv¶v2vv¶H2) -ÑH=Ñ´J-me2¶tv2vv¶H2=-Ñ´J ÑH-me 2¶t2-11. 据边界条件： D1n=D2n E1t=E2t e1E1cosq1=e2E2cosq2 E1sinq1=E2sinq2 两式之比 vvvv¶D2-12. Ñ´H=J+ Ñ×D=r ¶tvvvv¶B Ñ´E=-Jm- Ñ×B=r¶ttgq1tgq2=e1e2m