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电磁场理论复习题第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 r1. 设：直角坐标系中，标量场u=xy+yz+zx的梯度为A，则 rre(y+z)+e(x+z)+e(x+y)xyzA= ，Ñ´A= 0 。 2. 已知矢量场rx(y+z)+ey4xy2+ezxzA=e，则在Mr处Ñ×A= 9 。 r3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场，则必rrÑ´AÑ×旋度A 及 散度 。 须同时给定该场矢量的 rrrrr4. 写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程rrrrrrD=eE, B =mH, J=sErrr：。 ¶r¶qÑ×J=-J×dS=-òS¶t¶t5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 rr6. 设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则 rrE、B皆与A垂直。 rrE与A垂直，B与A平行。 rrE与A平行，B与A垂直。 rrE 、B皆与A平行。 答案：b ryE0sin(t-z) (V/m)，7. 设自由真空区域电场强度E=e其中E0、r为常数。则空间位移电流密度Jd为： c 8. yE0cos(t-z) eyE0cos(t-z) eye0E0cos(t-z) -eyE0cos(t-z) 答案：e已知无限大空间的相对介电常数为er=4，电场强度第 1 页 共 20 页 rpxxr0cos (V/m)，其中r0、则x=d处电荷体密度r为： E=ed为常数。2d d 9. -4pr04pe0r02pr02pe0r0 - - - 答案：dddd已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为 ì2rcosq+eqsinq) (-e(r<R0)rïïR0 E=íïB(er2cosq+eqsinq) (r>R0) ïîr3 求常数B；球面上的面电荷密度；球面内外的体电荷密度。 Sol. (1) 球面上 由边界条件 E1t=E2t得：2Bsinq=3sinq ®B=2R02 R0R0由边界条件D1n-D2n=rs得： 6e0cosq R0rs=e0(E1n-E2n)=e0(E1r-E2r)= r 由Ñ×D=r得： r(r<R0)1¶(r2Er)1¶(Eqsinq)ì0 +e0=í r=e0Ñ×E=e02 0 (r>R) ¶rrsinq¶qr0î 即空间电荷只分布在球面上。 10. 已知半径为R0、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为 rcosq-eqsinq) 2(e(r<R0)rìï H=íAr2cosq+eqsinq) (r>R0) (eï3îr 且球外为真空。求常数A；球面上的面电流密度JS 大小。 第 2 页 共 20 页 Sol. 球面上：Hr为法向分量；Hq为法向分量 球面上由边界条件B1n=B2n得：mH1r=m0H2r®A=球面上由边界条件H1t-H2t=Js得 Js=(H1q-H2q)|r=R0=-(2+m)sinqm0m3R0 m0第 3 页 共 20 页 第3章 静电场及其边值问题的解法 rrE的关系为=-Ñf1. 静电场中电位与电场强度E ；在两种¶f¶ff1=f2 ； e11=e22¶n¶n不同的电介质的分界面上，电位满足的边界条件为 。 r2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为，则静电场：Ñ´E= r0 ，Ñ×E= 。 rÑr2rÑ2f=-r ÑE= 3. 电位 和电场强度E满足的泊松方程分别ee1wm= eE22为 、 。 4. 介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。 5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。 6. 如图，E1、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，3°，则30rr60°rr，|E1|E2|= 。 rE112r2E217. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度rs与电位沿其¶fe=-rs¶f的关系为 。 法向的方向导数¶n¶n8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体密度第 4 页 共 20 页 f1=0f2=U0odxe xd ) 的电荷。利用直接积分法计算0 < x < d区域的电位处导体平板的表面电荷密度。 Sol. 为一维边值问题：f=f(x) rrd2fÑf=- Þ2=-0(1-ex-d) ee0dx2r及电场强度E；x = 0边界条件：f(x=0)=0， f(x=d)=U0 直接积分得： r0x-dx2Urf(x)=(e-+e-d)+0-0(1-d2+e-d)x e02de0drrUrdfxx0(ex-d-x)+0-0(1-d2+e-d) E(x)=-Ñf=-e=-edxe0de0d¶f¶f¶f=-e0=-rs得：rs=-e0¶n¶x¶n=e0E(x)x=0 x=0由e e0U01-d21=-r0-+e-d(1-) r0ddd9. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为V0 。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。 Sol. 见教材第82页例3.6.1 10. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点电荷q0 。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。 第 5 页 共 20 页 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于： 球 边界条件：f平面=f球面=0 使f平面=0，引入镜像电荷：z¢=-d,q¢=-q0 使f球面=0，引入镜像电荷： 无限大接地导体平面 + 接地导体z d q0z1qr1loz2q2ax z¢q¢ìa2az=,q=-q01ï1ddï í22ïz=-a=-a,q=-aq¢=aq220ï|z¢|d|z¢|dîz轴上z > a各点的电位： 1f=4pe0éq0q1q2q¢ù+êú |z-d|z-zz-zz+d12ëûé12a31ù-êú 224z+dûë|z-d|zd-aq =04pe011. 已知接地导体球半径为R0 ，在x轴上关于原点对称放置等量异号电荷+q、-q ，位置如图所示。利用镜像法求镜像电荷的位置及电量大小；球外空间电位；x轴上x>2R0各点的电场强度。 Sol. (1) 引入两个镜像电荷： 2R0qR0Rq1=-q=-，x1=0 2R022R02q2R0q1x-qR0x2ox1R0+q第 6 页 共 20 页 2R0RR0qq2=-(-q)=，x2=-=-0 2R022R02f(x,y,z)= 14pe0æqq1q2qöççR+R+R-R¢÷÷= 12èøR=(x-2R0)2+y2+z2， R1=(x-R0/2)2+y2+z2 R2=(x+R0/2)2+y2+z2，R¢=(x+2R0)2+y2+z2 x轴上x>2R0各点的电场强度： réùq-q/2q/2q E=exê+2222ú(x-2R)(x-R/2)(x+R/2)(x+2R)0000ëû12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求各镜像电荷的位置及电量；两块导体间的电位分布。 Sol. q1=-q0，(-a, 0, 0) q2=+q0，(0, -a, 0) q3=-q0，(a, 0, 0) 14pe0æq0q1q2q3öççR+R+R+R÷÷ 123øè0(-a, 0, 0)q1y q0 P(0,a,0) 45 45 (a, 0, 0)xq3 f(x,y,z)= q2(0,-a, 0)其中： R0=x2+(y-a)2+z2，R1=(x+a)2+y2+z2 R2=x2+(y+a)2+z2，R3=(x-a)2+y2+z2 第 7 页 共 20 页 第4章 恒定电场与恒定磁场 1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。 rr2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，Ñ×J= 0 ；Ñ×D= 0 。 rr3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件为： 、 。 4. E1t=E2tJ1n=J2n在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小pc=sE2E的关系为 。 rrrrr=Ñ´A ；5. 恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度BB的关系为ArrÑ2A=-J所满足的泊松方程为 。 6. 如图，H1、H2分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度，m2=3m1，q1=30， 则q2、B1B2分别为： 答案：B 60°、3。 60°、33。 45°、3。 45°、33。 7. H1m1m2H221对线性和各项同性磁介质的磁能密度wm= ，V空间磁能），恒定磁场常数r磁感应强度B。 rC ；电流密度J；¶ay¶ax¶ax¶az¶az¶ayrx(y(z(Ñ´a=e-)+e-)+e-) ），其厚度分别为d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位F、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。 Sol. 用静电比拟法计算。用电介质替代导电媒质，静e2U0ìrE=-e (0<x<d1)1xïed+edEd+Ed=Uì11ï2112220Þí íreUD=D®eE=eE1021122î1ïE=-ex (d1<x<d2)2ïed+ed2112îe1e2U0e2d1+e1d2rrrx 电位移：D1=D2=e1E1=-ee2U0ìEx=x (0<x<d1)ï1ed+edï2112Þf(x)=í ïEd+E(x-d)=e1x+(e2-e1)d1U (d<x<d)1121012ïe2d1+e1d2î第 9 页 共 20 页 rrrr JÛD， Û，fÛf，则导电媒质中的恒定静电比拟： EÛE ，电场： s2U0ìf= (0<x<d1)ï1sd+sdx ï2112íïf=s1x+(s2-s1)d1U (d<x<d)2012ïsd+sd2112î ， s2U0ì-e(0<x<d1)ïxsd+sd rï2112E(x)=í s1U0ï-ex (d1<x<d2)ïsd+sd2112îx J=-ers1s2U0s2d1+s1d2e1s2U0¶f1¶f=-e11=- ¶n¶xs2d1+s1d2e2s1U0¶f2¶f2=-e2= ¶n¶(-x)s2d1+s1d2 rs rs rsx=0=-e1x=d1+d2=-e2x=d1(es-e2s1)U0¶fö¶föæ¶fæ¶f =çe11-e22÷=çe11-e22÷=12¶n¶n¶x¶xsd+sdèøx=d1èøx=d12112x=0可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号rs只有理想电容器才有电容定义。¹-rsx=d1+d2。第 10 页 共 20 页 第5章电磁波的辐射 1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为 ， 。 r2. 坡印亭矢量S的瞬时表示式是 ，平均值是 。 r2r¶E3. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为Ñ2E-me2=0，¶t这个方程在正弦电磁场的情况下变为 。 4. 在无损耗的均匀媒质(e,m)中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹rr&2&方程为ÑH+kH=0，其中 a 。 2Ñ2E+k2E=0(a) k2=w2me (b) k2=w2m2e2 w21(c) k= (d) k2=2 mewme25. 在时变电磁场中，磁感应强度B与位的关系为 ， ¶A¶t电场强度E与位的关系为 。 E=-ÑF-B=Ñ´A6. 电偶极子天线的功率分布与q的关系为 a 。 (a) sin2q (b) sinq (c) cos2q (d) cosq 7. 自由空间的原点处的场源在t时刻发生变化，此变化将在 b rr时刻影响到处的位函数F和A。 第 11 页 共 20 页 t- t+ (c) t (d) 任意 8. rcrc在球坐标系中，电偶极子的辐射场的空间分布与坐标的关系是 c sin2qµr µsin2qrsinqsin2q (c) µ (d) µ2 rrrysin(9、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x,z,t)=e10px)cos(wt-kzz)。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。 rysin(解：所给瞬时值表示式可以写成：E(x,z,t)=Ree10px)e-jkzzejwt ysin(10px)e-jkz 因此电场强度的复矢量表示为：E(x,z)=ez由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为 xe11¶H(x,z)=-(Ñ´E)=-jwm0jwm0¶xEx =-ye¶¶yEyze¶¶zEzxæ¶Eyözæ¶Eyöee- ç÷ç÷jwm0ç¶z÷jwm0ç¶x÷èøèøk10pæöxzsin(10px)-ez =ç-ecos(10px)÷e-jkzzwm0jwm0èør功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即 第 12 页 共 20 页 Sav=Re(S)=11Re(E´H*)=ReEx22*HxxeyeEyH*yzeEzHz*1*xEyHz*-ezEyHxRe(e) 2k1æ5pkzöxzzsin2(10px)÷ =Reçesin(20px)+e2èjwm0wm0økzzsin2(10px) =e2wm0 =xA0cos(wt-kz) 10、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z,t)=er求：(1) 电场强度E和磁场强度H； (2) 坡印廷矢量S及其平均值Sav。 xA0e-jkzejwt 解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为 A(z,t)=ReerrrxA0e-jkz 则矢量磁位的复数形式为 A(z)=e根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式A之间关系可以求出 xeH(z)=1ye¶¶yAyze¶A¶yx =ey(-jkA0)e-jkz =e¶z¶zAzm0(Ñ´A)=1¶m0¶xAxry(kA0)cos(wt-kz-p) 磁场强度的瞬时值为：H(z,t)=e2rrr&&r&&=0，电场强根据麦克斯韦方程组的第一个方程Ñ´H=J+jwD，此时J度与磁场强度之间关系为： xe¶E(z)=(Ñ´H)=jwe0jwe0¶xHx11ye¶¶yHyzex¶Hyek2A0-jkz¶x=- =ee¶zjwe0¶zjwe0Hz第 13 页 共 20 页 rk2A0x电场强度的瞬时值为：E(z,t)=ecos(wt-kz-p) w2(2) 坡印廷矢量为 2rrrk3A0k3A02pp2x´eyzS=E´H=ecos(wt-kz-)=ecos2(wt-kz-) we2we2坡印廷矢量的平均值为 2k3A01*z SavRe(S)=Re(E´H)=-e22we第 14 页 共 20 页 第6章、均匀平面波的传播 1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成±p/2波为圆极化波，则它们的振幅 相同 ，相位相差 。 2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅 相等 ，相位相差 。 3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质(er=2.25,mr=1,s=0)表-1/5面上，则电场反射系数为 。 p4. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为rr+zt-20pz)V/m，则波的传播方向为 ，频率为 3(wE=ax100cos100H=acos(wt-20pz)A/m×10Hz ，波长为 y 3770.1m ，波的极化方式为 x ，对应的磁场50002S=a/m为 av z 377 W ，平均坡印亭矢量Sav9为 。 5. 均匀平面波电场方向的单位矢量eE、磁场方向的单位矢量eH以及en=E´eHene传播方向的单位矢量三者满足的关系是 。 rrr6. 设海水的衰减常数为a，则电磁波在海水中的穿透深度1e度上电场的振幅将变为进入海水前为 ，在此深1a的 。 7. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为 a 。 2wmswms2 (c) 2wms (d) 4wmsrrr&r&-jbz&&-jbz8. 在无源的真空中，已知均匀平面波的E=E0e和H=H，其中0err&&的E0和H0为常矢量，则必有 c 。 第 15 页 共 20 页 rrrr&&(a) ez´E0=0; (b) ez´H0=0; (c) E0×H0=0; rr&(d)E0´H0=0 9. 以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b 。 (a) 不再是平面波 (b) 电场和磁场不同相 (c) 振幅不变 (d) 以TE波的形式传播 10. 已知空气中存在电磁波的电场强度为yE0cops´(86E=e+tp1z0 2) V/m试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的场强：E、H、H。 解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量：yE0ejkz E=ez=0ÞEez，此波该式的电场幅度为E0，相位和方向均不变，且E×e为均匀平面波。传播方向为沿着-z方向。 wt=6p´108tÞw=6p´108 波的频率f=3´108 (Hz) 波数k=2p 2p=1 (m) kdzw相速vp=3´108 (m/s) dtk波长l=第 16 页 共 20 页 真空波阻抗 ZW=m0»120p (W) e0由于是均匀平面波，因此磁场为 H=E1(-ez´E) »ex0ejkz ZW120pxH=ReHejwt=e()E0cos(6p´108t+2pz) 120p11. 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为E=exE0sin(2p´108t-2pz)，已知介质的mr=1，求er，并写出H的表达式。 解：根据电场的瞬时表达式可以得到w=2p´108，k=2p，而 k=wem=wermre0m0=werckcöÞer=æç÷=9 èwø2电场强度的瞬时式可以写成复矢量为 &=eEe-j2pz-j2Ex0p波阻抗为ZW=m=40p W，则磁场强度复矢量为 eE0-j2pz-jp1&&2 H=(e´E) =eyeZWz40p因此磁场为 H=eyE0sin(2p´108t-2pz) 40p12. 铜的电导率s=5.8´107 S/m，mr=er=1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。 (1) f=1 MHz；(2) f=100 MHz；(3) f=10 GHz 第 17 页 共 20 页 解：已知e0»1´10-9 F/m和m0=4p´10-7 H/m，那么 36pss1=´1.044´1018 we2pfere0f(1) 当f=1 MHz时，s=1.044´1012>>1，则铜看作良导体，衰减常数awe和相位常数b分别为 a=b=wms2=15.132f=15.132´103 相速：vp=w=4.152´10-4bf=0.4152 m/s 波长：l=2pb=4.152´10-4 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=6.6´10-5 m (2) 当wm(1+j)=2.61´10-7(1+j)f=2.61´10-4(1+j) 2ss=1.044´1010>>1，则铜仍可以看作为良导体，f=100 MHz时，we=衰减常数a和相位常数b分别为 a=b=wms2=15.132f=15.132´104 相速：vp=w=4.152´10-4bf=4.152 m/s 波长：l=2pb=4.152´10-5 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=6.6´10-6 m (3) 当wm(1+j)=2.61´10-7(1+j)f=2.61´10-3(1+j) 2ss=1.044´108>>1，则铜看作良导体，衰减常数af=10 GHz时，we=和相位常数b分别为 a=b=wms2=15.132f=15.132´105 相速：vp=w=4.152´10-4bf=41.52 m/s 波长：l=2pb=4.152´10-6 m =1透入深度：da=6.6´10-7 m 第 18 页 共 20 页 &波阻抗：ZW=wm(1+j)=2.61´10-7(1+j)f=2.61´10-2(1+j) 2s13. 海水的电导率s=4 S/m，er=81，mr=1，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。 解：已知e0»(1) 当f1s18´10-9 F/m和m0=4p´10-7 H/m，那么=´109。 36pwef9=10 kHz时，s188=´109=´105>>1，则海水可看作良导体，wef99衰减常数a和相位常数b分别为 a=b=wms2=3.97´10-3f=0.397 相速：vp=w=1.582´103bf=1.582´105 波长：l=2pb=15.83 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=2.52 m (2) 当wm(1+j)=0.316p´10-3(1+j)f=0.099(1+j) 2ss8f=10 MHz时，=´102=88.89>>1，则海水也可近似看作良导we9=体，衰减常数a和相位常数b分别为 a=b=wms2=3.97´10-3f=12.55 相速：vp=w=1.582´103bf=5.00´106 波长：l=2pb=0.500 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=0.080 m =wm(1+j)=0.316p´10-3(1+j)f=3.139(1+j) 2ss188=´109=´10-1=0.089<<1，则海水也可近似wef99(3) 当f=10 GHz时，看作弱导电媒质，衰减常数a和相位常数b分别为 第 19 页 共 20 页 m80p =2e318pfb=wme=600pca=s相速：vp=w波长：l=2pb1=´108 m/s b3=1 m 300透入深度：d=1=0.012 m &波阻抗：ZWamms40p=(1+j)=(1+j0.045) &ee2we3第 20 页 共 20 页